函数图象的变换作图与超越方程的解(精品有答案绝对好)

函数图象的变换、作图与超越方程的解
前言：函数图像有几种变换：平移变换、对称变换、翻折变换.我们也常遇到根据函数)(x f y =的图像，作出函数a x f y a x f y x f y x f y x f y +=+===-=)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|x f y x f y ==的图像的区别.
一．按向量平移后函数图像的解析式
1。

点的平移
我们知道，如果点()y x P ,按向量()k h a ,=
平移后的对应点为()y x P ''',，那么
⎩
⎨
⎧+='+='k y y h
x x 例1.(1)点Ｐ(3,4)按向量()3,1--=a
平移后的新点Ｑ的坐标为 ．
(2)点Ｐ按向量()3,1--=a
平移后得到新点Ｑ的坐标为(3,4)，那么点Ｐ的坐标为： ．
２.函数图像的平移
定理：求函数)(x f y =的图象按向量()k h a ,=
平移后新图像的函数解析式为：()h x f k y -=-，从而
()k h x f y +-=；
证明：在平移后新图象上任取一点()y x P ,，而点Ｐ是由Ｑ(x 0,y 0)按()k h a ,=
平移后得到．由点平移公式知
⇒⎩⎨
⎧+=+=k y y h x x 00⎩⎨⎧-=-=k y y h
x x 0
0 由于点Ｑ(x 0,y 0)=(x-h,y-k)在函数y=f(x)的图像上，故其坐标代入函数表达式成为恒等式． 从而的得平移后新图像的函数解析式：()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；
平移后的函数图象的解析式是用x －h 替换y ＝f （x ）中x ，是用y-k 替换y ＝f （x ）中y,使
用起来很方便。

例2.抛物线y ＝－2x 2－4x －3向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式．
例3 将一抛抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得的抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋3,求此抛物线的解析式．
例4 已知把直线y ＝－3x ＋2平移后经过点A （－4，2），求平移后得到的直线的解析式，并说明是向左还是向右平移几个单位得到的．
例5、已知两条抛物线： C1：y ＝x 2－2x ＋5 C2：y ＝x 2－4x ＋7 问抛物线C1经过怎样的平移后与抛物线C2重合？
3.按向量平移重要结论如下：
结论1 原来的点()y x P ,按()k h a ,=
平移后得到的新点为()k y h x P ++',； 结论2 函数()x f y =的图象按向量()k h a ,=
平移后的新图像函数解析式为
()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；
结论 3 曲线C '按向量()k h a ,=
平移后得到图象C ，若C 的解析式为()x f y =，则C '的函数解析式为
()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；
结论4 曲线C ：()0,=y x f 按向量()k h a ,=
平移后所得曲线C '的方程为()0,=--k y h x f ；
结论 5 曲线C '按向量()k h a ,=
平移后得到曲线C ，若C 的方程为()0,=y x f ，则C '的方程为
()0,=++k y h x f 。

运用上述结论解题，可提高思维起点，直达解题目标。

4.向量平移公式与以前的左加右减，上加下减是一致的 让我们换一个角度看解按向量平移：
记()0,h b = 、()k c ,0=
，则c b a +=，
所以要将点P 按向量a
平移至对应点P '，可以先将它
向右平移h 个单位（当h>0时）或向左平移h 个单位（当h<0时），到达点Q 处；再将点Q 向上平移k 个单位（当k>0时）或向下平移h 个单位（当k<0时），就得到对应点P '（如图所示）。

那么这与以前初中所学的函数图像平移规律＂左加右减，上加下减＂是一致的．注意到图像平移中左移实质就是图像按向量()0,h a = 平移，只是其中的h<0而已；图像平移中右移实质就是图像按向量()0,h a =
平移，只是其中的h>0而已；图像平移中上移实质就是图像按向量()k a ,0=
平移，只是其中的k<0而已；图像平移中下移实质就是图像按向量()k a ,0=
平移，只是其中的k >0而已；
5.对于周期函数，已知函数在一个周期上的表达式如何求在其它区间上的表达式。

