黄冈中学高考数学知识点与典型例题[1]

黄冈中学
高考知识点与典型例题
集合
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第一部分高考数学知识点重点难点
解集合题首先想到Φ=方程无解
一，数学思想应用
1、数形结合思想在解集合题中的具体应用:
数轴法, 文氏图法, 几何图形法数几文
2、函数与方程思想在解集合题中具体应用:
函数法方程法判别式法构造法
3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用:
列举法 补集法 空集的运用 数学结合
4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用:
列方程 补集法 文氏图法
二,集合的含义与表示方法
1、一般地，我们把研究对象统称为元素
把一些元素组成的总体叫做集合
2、集合元素三特性
1.确定性；
2.互异性；
3.无序性
3、 a 是集合A 的元素，a ∈A a 不属于集合A 记作 a ∉A 立体几何中体现为 点与直线/ 点与面 的关系
元素与集合之间的关系
U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.
4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0
正整数集N*或 N+ 不含0
整数集Z 有理数集Q 实数集R
3、集合表示方法： 列举法 描述法 韦恩图
4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。

描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是
{x ∈R| x-3>2} {x| x-3>2}
集合的分类： 有限集 无限集 空集
三、集合间的基本关系
“包含”关系—子集B A ⊆有两种可能
立体几何中体现为 直线与面关系
（a ）A 是B 的一部分
（b ）A 与B 是同一集合。

反之: A ⊆
/B B ⊇/A （c ）A ∩B=A ⇔B A ⊆⇔C U B ⊆C U A
（d ）A ∪B=B ⇔B A ⊆⇔ C U B ⊆C U A
（e ）A B ⊆⇔C U A ⊆C U B
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5⇒
5=5)
① 任何一个集合是它本身的子集。

A ⊆A
②真子集:如果 A ⊆B 且A ≠ B
⇔ A B 或B A
③A ⊆B, B ⊆C ⇔
A ⊆C
④ A⊆B 且B⊆A ⇔A=B B
=
A=
⇔
B
B
A
A
我们把不含任何元素的集合叫做空集，Φ
规定: 空集是任何集合的子集，Φ⊆A
空集是空集的子集Φ⊆Φ
空集是任何集合的子集⇒该集合可为空集，必考虑Φ
空集是任何非空集合的真子集
ΦA∩B⇔A∩B集合一定非空⇔方程有解
四、集合的运算
1．A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、A∪B={x|x∈A，或x∈B}．且与或是区分交与并
的关键
3、交集与并集的性质：
A∩A = A A∩φ= φ A∩B = B∩A A∪A = A A∪φ= A A∪B = B∪A
4、全集与补集
（1）补集： C S A ={x | x∈S且 x∉A}
S
A
C s A
（2）全集：含各个集合的全部元素U
（3）性质： C U (C U A)=A C U U=Φ C U Φ=U
(C U A)∩A=Φ (C U A)∪A=U
C U A ∪B=U ⇔B A ⊆ C U A ∩B=Φ⇔
B ⊆ A
已知集合A 、B ，当∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况： ∅=A ∪ ∅=B ∪ ∅=A ∩∅=B ； 求集合的子集时不能忘记∅
1、对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集个数，n 2 真子集，12-n
非空子集，12-n 非空真子集为.22-n
① 交换律：A B B A =； A B B A =；
② 结合律：)()(C B A C B A =； )()(C B A C B A = ③ 分配律：)()()(C A B A C B A =； )()()(C A B A C B A =
④ )
(B A A ⊆ A B A ⊆)(
)()(B A B A ⊆ A B B ⊆⇔=B A
B )(⊇B A )(B B A ⊇
)()(B A B A ⊇ B A A B A ⊆⇔= A B A B A ⊆⇔= ； B A U B A C U ⊆⇔= )(； A B B A C U ⊆⇔Φ= )(；
⑤ 反演律： B C A C B A C I I I ⋂=⋃)(， 并补补交
B C A C B A C I I I ⋃=⋂)( 交补补并
)()()(B A C B C A C U U U =； 补交并补
)()()(B A C B C A C U U U = 补并交补
B A 中元素的个数的计算公式为：
)()(B A Card CardB CardA B A Card -+= 二并和减交
)()(B A Card CardB CardA B A Card -+= 二交和减并
()()
card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+三并和减交加交
A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.
3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. ②点集与数集的交集是φ.
例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅ 包含关系：,,,,
,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C
等价关系：U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=C
求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U
吸收律 A ∪(A ∩B) = A A ∩(A ∪B) = A
传递性：A ⊂B 且B ⊂C ⇒ A ⊂C ；
A ⊆C ，
B ⊆
C ⇒ A ∪B ⊆C
C ⊆A ，C ⊆B ⇒ C ⊆A ∩B
若 A ∪B = U 且 A ∩B = Ø 则 B = A C。

