高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式新人教A版选择性必修第三册

＝P(APi)P(B(B) |Ai)＝
P(Ai)P(B|Ai)
n
，i＝1，2，…，n.
P(Ak)P(B|Ak)
k＝1
(2)在贝叶斯公式中，P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验 概率．
【预习自测】
全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？ 提示：两者的最大不同在处理的对象不同，其中全概率公式用来计 算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事 件，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算 条件概率的．
由全概率公式，得
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝13×15＋14×12＋112 ×130＝1630.
(2)所求概率为 P(B2|A)，由贝叶斯公式，得 P(B2|A)＝P(A|PB(2A)P) (B2)＝141×321＝2165.
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P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生) 的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识．当有了新的信息(知 道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计．贝叶斯 公式从数量上刻画了这种变化．
3．(题型2)李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮 忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这 几天邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3.假设李老师对邻居不了解， 即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现 花还活着，则邻居记得浇水的概率为________.
【答案】181
【解析】设 B 表示“邻居记得浇水”，－B 表示“邻居忘记浇水”，A 表示“花还活着”，由贝叶斯公式，得 P(B|A)＝P(B)P(AP|B(B)＋)PP(A(－|BB))P(A|－B ) ＝0.5×00..58×＋00..85×0.3＝181.
4．(题型1)(2022年郑州模拟)中国邮政发行了多款第24届冬奥会纪 念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等．小王有3张 “冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小张有“冬梦”“冰 墩墩”和“雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小张， 分别以事件A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容 融”；小张再随机取出一张邮票，以事件B表示他取出的邮票是“冰墩 墩”，则P(B|A2)＝________，P(B)＝________.
【答案】12
9 28
【解析】P(B|A2)＝24＝12，由题知 P(A1)＝37，P(A2)＝27，P(A3)＝27，则
P(B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋
P(A3)P(B|A3)
＝37×14＋27
×24＋27×
1 4
＝
9 28.
5．(题型 3)设甲、乙、丙三个地区暴发了某种流行病，三个地区感染
全概率公式求概率的关注点 全概率公式的实质是为了计算复杂事件的概率，把它分解成若干个 互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事 件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果．
1．某电子设备制备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根 据以往的记录有如下表所示的数据：
元件制造厂
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
学习目标 1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率 2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)
素养要求 数学运算 数学抽象
自学导引
全概率公式 一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两___互__斥___的事件，A1∪A2∪…∪An
题型2 贝叶斯公式
设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车 修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽 车是货车的概率．
解：设 B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过 的 是 客 车 ” ， 则 B ＝ A1B∪A2B ， 由 贝 叶 斯 公 式 ， 得 P(A1|B) ＝ P(A1)P(PB(|AA11))＋P(PB(|AA12))P(B|A2)＝23×0.230×2＋0.130×2 0.01＝0.8.
课堂互动
题型1 全概率公式 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为
0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的 概率为0.6, 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．
解：设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3. 显然A1，A2，A3为完备事件组， 且P(A1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36， P(A2)＝0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.3＝0.41， P(A3) ＝ 0.4×0.5×0.7 ＋ 0.14. 由 题 意 ， P(B|A1) ＝ 0.2 ， P(B|A2) ＝ 0.6 ， P(B|A3) ＝ 1 ， 利 用 全 概 率 公 式 ， 有 P(B) ＝ P(A1)P(B|A1) ＋ P(A2)P(B|A2) ＋ P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 故飞机被击落的概率为0.458.
3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家 的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，现 将这些产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的 可能性大？
解：设事件 A 表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3 分别表示“混 合在一起的产品中由甲、乙、丙厂生产的产品”，
1．(题型1)已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人女人各
占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为
()
A．0.012 45
B．0.057 86
C．0.026 25
D．0.028 65
【答案】C 【解析】由全概率公式，得所求概率为12×5%＋12×0.25%＝0.026 25.
2．(题型 1)(2023 年苏州期末)一份新高考数学试卷中有 8 道单选题，
运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，
得P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)＝ P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋ 0.05×0.03＝0.012 5， 所以在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5.