通常就是对所求区间的x 经过平衡平移变换成已知区间上的量，利用已知区间上的表达式得到所求区间的表达式。

b
P
Q
c
a
P '
例. 已知以4为周期的函数
(]
(]
⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,cos 1,1,1)(22x x x m x f x
π，其中0>m .若方程3
)(x x f =恰有5个实数解，
则m 的取值范围为
( B )
(A)),(
383
15
(B) )7,(3
15 (C) ),(3834 (D)
)7,(34
二．对称与翻折变换
①y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）关于y 轴对称； ②y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）关于x 轴对称； ③y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）关于原点对称；
④y ＝f －1
（x ）与y ＝f （x ）关于直线y ＝x 对称；
⑤y ＝|f （x ）|的图象可将y ＝f （x ）的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．
⑥y ＝f （|x |）的图象：可将y ＝f （x ），x ≥0的部分作出，再利用偶函数关于x=0(y 轴)的对称性作出图像． ⑦y ＝f （|x －a |）的图象：可将y ＝f （x-a ），x ≥a 的部分作出，再利用函数关于x=a 的对称性作出图像． ⑧y ＝|f （x ）-b|的图象：可将y ＝f （x ）图像向上平移b 个单位，再把y ＝f （x ）-b 图像中x 轴下方的部分函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a 个单位；a<0时，向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时，向上平移a 个单位；a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y 轴对称. y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称. y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于y 轴对称，x ≥0时函数即y=f(x)，所以x<0
时的图象与x ≥0时y=f(x)的图象关于y 轴对称.
y=|f(x)|
∵
⎩⎨
⎧<-≥==.
0)(),(0)(),()(x f x f x f x f x f y ；
，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)≥0与y=f(x)<0图象的组合.
y ＝)(1
x f
- y=)(1
x f -与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称.
例6.已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++
=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数
b x x g a -=||log )(的图象是 ( )
x y m
3 1 -1 5 8
4 7 9 1
例7.已知函数2
()21,()1,x
f x
g x x =-=-构造函数()F x ，定义如下：当
|()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么()F x （ ）
A ．有最小值0，无最大值
B ．有最小值1-，无最大值
C ．有最大值1，无最小值
D ．无最小值，也无最大值
练习：已知y ＝f （x ）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f （x ）的解析式是（ ）
A ．
1||22+-x x
B ．x 2
－2|x |＋1
C ．|x 2
－1| D ．
122+-x x
三、伸缩变换
①y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的纵坐标伸（A ＞1）缩（0＜A ＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到．
②y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a ＜1）缩（a ＞1）到原来的
a
1
，纵坐标不变而得到． ［举例8］函数|1|12|log |)(2--=x x f 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练习１.已知定义在]2,2[-上的函数)(x f y =的图象如图49-2所示，分别画出
)2(),(2),(,)(),(),(x f y x f y x f y x f y x f y x f y ====-=-=。

图49-2
练习２．已知函数⎩⎨⎧<≤-≤≤=)
01()
10()(2x x x x x f ，如图49-5所示，请作出（1）),()3(),()2(),1(x f x f x f --（4）
)2
3
()5(,)(x f x f 。

图49-5
练习３.作出(或称取整函数)y=[x] ， y= x -【x 】={x}的图像. ([x]表示不超过x 的最大整数;{x}表示x 的非负纯小数. 任
意一个都能写成整数与非负之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，1）称为小数部分函数。

)
取整函数：y=[x] ， [x]表示不超过x 的最大整数;{x}表示x 的非负纯小数. 任意一个都能写成整数与非负之和，即：x= [x] + {x}，
其中{x}∈[0，1）称为小数部分函数。

性质1 对任意x ∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1. 性质2 对任意x ∈R,函数y={x}的值域为[0,1).
性质3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2]
性质4 若n ∈Z,x ∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数. 性质5 若x,y ∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1. 性质6 若n ∈N+,x ∈R,则[nx]≥n[x].
性质7 若n ∈N+,x ∈R+,则在[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n 的倍数. 性质8 设p 为,n ∈N+,则p 在n!的中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+….
四．函数的图像与方程的解
研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.
［举例9］已知函数1)(,12)(+=-=ax x g x x f ，若不等式)()(x g x f >的解集不为空集，则实数a 的取值范
围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
变式1：已知函数f(x)=2x +x,g(x)=log 2x+x,且存在实数a 和b 满足f(a)=5,g(b)=5,那么a+b= .
变式2：方程0122
=-+
x x 的解可视为函数2+=x y 的图像与函数x
y 1
=
的图像交点的横坐标。

若方程044=-+ax x 的各个实根x 1,x 2,x 3,⋯,x k ,(k ≤4)所对应的点)4
,
(i
i x x （i=1,2,⋯,k ）均在直线y=x 的同侧，则实数a 的取值范围是 .
[举例10]若曲线1||2
+=x y 与直线b kx y +=没有公共点，则b k ,应当满足的条件是 .
例11．已知偶函数()()f x x R ∈满足(2)()f x f x +=，且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =根的
个数是___ .
例12.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=)
1(1)1(|1|1
)(x x x x f ，若关于x 的方程
0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________．
［例13］方程kx ＝2)2(1--x 有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围．
例14（1）求4454)(22++++=x x x x x f 的单调区间，并比较)2
5
(-f 与)210(-f 的大小。

