初升高数学试卷(后含答案)
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初升高数学·试卷
一、填空题
1. 已知 1 1 1 ，则 b a __________。 a b ab a b
2. 有__________个实数 x ，可以使得 120 x 为整数？ 3. 如图，ABC 中，AB AC ，CD BF ，BD CE ，用含 A 的式子表示 EDF ，应为 EDF
B
(2)若 BAC 30 ，CAD 45 ，AC 4 ，求 MN
的长。
A
M
N
C
D
2
14. 是否存在 m 个不全相等的正数 a1 ， a2 ，…， am ( m≥7 )，使得它们能全部被摆放在一个圆周上， 每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的 m 值；若不存在，说明理由。
【试卷总结与分析】 1. 高中知识点分析
， a6
a b
， a7
a
， a8
b
∴ a1, a2 ,, am 以 6 为周期
∴当 m 是 6 的倍数时，只要 a b ，则一定满足题意
当 m 不是 6 的倍数时，因 a1, a2 ,, am 以 6 为周期，且不全相等
∴所以周期可能为 2 或 3
若周期为 2
，则 a1
a3 ，即 b
a2
，同时 a2
4. y x2 mx 3 m2 (x m)(x 3m)
4
2
2
1 1 2 ， OA OB OB OA 3
OA 3m ,OB m
2
2
2 2 2, m2 m 3m 3
5. 只需 r 是 72 的约数即可 72 23 32 , 72 共有 43 12 个约数 因此共有 12 个可能值
__________。
A
F
E
B
D
C
4. 在直角坐标系中，抛物线 y x2 mx - 3 m2 (m＞0) 与 x 轴交于 A 、 B 两点，若 A 、 B 两点到原 4
点的距离分别为 OA 、 OB ，且满足 1 1 2 ，则 m __________。 OB OA 3
5. 定圆 A 的半径为 72，动圆 B 的半径为 r ， r＜72 且 r 是一个整数，动圆 B 保持内切于圆 A 且沿着 圆 A 的圆周滚动一圈，若动圆 B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则 r 共有__________个
2016
2
1007 1008 1007 1008 1008 504
2015
2014
2
即 503.5 a b 504
ans B
【高中知识点】不等式放缩
13. ⑴连 MB, MD
2
ABC MA
ADC NA
90
MC
90
NC
MB
1 2
AC
MD
1 2
AC
MB NB
MD
ND
4
12.
a b 1 22 12 32 22 42 32 10072 10062 10072
3
5
7
2013
2015
11111 10072 2015
1007 10072 1007 1008 2015 2015
1007 1008 1007 1008 1007 503.5
2015
可能的值？
6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐 4 人，就余下 20 人；如果每船坐 8 人，那么就有一船不空 也不满，则学生共有__________人？
7. 对于各数互不相等的正数数组( a1 ，a2 ，…，an )( n 是不小于 2 的正整数)，如果在 i＜j 时有 ai＞a j ，
则称 ai 与 a j 是该数组的一个“逆序”。例如数组(2，4，3，1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，
3. 初中知识点分析
初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，仅考察了基本的知识与应用 如第 3 题（全等三角形）、第 10 题（面积法）、第 13 题（四点共圆、三角比），不需 要太高深的平面几何知识，基本可以应付 数论知识与组合知识，也是上中每年必考，但题量很小，每年固定 1 到 2 题左右 要求也并不高，如本卷中，数论只考到了质因数分解、约数个数；组合只考了一个简单的 计数 建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接 触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏
x2 p2 x q2 0 ，则(
)
A. 甲必有实根，乙也必有实根 C. 甲、乙至少有一个有实根
B. 甲没有实根，乙也没有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定
12. 设 a 12 22 32 10072 ， b 12 22 32 10072 ，则以下四个选项中最接近
6. 设 x 人， y 船；则 x 4y 20 ，1 x 8y 7
∴1 20 4y 7 , 13 y 19 , y 4 , x 36
4
4
【高中知识点】不等式放缩——解不定方程
7. 原来是逆序的，现在变正序；原来是正序的，现在变逆序
因此现在的逆序数是 C62 2 13
【高中知识点】组合计数
8. 9 n x 10 n , 要有唯一整数解，则 10 n 9 n n 2
10
11
11 10 110
1
得 n 220 又当 n 220 时，不等式为198 x 200 符合题意 因此 nmax 220