2．设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺 结核病的人通过胸透误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结 核概率为0.001.从这个城市的居民中随机选出一人，通过胸透被诊断为 肺结核，求这个人患有肺结核的概率．
解：设事件 A 表示“被诊断为肺结核”，C 表示“患有肺结核”．由 题意得 P(C)＝0.001，P( C )＝0.999，P(A|C)＝0.95，P(A| C )＝0.002，由贝 叶斯公式，得 P(C|A)＝P(C)P(AP|C(C)＋)P(PA(|CC))P(A| C )＝1447754.
题型3 全概率公式与贝叶斯公式的应用 一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车概率分
别为15，12，130.现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为 13，14，112.
(1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是动车的概率． 解：(1)设A＝“这位教授迟到”，B1＝“这位教授乘坐的是飞机”， B2＝“这位教授乘坐的是动车”，B3＝“这位教授乘坐的是非机动车”，
已知 P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. (1)由全概率公式，得
3
P(A)＝ P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
i＝1
(2)由贝叶斯公式，得 P(B1|A)＝P(B1P)P(A(A) |B1)＝0.20×.806.95＝1896， P(B2|A)＝P(B2P)P(A(A) |B2)＝0.30×.860.9＝8267， P(B3|A)＝P(B3P)P(A(A) |B3)＝0.50×.860.8＝8460， 将以上三个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
正解：高三(1)班代表队连胜两盘的概率 P(A)＝12×12＋1－12×12×12＝
3 8.
素养达成
1．全概率公式用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件 分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问 题．
2．概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计 算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样 的作用．
小明对其中 5 道题有思路，3 道题完全没有思路，有思路的题做对的概率
是 0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为 0.25，则小明
从这 8 道题目中随机抽取 1 道做对的概率为
()
A．17690
B．35
C．2312
D．58
【答案】C 【解析】设事件 A 表示“小明答对”，事件 B 表示“小明选到有思 路的题”．小明从这 8 道题目中随机抽取 1 道做对的概率 P(A)＝P(B)P(A|B) ＋P(－B )P(A|－B )＝58×0.9＋38×0.25＝2312.
贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果，把Ai(i＝1，2，…，n)看作该过程的 若干个原因，每一原因发生的概率P(Ai)已知，且每一原因对结果的影响 程度P(B|Ai)已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引 起的概率，则用贝叶斯公式，即求P(Ai|B).贝叶斯公式反映了事件Ai发生 的可能性在各种原因中的比重．
易错警示 题意理解不清致误 高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队进行乒乓球
对抗比赛．比赛规则如下：①按“单打、双打、单打”的顺序进行三盘比 赛；②先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为 12，则高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少？
错解：由题意知，高三(1)班代表队连胜两盘是指：高三(1)班代表队
第一、第二盘胜，第三盘输和第一盘输，第二、第三盘胜，所以高三(1)班
代表队连胜两盘的概率 P(A)＝12×12×1－12＋1－12×12×12＝14. 易错防范：题意理解不清，因为先胜两盘的队获胜，比赛结束，高
三(1)班代表队连胜两盘是指：高三(1)班代表队第一、第二盘胜和第一 盘输，第二、第三盘胜．
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01

0.80
3
0.03
0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标 志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
解：设事件Bi表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”(i ＝1，2，3)，事件A表示“取到的是一件次品”．其中B1，B2，B3两两互 斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且 B1A，B2A，B3A两两互斥．
3
(2)若 A1，A2，A3 互斥且 P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，则 P(B)＝P
i＝1
(Ai)P(B|Ai). 【答案】(1)√ (2)×
()
*
贝叶斯公式
(1)设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
且 P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意事件 B⊆Ω，P(B)＞0，有 P(Ai|B)
＝Ω，且 P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝
n
P(Ai)P(B|Ai).
i＝1
注意：全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
【预习自测】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若 P(A)>0，P( A )>0，则 P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P( A )P(B| A ). ( )