（2）（1998年全国高中数学联赛第一试第7题）若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当]1,0[∈x 时，
1998
1)(x
x f =，则)15
104(),17101(),1998(
f f f 由小到大的排列是 。

（3）方程k x x =-+22
有四个根，k 求的范围
练习１.方程f (x )=|x 2+|x |-2|=k 有六个解，求k 的范围。

六.经典例题
例18、⑴求一曲线()3122
+-=x y 按向量()3,1--=a
平移后的函数解析式；
⑵一曲线按向量()3,1=b 平移后得到()3122
+-=x y ，求原曲线的解析式。

例19、若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆52
2
=+y x 相切，则c 的值为（ ）
A ．8或－2
B ．6或－4
C ．4或－6
D ．2或－8
［例20］.已知数列{}*
()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
是首项为0，公差为12的等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*42()15
n a
n b n N =
⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为k d ，求k d ；
（3）对（2）题中的k d ，设1(1,5)A d ，2(2,5)B d ，动点,M N 满足MN AB =，点N 的轨迹是函数()
y g x =的图像,其中()g x 是以3为周期的周期函数,且当(]0,3x ∈时, ()lg g x x =,动点M 的轨迹是函数()f x 的图像，求()f x .
函数图象的变换、作图与超越方程的解（131012）课后练习
班级： 姓名：
一．填空选择题（每题6分）
1．将函数()x f y =的图象按向量)2,3(-=平移后得到x y 2sin =，则()x f 等于（ ） （A ）()262sin ++x （B ）()262sin +-x （C ）()262sin -+x （D ）()262sin --x
2、已知曲线044422
2
=++++y x y x 按向量)1,2(=平移后得到曲线C ，那么曲线C 的方程为 。

3．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：
①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点A （1，0）对称 ②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数 ③若对R x ∈，有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期 ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称.
其中正确的命题是___ .（写出所有正确命题的序号）
4．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x
与y ＝log a x 的图象是（ ）
5．若函数f （x －1）＝x 2
－2x ＋3（x ≤1）则函数f －1
（x ）的草图是（ ）
6．已知函数f （x ）＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋ｄ的图象如图2—6，则（ ） A ．b ∈（－∞，0） B ．b ∈（0，1） C ．b ∈（1，2） D ．b ∈（2，＋∞）
7．若函数y ＝f （x ）的图象过点（1，0），则它的反函数的图象 必经过点_____．
8．要得到y ＝lg （3－x ）的图象，只需作y ＝lg x 关于_____轴对称的图象，再向_____平移3个单位而得到． 9．把函数y ＝ex 的图象按向量a ＝(2，3)平移，得到y ＝f(x)的图象，则f(x)＝( ) (A)e x －3
＋2 (B)e x ＋3
－2 (C)e x －2
＋3 (D)e x ＋2
－3
10．f （x ）是定义在区间［－c ，c ］上的奇函数，其图象如图2－11所示． 令g （x ）＝af （x ）＋b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确 的是――――――――――――――（ ） A ．若a <0，则函数g （x ）的图象关于原点对称
B ．若a ＝－1，－2<b <0，则方程g （x ）＝0有大于2的实根
C ．若a ≠0，b ＝2，则方程g （x ）＝0有两个实根
D ．若a ≥1，b <2，则方程g （x ）＝0有三个实根
二.简答题（每题10分）
11．画出函数y ＝12+x 的图象，并利用此图象判定方程12+x ＝x ＋a 有两个不同的实数解时，实数a
所满足的条件．
12.作函数f （x ）＝x ＋x
1
的图象，并说明单调递增区间．
13．已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （a ＋x ）＝f （a －x ），求证y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称．
14.已知函数f(x)对任意 x 均有f(x)=kf(x+2),其中常数k 为负数，且 f(x)在区间[0,2]上有表达式 f(x)=x(x-2)．
(1)求f(-1)和 f(2.5)的值;
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式，并讨论f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出f(x)在[-3,3]上最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．
老师讲义
2013年暑期高中数学难点强化班第五讲（130712）
函数图象的变换、作图与超越方程的解
前言：函数图像有几种变换：平移变换、对称变换、翻折变换.我们也常遇到根据函数)(x f y =的图像，作出函数a x f y a x f y x f y x f y x f y +=+===-=)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|x f y x f y ==的图像的区别. 一．按向量平移后函数图像的解析式
1。