【高中知识点】数形结合思想——不等式解集与数轴
9. 12 1(12) (1)12 2(6) (2)6 3(4) (3) 4 , total = 6
21 x n 19
__________。
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
1
二、选择题
9. 已知 x2 ax -12 能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数 a 的个数为( )
A.3
Байду номын сангаасB.4
C.6
D.8
10. 如图，D 、E 分别为 ABC 的底边所在直线上的两点，DB EC ，过 A 作直线 l ，作 DM ∥BA
MN
BD
⑵ ABC ADC 90
∴ A, B,C, D 共圆，且 M 是圆心
∴ MB MD 1 AC 2 2
BMN BAD BAC CAD 75
∴ MN MB cos 75 2 6 2 6 2
4
2
14. 设 a1 a, a2 b ，则
a3
b a
， a4
1 a
， a5
1 b
135
2013
357
2015
a b 的整数为( )
A. 252 二、解答题
B. 504
C. 1007
D . 2013
13. 直角三角形 ABC 和直角三角形 ADC 有公共斜边 AC ( B 、D 位于 AC 的两侧)，M 、 N 分别是
AC 、 BD 中点，且 M 、 N 不重合。
(1)线段 MN 与 BD 是否垂直？证明你的结论；
3
2. 初高衔接知识点分析
高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5% 想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以 ①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算） ②解方程 ③二次函数的图像与性质 为主，本试卷中在第 1, 2, 4, 11, 14 题都有涉及到 因此，本试卷的一条主线便是——选拔代数功底好的学生，几何次之
a4
，即 b
1 a
∴ a 1,b 1，矛盾！
若周期为 3 ，则 a1
a4
，即 a
1 a
，同时 a2
a5
，即 b
1 b
∴ a 1,b 1，矛盾！
因此，当且仅当 m 是 6 的倍数时，一定满足题意
【高中知识点】周期数列、分类讨论思想
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
从涉及到的重要高中知识点来说，上海中学最多的考察频率最高的点是“不等式的应用”， 其中以放缩法为主，这也与高中数学形成完美的切合，因为高中数学的第一大难点，便是 高一上学期“不等式”版块，如果能在这方面下好功夫，便可在考试中占据大量优势
ans C
10. SAMB SADB SAEC SANC , ans B
11. 假设 1 0, 2 0 ，则 p12 4q1, p22 4q2
p1 p2
2(q1 q2 ) 2
p12 4
p22
p12 2
p22
,
p12 p22 2 p1 p2 , 矛盾！
∴至少有一个有实根 ans C 【高中知识点】反证法，不等式放缩
3. 初中知识点分析
初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，仅考察了基本的知识与应用 如第 3 题（全等三角形）、第 10 题（面积法）、第 13 题（四点共圆、三角比），不需 要太高深的平面几何知识，基本可以应付 数论知识与组合知识，也是上中每年必考，但题量很小，每年固定 1 到 2 题左右 要求也并不高，如本卷中，数论只考到了质因数分解、约数个数；组合只考了一个简单的 计数 建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接 触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏
“3，1”，其逆序数为 4，现若各数互不相同的正数数组( a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ， a6 )的逆序数为 2，
则( a6 ， a5 ， a4 ， a3 ， a2 ， a1 )的逆序数是__________。 8. 若 n 为 正 整 数 ， 则 使 得 关 于 x 的 不 等 式 1 1＜ n ＜ 1 0有 唯 一 的 整 数 解 的 n 的 最 大 值 为
3
初升高-数学·试卷
1. a b a b 1 , 1 b 1 a 1 , b a 1
ab
ab
ab
2. 120 x 120 11,
【高中知识点】不等式的放缩
120 x 0,1, 2,,10 , 共 11 个
3. FBD≌DCE , EDF 180 FDB EDC 180 FDB BFD B 90 1 A 2
交 l 于 M ，作 EN∥CA交 l 于 N 。设 ABM 面积为 S1 ， ACN 面积为 S2 ，则( )
A. S1＞S2 B. S1 =S2
M AN
l
C. S1＜S2
DB
CE
11. 设 p1 ， p2 ， q1 、 q2 为实 数，则 p1 p2 2(q1 q2 ) ， 若方程 甲： x2 p1x q1 0 ，乙 ：
