河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题16函数动点问题中三角形存在性含解析
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专题16 函数动点问题中三角形存在性
模型一、等腰三角形存在性问题
以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.
模型二、直角三角形存在性问题
以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”.
【例1】（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－3
2
x+c经过点A(－
1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P 作x轴的垂线，交直线BC于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4），
将点（0，－2）代入上式，得：a=1
2
，
即抛物线的解析式为：y=1
2
x2－
3
2
x－2；
（2）由y=1
2
x2－
3
2
x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC5,
由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=1
2
x－2，
设P（m，1
2
m2－
3
2
m－2），则Q(m，
1
2
m－2)，
过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，
∴CQ QM
BC AB
=,即
4
25
m
=，
∴CQ=5m
,
PQ=－1
2
m2+2m, PC=
2
22
13
22
m m m
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
=m
2
13
1
22
m
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
，
①当CQ=PQ时，
5m
=－1
2
m2+2m，解得：m=0（舍）或m=4－5；
②当CQ=PC时，
5m
= m
2
13
1
22
m
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
，解得：m=0（舍）或m=2或m=4（舍）；
③当PQ=PC时，
－1
2
m2+2m= m
2
13
1
22
m
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
，解得：m=0（舍）或m=
3
2
；
综上所述，存在点P，使△CPQ是等腰三角形，点P的横坐标为：4－5或2或3
2
.
【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点B(3,0)，抛物线的对称轴为x=1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：由题意得：
1
2
9330
b
a
a b
⎧
-=
⎪
⎨
⎪++=
⎩
，解得：
1
2
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+3.
（2）在y=－x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即C(0,3),
由B(3,0)，C(0,3)得直线BC的解析式为：y=－x+3,
在y=－x2+2x+3中，当x=1时，y=4，
在y=－x+3中，当x=1时，y=2，
若将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），则2≤h≤4.
（3）①当P在x轴上方时，
过点P作PD⊥l于M，PN⊥x轴于N，由△PBQ为等腰直角三角形可知，△PBN≌△PQM，
则PN=MQ，
设P（m，y），则PN=PM=y，而PM=m+3，
∴y=m+3，
－m2+2m+3= m+3，解得：m=0或m=1，
即P(0,3)或（1,4）；
②当P点在x轴下方时，同理可得：
－m2+2m+3=－m－3，解得：m
333
+
或m
333
-
，
即P
333
+933
+
或
333
-
，
933
-
，
综上所述，△PBQ能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：(0,3)或（1,4）或
333
+
，933
2
+
-)或(
333
2
-
，
933
2
-
-).
【例2】（2019·省实验四模）如图，已知抛物线经过点A(－1,0)，B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C