点的平移
我们知道，如果点()y x P ,按向量()k h a ,=
平移后的对应点为()y x P ''',，那么
⎩⎨
⎧+='+='k
y y h
x x 例1.(1)点Ｐ(3,4)按向量()3,1--=a
平移后的新点Ｑ的坐标为 （2,1） ．
(2)点Ｐ按向量()3,1--=a
平移后得到新点Ｑ的坐标为(3,4)，那么点Ｐ的坐标为：（4,7） ．
２.函数图像的平移
定理：求函数)(x f y =的图象按向量()k h a ,=
平移后新图像的函数解析式为：()h x f k y -=-，从而
()k h x f y +-=；
证明：在平移后新图象上任取一点()y x P ,，而点Ｐ是由Ｑ(x 0,y 0)按()k h a ,=
平移后得到．由点平移公式知
⇒⎩⎨
⎧+=+=k y y h x x 00⎩⎨⎧-=-=k y y h
x x 0
0 由于点Ｑ(x 0,y 0)=(x-h,y-k)在函数y=f(x)的图像上，故其坐标代入函数表达式成为恒等式． 从而的得平移后新图像的函数解析式：()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；
平移后的函数图象的解析式是用x －h 替换y ＝f （x ）中x ，是用y-k 替换y ＝f （x ）中y,使
用起来很方便。

例2.抛物线y ＝－2x 2－4x －3向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式．
解：由于抛物线向左移平移3个单位，再向下移4个单位，根据“x 右减左加，y 上减下加”的规律，分别用x ＋3,y ＋4去替换y ＝－2x 2－4x －3中的x,y 就可以得平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为y ＋4＝－2（x ＋3）2－4（x ＋3）－3
即y ＝－2x 2－16x －37
例3 将一抛抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得的抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋3,求此抛物线的解析式．
解：所求抛物线可看作是将抛物线y ＝x 2－2x ＋3向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。

根据“x 右减左加，y 上减下加”的规律，分别用x －2， y ＋3去替换y ＝x 2－2x ＋3中的x,y 就可以得平移后的抛物线的解析式，所以，
此抛物线的解析式为y ＋3＝（x －2）2－2(x －2）＋3 即y ＝x 2－6x ＋8
例4 已知把直线y ＝－3x ＋2平移后经过点A （－4，2），求平移后得到的直线的解析式，并说明是向左还是向右平移几个单位得到的．
解：设用x ＋m 替换直线y ＝－3x ＋2中的x 后得到的直线为y ＝－3（x ＋m ）＋2即y ＝－3x －3m ＋2。

又平移后的直线经过A （－4，2），于是有 －3×（－4）－3m ＋2＝2, 解之，得 m ＝4。

因此平移后得到的直线的解析式为y ＝－3x －10，它是将直线y ＝－3x ＋2向左平移4个单位得到的。

例5、已知两条抛物线：
C1：y ＝x 2－2x ＋5 C2：y ＝x 2－4x ＋7 问抛物线C1经过怎样的平移后与抛物线C2重合？
解：设用x ＋m ，y ＋n 分别替换C1中的x ，y 得抛物线C2，于是C2的解析式又可表示为 y ＋n ＝（x ＋m ）2－2（x ＋m ）＋5 即 y ＝x 2＋（2m －2）x ＋m2－2m －n ＋5 比较系数，得
2m －2＝－4
m2－2m －n ＋5＝7 解之，得 m ＝－1 n ＝1
由此可知，用 x －1，y ＋1分别替换C1中的x ，y 就可得抛物线C2的解析式，根据“x
右减左加，y 上减下加”可知抛物线C1先向右平移1个单位，再向下平移1个单位后能与抛物线C2重合．
3.按向量平移重要结论如下：
结论1 原来的点()y x P ,按()k h a ,=
平移后得到的新点为()k y h x P ++',； 结论2 函数()x f y =的图象按向量()k h a ,=
平移后的新图像函数解析式为
()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；
结论 3 曲线C '按向量()k h a ,=
平移后得到图象C ，若C 的解析式为()x f y =，则C '的函数解析式为
()h x f k y -=-，从而()k h x f y +-=；
结论4 曲线C ：()0,=y x f 按向量()k h a ,=
平移后所得曲线C '的方程为()0,=--k y h x f ；
结论 5 曲线C '按向量()k h a ,=
平移后得到曲线C ，若C 的方程为()0,=y x f ，则C '的方程为
()0,=++k y h x f 。

运用上述结论解题，可提高思维起点，直达解题目标。

4.向量平移公式与以前的左加右减，上加下减是一致的 让我们换一个角度看解按向量平移：
记()0,h b = 、()k c ,0=
，则c b a +=，
所以要将点P 按向量a
平移至对应点P '，可以先将它
向右平移h 个单位（当h>0时）或向左平移h 个单位（当h<0时），到达点Q 处；再将点Q 向上平移k 个单位（当k>0时）或向下平移h 个单位（当k<0时），就得到对应点P '（如图所示）。

