浙江省温州市2012届高三八校联考试题数学理

浙江省温州市2012届高三八校联考试题
数学(理科)试卷
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟
参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式
s =
1
3
V S h =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V Sh = 24S R π= 34
3
V R π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一
项是符合题目要求的。

1．若平面向量b 与向量)1,2(=平行，且52||=，则=b ( )
A ．)2,4(
B ．)2,4(--
C ．)3,6(-
D ．)2,4(或)2,4(--
2．若12ω=-
,则等于421ωω++=( )
A ．1
B ．0
C ．3
D ．1-+ 3．由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为( )
A ．100
B ．10
C ．9
D ．90
4．在正三棱锥P ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8AB PA ==, 过A 作与,PB PC 分别交于D 和E 的截面，则截面∆ADE 的周长的最小值是( ) A ．9 B ．10
C ．11
D ．12
5．函数3
3
()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是( ) A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a ---
6．不等式组1
31
y x y x ≥-⎧⎪⎨
≤-+⎪⎩的区域面积是( )
A ．
12 B ．32 C ．5
2
D ．1 7．已知等差数列n a n 的前}{项和为m
S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,122
11==-+>-+-
等于( ) A ．10 B ．20 C ．38 D ．9 8．关于x 的方程2
2
9
43
0x x a -----⋅-=有实根的充要条件是( )
A ．4a ≥-
B ．40a -≤<
C ．0a <
D ．30a -≤<
9．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A ．
a r a - B ．a r a 2- C ．a r a 22- D ．a
r
a 2+ 10．已知椭圆22
143
x y +=，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称时m 的取值范围为( ) A ．133133≤≤-
m B
．1313m -<< C ．133133<<-
m D ．13
321332≤≤-m 第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共计28分.请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．
置上．．
. 11．右图给出的是计算
20
1
614121+
+++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________。

12．已知lg 8
(2)x x x
+的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,则
x 的值为____________。

13．已知0a >且1a ≠，则使方程22
2
log ()log ()a a x ak x a -=-有解时
的k 的取值范围为____________。

14．函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则实数
2
)ab （
的值为____________。

15．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则
数列1n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是____________。

16．已知函数()x f x ae =，()ln ln g x x a =-，其中a 为常数，且函数y ＝f (x )和y ＝g(x )的图
像在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行．若关于x 的不等式
(
)
x m
g x ->等于1的正实数都成立，则实数m 的取值集合是____________。

17．已知定义在),1[+∞上的函数348||,122
()1(),2,22
x x f x x f x ⎧
--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．给出下列结论：①函数
)(x f 的值域为]4,0[；②关于x 的方程*)()2
1
()(N n x f n ∈=有42+n 个不相等的实数
根；③当*)](2,2[1
N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则
2=S
；④存在]8,1[0∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立，其中你认为正确的所有
结论的序号为____________。

三、解答题：本大题共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 18．（本小题满分14分）
某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大
小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分14分）
已知函数2
()sin cos cos (0)f x a x x x b a =⋅++> （Ⅰ）写出函数的单调递减区间；
（Ⅱ）设]2
0[π
，∈x ，()f x 的最小值是2-，最大值是3，求实数,a b 的值．
20．（本小题满分15分）
已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且1
2
P A A D D C ===
，1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

21．本小题满分15分）
如图，已知椭圆E ：22
221x y a b +=(0)a b >>，焦点为1F 、2F ，
双曲线G ：22x y m -=(0)m >的顶点是该椭圆的焦点，设P 是双曲线G 上异于顶点的任一点，直线1PF 、2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，已知三角形2ABF
的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面
积为（1）求椭圆E 与双曲线G 的方程；
（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 和2k ，探求
1k 和2k 的关系；
（3）是否存在常数λ，使得AB CD AB CD λ+=⋅
若存在，试求出λ的值；若不存在， 22、（本小题满分14分）
已知32
()f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数, 其,,A B C 三点, 若点B 的坐标为
(2,0),且 ()f x 在[1,0]-和[4,5]上有相同的单调性, 在[0,2]和[4,5]上有相反的单调
性.
（1）求
b
a
的取值范围； （2）在函数()f x 的图象上是否存在一点00(,)M x y , 使得 ()f x 在点M 的切线斜率为3b ?
求出点M 的坐标；若不存在,说明理由； （3）求AC 的取值范围。

浙江省温州市2012届高三八校联考试题
数学(理科)试卷参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一
项是符合题目要求的。