Ø ⊆ A ⊆ U A-B-C =A-(B+C)=A ∩C U (B ∪C) 减交补
三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）
A ．（0，1），（1，2）
B ．{（0，1），（1，2）}
C ．{y|y=1,或y=2}
D ．{y|y≥1}
错解：求M∩N
及解方程组⎩⎨⎧+=+=1
12x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集, M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．
正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},
∴应选D．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2
＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
[例2]已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且
A∪B=A，求实数a组成的集合C．
错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.
当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，
1，2}．
正解：∵A∪B=A∴B A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，
2}
∴B=或{}{}
1或∴C={0，1，2}
2
[例3]已知m∈A,n∈B, 且集合A={}Z
2
=,
|，
a
a
x
x∈
B={}Z
x
x∈
a
4
|，则有：
a
=,1
+
2
a
a
x
x∈
=,1
+
|，又C={}Z
（）
A ．m +n ∈A B. m +n ∈
B C.m +n ∈
C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个
错解：∵m ∈A ，∴m =2a ,a Z ∈,同理n =2a +1,a ∈Z, ∴m +n =4a +1,故选C
错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.
正解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴
n =2a 2+1,a 2∈ Z ,
∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x 2
－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．
错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．
欲使B A ，只须33
51212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.
由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，
A B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解
题过程中要全方位、多角度审视问题．
[例5]已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
1．
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－
2
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
1∈A，1≠a且[例6]设A是实数集，满足若a∈A，则
1
-
a
1∉A.
⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－a
1∈A.
⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 2
1∈A ⇒ 2∈A
∴ A 中至少还有两个元素：－1和2
1
⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a
-11
即12+-a a ＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集
⑶a∈A ⇒ a
-11
∈A ⇒ a
--
1111∈A ⇒
1
11---a a ∈
A ，即
1
－a
1∈A
⑷由⑶知a∈A 时，
a
-11
∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－
a 1
, a -11三数互不相等.①若a=a
-11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11
②若a=1－a
1，即a 2
-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a
1
③若1－a
1 =
a
-11
，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a
1≠
a
-11
. 综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
[例7] 设集合A={a |a =12+n ,n ∈N +
}，集合B={b |b =542+-k k ,k ∈N +
}，试证：A B ．
证明：任设a ∈A，
则a =12+n =(n ＋2)2
－4(n ＋2)＋5 (n ∈N +
), ∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N* ∴ a∈B 故
①
显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由
B={b |b =542+-k k ,k ∈N +
}={b |b =1)2(2+-k ，k ∈N +
}知1∈B，于是A≠B ②
由①、② 得A B ．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 四、典型习题导练
1．集合A={x|x 2
－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x 2
－x －6＞0， x ∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ） A ．16 B ．14 C ．15 D ．32
2．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ） A ．{2，-2 } B ．{－2，－
5
} C ．{±2，
±5 } D ．{
5，－5}
3. 若P={y|y=x 2
,x∈R}，Q={y|y=x 2
＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）
A ．P
B ．Q
C ．
D ．不知道
4. 若P={y|y=x 2
,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2
,x∈R}，则必有（ ） A ．P∩Q= B ．P Q C ．P=Q D ．P Q 5．若集合M ＝｛11|<x
x ｝，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝
（ ）
A ．}11|{<<-x x
B ．}10|{<<x x
C ．}01|{<<-x x
D ．∅
6.已知集合A={x|x 2
＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋
=，则实数m 的取值范围是_________． 7.设a R ∈，函数
2()22.f x a x x a =--若()0
f x >的解集为A ，
{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

8.已知集合A={}012|2=++b ax x x 和B={}0|2=+-b ax x x 满足
I C A ∩B={}2，A ∩I C B={}4，I=R ，求实数
a,b 的值.
典型例题讲解
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围.
●案例探究
［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.
解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅
∵⎩⎨⎧+=+=b
kx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅
∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0
∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1
①
∵⎩⎨⎧+==+-+b
kx y y x x 052242 ∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0
∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0
∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-0
32,
01842
2k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.
［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A 的人数为50×5
3=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .
设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3
x +1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .
依题意(30－x )+(33－x )+x +(
3
x
+1)=50,解得x =21. 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =2
2π
π+k ,k ∈Z },则( ) A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅
2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )
A.－3≤m ≤4
B.－3<m <4
C.2<m <4
D.2<m ≤4
二、填空题
3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.
4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|b
y
a x
- =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B
∅和A ∩C =∅同时成立.
6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，
它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,
n
S n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41
x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明. (1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素； (3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.
7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =2
1zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.
8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }. (1)求证：A ⊆B ;
(2)如果A ={－1，3}，求B .
参考答案 难点磁场
解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)
20(010
22x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0
①
∵A ∩B ≠∅
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.
当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
故所求m 的取值范围是m ≤－1.
歼灭难点训练
一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4
π
,n
∈Z }∪{x |x =
n π+
4
3π
,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4
3π
,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π
+4
5π
,n ∈Z }. 答案：C
2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4. 答案：D
二、3.a =0或a ≥8
9
4.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b
y
a x -=1相切，则1=
2
2b a ab +,即ab =22b a +.
答案：ab =22b a +
三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩
B
∅,即A ∩B ≠∅,
∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2. 当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩
B ∅，∴a =－
2.
6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =
2)(1n a a n +,则2
1
=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,n S n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , n
S n )均在直线y =21x +21
a 1上.
(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=14
12121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当
a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =1
2
1
24a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=12112
14424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解.
∴A ∩B 至多有一个元素.
(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,
n
S n
>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而
x 0=522412
1-=--a a ＜0,y 0=4
3201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1
时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.
7.解：由w =2
1zi +b 得z =
i
b
w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|i
b
w 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.
∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.
又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含.
因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2. 8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).
即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B . (2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },
∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得
⎩
⎨⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧=⨯---=+-31
3)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.
于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根.
将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0 解得x=1,3,3,－3.
故B={－3，－1，3，3}.。