那么这与以前初中所学的函数图像平移规律＂左加右减，上加下减＂是一致的．注意到图像平移中左移实质就是图像按向量()0,h a = 平移，只是其中的h<0而已；图像平移中右移实质就是图像按向量()0,h a =
平移，只是其中的h>0而已；图像平移中上移实质就是图像按向量()k a ,0=
平移，只是其中的k<0而已；图像平移中下移实质就是图像按向量()k a ,0=
平移，只是其中的k >0而已；
5.对于周期函数，已知函数在一个周期上的表达式如何求在其它区间上的表达式。

通常就是对所求区间的x 经过平衡平移变换成已知区间上的量，利用已知区间上的表达式得到所求区间的表达式。

b
P
Q
c
a
P '
例. 已知以4为周期的函数
(]
(]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
-
-
∈
-
=
3,1
,
cos
1,1
,
1
)
(
2
2
x
x
x
m
x
f
x
π
，其中0
>
m.若方程
3
)
(x
x
f=恰有5个实数解，则m的取值范围为( B )
(A))
,
(
3
8
3
15(B))7
,
(
3
15(C))
,
(
3
8
3
4(D))7
,
(
3
4
解：如图，方程
3
)
(x
x
f=恰有5个实数解充要条件是：
直线y=
3
x与半椭圆C
1
：y=m2)4
(
1-
-x
有两个交点，而与半椭圆C2：y=m2)8
(
1-
-x无交点.
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
-
=
=
2
3
)4
(
1x
m
y
y x
⇒2
2
2
9
)4
(
2-
-
=x
m
m
x⇒0
15
8
)
(2
2
2
2
9
1=
+
-
+m
x
m
x
m，令△>0，得
15
)
(4
642
2
9
1
4>
⋅
+
-m
m
m⇒
9
15
2>
m(m>0)⇒
3
15
>
m①；
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
-
=
=
2
3
)8
(
1x
m
y
y x
⇒2
2
2
9
)8
(
2-
-
=x
m
m
x⇒0
63
16
)
(2
2
2
2
9
1=
+
-
+m
x
m
x
m，令△<0，得0
63
)
(4
2562
2
9
1
4<
⋅
+
-m
m
m⇒7
2<
m⇒7
0<
<m②.由①、②求交，知(B)正确.
二．对称变换与翻折
①y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称；
②y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称；
③y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称；
④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称；
⑤y＝|f（x）|的图象可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．
⑥y＝f（|x|）的图象：可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性．
⑦y＝f（|x－a|）的图象：可将y＝f（x-a），x≥a的部分作出，再利用函数关于x=a的对称性作出图像．
⑧y＝|f（x）-b|的图象：可将y＝f（x）图像向上平移b个单位，再把y＝f（x）-b图像中x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．
例6.已知0
>
a且1
≠
a，函数)
(
log
)
(2b
x
x
x
f
a
+
+
=在区间)
,
(+∞
-∞上既是奇函数又是增函数，则函数b
x
x
g
a
-
=|
|
log
)
(的图象是 ( )
答案：Ａ
解析：f(x)↑,a>1.f(x)奇函数b
b
x
x
b
x
x
x
f
x
f
a
a
a
log
)
(
log
)
(
log
)
(
)
(
02
2=
+
+
-
+
+
+
=
-
+
≡，
所以b=1.
从y=log a x(向右平移1个单位)→y=log a(x-1)（把图像中x≥1的部分以对称轴x=1翻折到x<1上去）→
x
y
m
3
1
-1 5 8
4 7 9
1
log a|x-1|（把图像中x≥０的部分以对称轴x=0翻折到x<0上去）→log a||x|-1|，从而得图像Ａ
例7.已知函数2
()21,()1,
x
f x
g x x
=-=-构造函数()
F x，定义如下：当
|()|(),()|()|,|()|(),()()
f x
g x F x f x f x g x F x g x
≥=<=-
时当时，那么()
F x（）
A．有最小值0，无最大值B．有最小值1
-，无最大值
C．有最大值1，无最小值D．无最小值，也无最大值
答案：Ｂ
解析：
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
);
(
|)
(
|
),
(
);
(
|)
(
|
|,)
(
|
)
(
x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
f
x
F
y=|f(x)|=|2x-1|可由如下图像变换得到：y=2x(向下平移1个单位)→y=2x-1（把图像中x轴下方的部分以y轴为对称轴翻折到x轴上方去，而原来的x轴上方的图像不变）→y=|2x-1|)。