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共计28分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．
上．
. 11．10i > 12．1
1,10
x x ==或 13．01k <<或1k <- 14．8 15．1
2
2n +- 16．{1} 17．①③
三、解答题：本大题共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
18、解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ． ……1分
则P (A )=
11111
4444256
⨯⨯⨯=
，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分 P (B )33341-A =256
5
= （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分
三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三
种情况．
P (C )2
2
2
444111*********()()()4444
4444
4444
A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯9
64
=．…7分 （Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则1,2,3ξ=． ……8分
1
(1)4
P ξ==
， 313(2)4416P ξ==⨯=，
3319(3)44464P ξ==⨯⨯=
，27
(4)1(1)(2)(3)64
P P P P ξξξξ==-=-=-==． （各1分）
故取球次数ξ的分布列为
13927
1234 2.754166464
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(约为2.7) …14分
19、
解：1()sin 2cos 2)2f x a x x b =
+++
s i n 2c o s 2s i n (2)23
a x x
b a
x b π
=
+=-+……………3分
（1）3511222,23
21212
k x k k x k π
π
πππ
ππππ+
≤-
≤+
+≤≤+
511[,],1212
k k k Z ππ
ππ∴++∈为所求……………6分
（2
）20,2,sin(2)12
3
3
33
x x x π
π
π
ππ≤≤
-
≤-
≤
≤-≤
m i n m a x ()2,()3,f x a b f x a =+=-=+……………10分
2222a b b a b ⎧=⎧-
+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪+=⎩
分 20、证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
1
(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M .
（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ……3分 （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC 所以故
……6分
（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,λ=
..2
1
,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x
要使14
,00,.25
AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得……9分
),5
2
,1,51(),52,1,51(,.
0),5
2
,1,51(,54=⋅-===⋅=MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ
ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为
所求二面角的平面角. ……12分
30304||,||,.555
2
cos(,).3||||2
arccos().
3AN BN
AN BN AN BN AN BN
AN BN =
==-∴==-⋅-故所求的二面角为……15分
21、（1）由题意知，椭圆中422a a ab b ====
所以椭圆的标准方程为22
184
x y += …………2分 又顶点与焦点重合，所以42
2
2
=-==b a c m ；
所以该双曲线的标准方程为
22
144
x y -=。

…………4分 （2）设点2),,(±≠x y x P 2
,221-=
+=x y
k x y k 42221-=⋅x y k k P 在双曲线上，所以22
144
x y -
= 422-=x y 所以121=⋅k k …………8分 （3）设直线AB ：)2(1+=x k y 01≠k
由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=148
)2(2
21y x x k y 得0888)12(21212
21=-+++k x k x k ………10分 设),(),,(2211y x B y x A 所以1
288,1
282
12
1212
12
1
21+-=
+-=
+k k x x k k x x
由弦长公式1
2)1(244)(1||2
12
1212212
1++=
-++=k k x x x x k AB
同理1
2)1(244)(1||2
22
2212
212
2
++=
-++=k k x x x x k CD ………12分
由12211
,1k k k k ==⋅代入得2
)1(24||2
12
1++=k k CD ………13分 8
2
3||1||1|,||||||=
+=
=+CD AB CD AB CD AB λλ 所以存在8
2
3=λ使得|||||||CD AB CD AB λ=+成立。

………15分
22、解：（1）3
2
2
()()32f x ax bx cx d f x ax bx c '=+++⇒=++ 由题意得：()f x 在[1,0]-和[0,2]上有相反的单调性 (0)00f c '⇒=⇔= 当0c =时，()0f x '=的另一个根为23b
x a
=- ()f x 在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性 224633b b
a a
⇒≤-
≤⇔-≤≤- 由题意得：
32()0f x ax bx d =++=的三个不同根为2,,A C x x
得(2)084f d a b =⇔=--
2
()(2)[(2)2(2)]0f x x ax a b x a b =-++++= 2
(2)2(2)]0ax a b x a b ⇒++++=二个不同根为,A C x x
(2)(6)0
(2)(6)0
62a b b a b b
a a
b b
a a
∆=+->⇔+->⇔><-或
综上得：63b
a
-≤≤- …………5分
（2）假设在函数()f x 的图象上存在一点00(,)M x y , 使得
()f x 在点M 的切线斜率为3b
则 2
000()33230f x b ax bx b '=⇔+-=有解（*）
令63,,0b
t t a b a
=⇒-≤≤-≠
得：222
4(9)4(9)0a t t a t t ∆=+=+<与（*）矛盾 在函数()f x 的图象上不存在一点00(,)M x y , 使得
()f x 在点M 的切线斜率为3b …………10分
（3）由（1）得：
222
22
2
222
()()4
1
[(2)8(2)]
412(2)16[9,48]
A C A C A C
AC x x x x x x
AC a b a a b
a
AC t t t
=-=+-
=+-+
=--=--∈
…………14分。