从涉及到的重要高中知识点来说，上海中学最多的考察频率最高的点是“不等式的应用”， 其中以放缩法为主，这也与高中数学形成完美的切合，因为高中数学的第一大难点，便是 高一上学期“不等式”版块，如果能在这方面下好功夫，便可在考试中占据大量优势
2. 初高衔接知识点分析
高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5% 想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以 ①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算） ②解方程 ③二次函数的图像与性质 为主，本试卷中在第 1, 2, 4, 11, 14 题都有涉及到 因此，本试卷的一条主线便是——选拔代数功底好的学生，几何次之
一、填空题
1. 已知 1 1 1 ，则 b a __________。 a b ab a b
2. 有__________个实数 x ，可以使得 120 x 为整数？ 3. 如图，ABC 中，AB AC ，CD BF ，BD CE ，用含 A 的式子表示 EDF ，应为 EDF
B
(2)若 BAC 30 ，CAD 45 ，AC 4 ，求 MN
的长。
A
M
N
C
D
2
14. 是否存在 m 个不全相等的正数 a1 ， a2 ，…， am ( m≥7 )，使得它们能全部被摆放在一个圆周上， 每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的 m 值；若不存在，说明理由。
【试卷总结与分析】 1. 高中知识点分析
， a6
a b
， a7
a
， a8
b
∴ a1, a2 ,, am 以 6 为周期
∴当 m 是 6 的倍数时，只要 a b ，则一定满足题意
当 m 不是 6 的倍数时，因 a1, a2 ,, am 以 6 为周期，且不全相等
∴所以周期可能为 2 或 3
若周期为 2
，则 a1
a3 ，即 b
a2
，同时 a2
4. y x2 mx 3 m2 (x m)(x 3m)
4
2
2
1 1 2 ， OA OB OB OA 3
OA 3m ,OB m
2
2
2 2 2, m2 m 3m 3
5. 只需 r 是 72 的约数即可 72 23 32 , 72 共有 43 12 个约数 因此共有 12 个可能值
__________。
A
F
E
B
D
C
4. 在直角坐标系中，抛物线 y x2 mx - 3 m2 (m＞0) 与 x 轴交于 A 、 B 两点，若 A 、 B 两点到原 4
点的距离分别为 OA 、 OB ，且满足 1 1 2 ，则 m __________。 OB OA 3
5. 定圆 A 的半径为 72，动圆 B 的半径为 r ， r＜72 且 r 是一个整数，动圆 B 保持内切于圆 A 且沿着 圆 A 的圆周滚动一圈，若动圆 B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则 r 共有__________个
2016
2
1007 1008 1007 1008 1008 504
2015
2014
2
即 503.5 a b 504
ans B
【高中知识点】不等式放缩
13. ⑴连 MB, MD
2
ABC MA
ADC NA
90
MC
90
NC
MB
1 2
AC
MD
1 2
AC
MB NB
MD
ND
4
12.
a b 1 22 12 32 22 42 32 10072 10062 10072
3
5
7
2013
2015
11111 10072 2015
1007 10072 1007 1008 2015 2015
1007 1008 1007 1008 1007 503.5
2015
可能的值？
6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐 4 人，就余下 20 人；如果每船坐 8 人，那么就有一船不空 也不满，则学生共有__________人？
7. 对于各数互不相等的正数数组( a1 ，a2 ，…，an )( n 是不小于 2 的正整数)，如果在 i＜j 时有 ai＞a j ，
则称 ai 与 a j 是该数组的一个“逆序”。例如数组(2，4，3，1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，
3. 初中知识点分析
初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，仅考察了基本的知识与应用 如第 3 题（全等三角形）、第 10 题（面积法）、第 13 题（四点共圆、三角比），不需 要太高深的平面几何知识，基本可以应付 数论知识与组合知识，也是上中每年必考，但题量很小，每年固定 1 到 2 题左右 要求也并不高，如本卷中，数论只考到了质因数分解、约数个数；组合只考了一个简单的 计数 建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接 触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏
x2 p2 x q2 0 ，则(
)
A. 甲必有实根，乙也必有实根 C. 甲、乙至少有一个有实根
B. 甲没有实根，乙也没有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定
12. 设 a 12 22 32 10072 ， b 12 22 32 10072 ，则以下四个选项中最接近