练习：已知y＝f（x）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（）A．1
|
|2
2+
-x
x
B．x2－2|x|＋1
C．|x2－1|
D．1
2
2+
-x
x
【答案】A
【解析1】当f（x）＝1
|
|2
2+
-x
x时，|1
|
||
)1
|
(|
)
(2-
=
-
=x
x
x
f
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
-
<
+
-
<
≤
-
+
<
≤
-
≥
-
=
)1
(
)1
(
)0
1
(
1
)1
0(
1
)1
(
1
x
x
x
x
x
x
x
x
其图象恰好是上图．
解析2： y=f(x)可由如下图像变换得到：y=-x(把图像中x≥０的部分以对称轴x=0翻折到x<0上去) →y= -|x|(向上平移1个单位)→y=-|x|+1（把图像中x轴下方的部分以y轴为对称轴翻折到x轴上方去，而原来的x 轴上方的图像不变）→y=|-|x|+1|=||x|-1|。

三、伸缩变换
①y＝Af（x）（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到．
②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a＞1）到原来的
a
1
，纵坐标不变而得到． ［举例8］函数|1|12|log |)(2--=x x f 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像是由函数x y 2log =的图像经过下列变换得到的：先将函数
x y 2log =的图像上各点的横坐标缩短到原来的2
1
（或将函数x y 2log =的图像向上平移1个单位）得到函数
x y 2log 2=的图像，再将函数x y 2log 2=的图像作关于y 轴对称得到函数|2|log 2x y =的图像，再将函数
|2|log 2x y =的图像向右平移
2
1
个单位，得到函数|12|log 2-=x y 的图像，再将函数|12|log 2-=x y 的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log 2--=x y ，最后将函数1|12|log 2--=x y 的图像在x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与x 轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是)1,21[-
与),2
3
[+∞. 需要注意的是：函数图像变化过程：|)(||)(|)(a x f y x f y x f y -=⇒=⇒=与变化过程：
|)(|)()(a x f y a x f y x f y -=⇒-=⇒=不同.前者是先作关于y 轴对称后平移，而后者是先平移后再作关
于直线a x =对称.
例5 已知定义在]2,2[-上的函数)(x f y =的图象如图
49-2
所示，分别画出
)2(),(2),(,)(),(),(x f y x f y x f y x f y x f y x f y ====-=-=。

图49-2
解：)2(),(2),(,)(),(),(x f y x f y x f y x f y x f y x f y ====-=-=的图象与)(x f y =的关
系依次是（由)(x f y =的图象得到）。

（1） 关于x 轴对称；
（2） 关于y 轴对称；
（3） 0≥y 的部分重合，0<y 的部分关于x 轴对称； （4） 0≥x 的部分重合，0<x 的部分关于y 轴对称；
（5） 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍； （6） 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
2
1
倍（如图49-4（1）~（6））
图49-4
例6 已知函数⎩⎨⎧<≤-≤≤=)
01()
10()(2x x x x x f ，如图49-2所示，请作出（1）),()3(),()2(),1(x f x f x f --（4）
)2
3
()5(,)(x f x f 。

图49-5
解：先作出函数)(x f y =的图像，见图49-5，它由抛物线的一部分和一条线段组 成(特征如图所示)．
(1)将的图像)(x f y =向右平移一个单位，即得)1(-=x f y 的图像，见图49-6（1）； (2)将)(x f y =的图像绕y 轴翻转即得)(x f y -=的图像，见图49—6(2)；
(3) )(x f y =的图像x ≥0部分不变，再作出它关于y 轴对称的图形，便得)(x f y =的图像，见图49—6(3)；
(4) )(x f y =的图像y ≥0部分不变，作y<O 部分的图像关于x 轴的对称图形，两部分合在一起就是)(x f y =的图像，见图49—6(4)；
（5）将)(x f y =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的32倍（纵坐标不变）即得)2
3
(x f 的图象．见图49-6
图49-6
例7 作出(或称取整函数)y=[x] ， y= x -【x 】={x}的图像. ([x]表示不超过x 的最大整数;{x}表示x 的非负纯小数. 任
意一个都能写成整数与非负之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，1）称为小数部分函数。

)
取整函数：y=[x] ， [x]表示不超过x 的最大整数;{x}表示x 的非负纯小数. 任意一个都能写成整数与非负之和，即：x= [x] + {x}，
其中{x}∈[0，1）称为小数部分函数。

性质1 对任意x ∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1. 性质2 对任意x ∈R,函数y={x}的值域为[0,1).
性质3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2]
性质4 若n ∈Z,x ∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数. 性质5 若x,y ∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1. 性质6 若n ∈N+,x ∈R,则[nx]≥n[x].
性质7 若n ∈N+,x ∈R+,则在[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n 的倍数. 性质8 设p 为,n ∈N+,则p 在n!的中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+….
四．三角函数的图像变换 ［例9］(1)函数3sin()226
x y π
=
+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．
（2）函数2sin(2)3
y x π
=-
的对称中心是 ；对称轴方程是
；单调增区间是 ．
（3）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
平移，平移后
的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6y x π
=+
B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π
=+
D ．sin(2)3
y x π
=- （4）为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数
R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）
A 向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
B 向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
C 向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D 向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移
4
π
个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）
A x cos
B x cos 2
C x sin
D x sin 2
［例10
］已知函数2
()2cos 2,(01)f x x x ωωω=<<其中，若直线3
x π
=
为其一条对称轴。

（1）试求ω的值 （2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象． ［例11］已知函数2
()sin ()(0,0,0)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两
对称轴间的距离为2，并过点（1,2）． （1）求ϕ；
（2）计算(1)(2)(2008)f f f ++
+．
［例12
］设函数2
()sin cos f x x x x a ωωω=++
（其中0,a R ω>∈）。

且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6
π． （1）求ω的值； （2）如果()f x 在区间5[,
]36ππ
-
，求a 的值．
答案：例1(1)3
2； 14π；
26x π+
；6π （2）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ
=+∈；
()5,1212k k k z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
(3) C (4)C (5)B
例2解：（1）
1
012ωω<<∴=
（2）用五点作图
例3解：（I ）
4π
ϕ∴=
.（II ）(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
例4解：（I ）
1
26
3
2
2π
π
π
ωω⋅
+
=
⇒=
． （II
）a =
五．函数的图像与方程的解
研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. ［举例13］已知函数1)(,12)(+=-=
ax x g x x f ，若不等式)()(x g x f >的解集不为空集，则实数a 的取值
范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：不等式)()(x g x f >的解集不为空集，亦即函数)(x f y =的图像上有点在函数)(x g y =的图像的上方.
函数12)(-=
x x f 的图像是x 轴上方的半
支抛物线，函数1)(+=ax x g 的图像是过点
)1,0(斜率为a 的直线.
当1a =时直线与
抛物线相切，由图像知：12-<
a .（注意图中的虚线也满足题义）
变式：已知函数f(x)=2x +x,g(x)=log 2x+x,且存在实数a 和b 满足f(a)=5,g(b)=5,那么a+b= 5 .
解析：⎩⎨⎧-==x
y y x
52其交点记为Ａ，点Ａ的横坐标就是a;
⎩
⎨
⎧-==x y x
y 5log 2其交点记为Ｂ，点Ｂ的横坐标就是b;显然点Ａ与点Ｂ都在直线y=5-x; 注意到y=2x 与y=log 2x 互为反函数．故点Ａ与点Ｂ的中点就是直线y=x 与y=5-x 的交点Ｃ((a+b)/2, (a+b)/2)，C 点在y=5-x 是，从而a+b ＝5 变式2：方程0122
=-+
x x 的解可视为函数2+=x y 的图像与函数x
y 1
=
的图像交点的横坐标。

若方程044=-+ax x 的各个实根x 1,x 2,x 3,⋯,x k ,(k ≤4)所对应的点)4
,
(i
i x x （i=1,2,⋯,k ）均在直线y=x 的同侧，则实数a 的取值范围是 .
答案：（-∞，-6）⋃(6,+∞）
解析：方程044
=-+ax x 化为x a x 43
=
+，可视为函数a x y +=3
的图像与函数x
y 4=的图像交点的横坐标。

由于a x y +=3可以看成是3x y =的图像上移a 个单位得到。

我们可以先求出3
x y =的图像与函数x
y 4=的图
像交点)22,2(和)22,2(--。

由于3x y =单调上升和x
y 4=是单调下降的，故上移足够个单位后3
x y =与
x y 4=的图像交点一定在y=x 的左上方；反之，下移足够个单位后3x y =与x
y 4
=的图像交点一定在y=x 的右
下方。

而函数y=x 的图像与函数x y 4
=的图像交点为(2,2)和(-2,-2).
故上移a 个单位后使a x y +=3
与x
y 4=的图像交点在y=x 的左上方，则必有y(-2)>-2即(-2)3+a>-2,得a>6.
同理，下移a 个单位后使a x y +=3
与x
y 4=的图像交点在y=x 的右下方，则必有y(2)<2即23+a<2,得a<-6.
[举例14]若曲线1||2
+=x y 与直线b kx y +=没有公共点，则b k ,应当满足的条件是 . 分析：曲线1||2
+=x y 是由)0(12
≥+=x x y 与
)0(12<+-=x x y 组成，它们与y 轴的交点为)1,0(
和)1,0(-，图像如图（实线部分）.可以看出
若直线b kx y +=曲线1||2
+=x y 的图像没有公共点，此 直线必与x 轴平行，所以0=k ，11<<-b .
例15．已知偶函数()()f x x R ∈满足(2)()f x f x +=，且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =根的个数是___ .
答案：Ｂ
例16.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=)
1(1)1(|1|1
)(x x x x f ，若关于x 的方程
0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________．
答案：５. ［例17］方程kx ＝
2)2(1--x 有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围．
【解】设y 1＝kx
① y 2＝2
)2(1--x
②
方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA 与半圆相切时，33=
OA k ，故当0≤k ＜33时，直线与半圆有两个交点，即0≤k ＜3
3
时，原方程有两个不相等的实根．
例9（1）求4454)(22++++=x x x x x f 的单调区间，并比较)2
5
(-f 与)210(-f 的大小。

（2）（1998年全国高中数学联赛第一试第7题）若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当]1,0[∈x 时，
1998
1
)(x
x f =，则)15
104(),17101(),1998(
f f f 由小到大的排列是 。

解：),17101(
f )1998(f ，)15
104
(f 。

（3）方程k x x
=-+22
有四个根，k 求的范围
解：作出函数22
-+=x x y ，y=k 的图象的交点个数即为方程的个数。

先作出22
-+=x x y 的图象，然后将此图象x 轴上方部分保持不变，x 轴下方的部分，对称翻折到x 轴的上方即可，
由图可知，0<k<2.
练 1 方程f (x )=|x 2+|x |-2|=k 有六个解，求k 的范围。

解：（先作函数y =x 2+|x |-2的图像）由于是偶函数，∴作出y =x 2+x -2（x ≥0）的图像；在将之关于轴对称，形成的图形就是函数y =x 2-|x |-2的图像。

而将函数的图像中在轴下方的部分关于轴对称到上方，即得函数f (x )=|x 2+|x |-2|的图像。

注意到y =x 2+x -2与y 轴的交
点为(0,-2),最小值为-9/4. 故方程f (x )=|x 2+|x |-2|=k 有六个解时，k 的范围为(2,9/4)
六.经典例题
例18、⑴求一曲线()3122
+-=x y 按向量()3,1--=a
平移后的函数解析式；
⑵一曲线按向量()3,1=b 平移后得到()3122
+-=x y ，求原曲线的解析式。

解：⑴由结论2知，曲线()3122
+-=x y 按向量()3,1--=a
平移后的函数解析式为
()()[]()331122
-++---=x y ，即2
2x y =为所求的解析式。

⑵由结论3知，所求的解析式为()331122
-+-+=x y ，即2
2x y =
x
y
x y
x
y 1
1O O O 1
例19、若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆52
2=+y x 相切，则c 的值为（ ）
A ．8或－2
B ．6或－4
C ．4或－6
D ．2或－8
解：由结论4可知，直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后得到的直线方程为 ()()0112=++--c y x ，即032=+--c y x ，此直线与圆52
2
=+y x 相切
所以圆心()0,0O 到直线的距离等于半径，故有
55
3=+-c ，解得28-=或c ，故选项A 正确。

［例20］.已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为0，公差为12的等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*42()15
n a
n b n N =
⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为k d ，求k d ；
（3）对（2）题中的k d ，设1(1,5)A d ，2(2,5)B d ，动点,M N 满足MN AB =，点N 的轨迹是函数()
y g x =的图像,其中()g x 是以3为周期的周期函数,且当(]0,3x ∈时, ()lg g x x =,动点M 的轨迹是函数()f x 的图像，求()f x . 解：解： (1)由条件得
10(1)2n S n n =+-，即(1)2
n n
S n =-…………………………..2分 所以*
1()n a n n N =-∈. ……………………………………………………..4分
(2) 由（1）可知1*4
(2)()15
n n b n N -=
⋅-∈, 所以22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244
(2)21515k k k b --=-=-⋅
222144
(2)21515
k k k b +=-=⋅. …………………………..7分
由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得
22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列, …………………………..9分
所以22221214442215155
k
k k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=. …………………………..10分 (3)由（2）得(1,4),(2,16)A B ,即(1,12)MN AB ==…………………..12分 当33(1)()m x m m Z <≤+∈时，033x m <-≤,。