6. 设 x 人， y 船；则 x 4y 20 ，1 x 8y 7
∴1 20 4y 7 , 13 y 19 , y 4 , x 36
4
4
【高中知识点】不等式放缩——解不定方程
7. 原来是逆序的，现在变正序；原来是正序的，现在变逆序
因此现在的逆序数是 C62 2 13
【高中知识点】组合计数
8. 9 n x 10 n , 要有唯一整数解，则 10 n 9 n n 2
10
11
11 10 110
1
得 n 220 又当 n 220 时，不等式为198 x 200 符合题意 因此 nmax 220
【高中知识点】数形结合思想——不等式解集与数轴
9. 12 1(12) (1)12 2(6) (2)6 3(4) (3) 4 , total = 6
21 x n 19
__________。
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
1
二、选择题
9. 已知 x2 ax -12 能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数 a 的个数为( )
A.3
Байду номын сангаасB.4
C.6
D.8
10. 如图，D 、E 分别为 ABC 的底边所在直线上的两点，DB EC ，过 A 作直线 l ，作 DM ∥BA
MN
BD
⑵ ABC ADC 90
∴ A, B,C, D 共圆，且 M 是圆心
∴ MB MD 1 AC 2 2
BMN BAD BAC CAD 75
∴ MN MB cos 75 2 6 2 6 2
4
2
14. 设 a1 a, a2 b ，则
a3
b a
， a4
1 a
， a5
1 b
135
2013
357
2015
a b 的整数为( )
A. 252 二、解答题
B. 504
C. 1007
D . 2013
13. 直角三角形 ABC 和直角三角形 ADC 有公共斜边 AC ( B 、D 位于 AC 的两侧)，M 、 N 分别是
AC 、 BD 中点，且 M 、 N 不重合。
(1)线段 MN 与 BD 是否垂直？证明你的结论；
3
2. 初高衔接知识点分析
高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5% 想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以 ①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算） ②解方程 ③二次函数的图像与性质 为主，本试卷中在第 1, 2, 4, 11, 14 题都有涉及到 因此，本试卷的一条主线便是——选拔代数功底好的学生，几何次之
a4
，即 b
1 a
∴ a 1,b 1，矛盾！
若周期为 3 ，则 a1
a4
，即 a
1 a
，同时 a2
a5
，即 b
1 b
∴ a 1,b 1，矛盾！
因此，当且仅当 m 是 6 的倍数时，一定满足题意
【高中知识点】周期数列、分类讨论思想
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
从涉及到的重要高中知识点来说，上海中学最多的考察频率最高的点是“不等式的应用”， 其中以放缩法为主，这也与高中数学形成完美的切合，因为高中数学的第一大难点，便是 高一上学期“不等式”版块，如果能在这方面下好功夫，便可在考试中占据大量优势
ans C
10. SAMB SADB SAEC SANC , ans B
11. 假设 1 0, 2 0 ，则 p12 4q1, p22 4q2
p1 p2
2(q1 q2 ) 2
p12 4
p22
p12 2
p22
,
p12 p22 2 p1 p2 , 矛盾！
∴至少有一个有实根 ans C 【高中知识点】反证法，不等式放缩
3. 初中知识点分析
初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，仅考察了基本的知识与应用 如第 3 题（全等三角形）、第 10 题（面积法）、第 13 题（四点共圆、三角比），不需 要太高深的平面几何知识，基本可以应付 数论知识与组合知识，也是上中每年必考，但题量很小，每年固定 1 到 2 题左右 要求也并不高，如本卷中，数论只考到了质因数分解、约数个数；组合只考了一个简单的 计数 建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接 触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏
“3，1”，其逆序数为 4，现若各数互不相同的正数数组( a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ， a6 )的逆序数为 2，
则( a6 ， a5 ， a4 ， a3 ， a2 ， a1 )的逆序数是__________。 8. 若 n 为 正 整 数 ， 则 使 得 关 于 x 的 不 等 式 1 1＜ n ＜ 1 0有 唯 一 的 整 数 解 的 n 的 最 大 值 为
3
初升高-数学·试卷
1. a b a b 1 , 1 b 1 a 1 , b a 1
ab
ab
ab
2. 120 x 120 11,
【高中知识点】不等式的放缩
120 x 0,1, 2,,10 , 共 11 个
3. FBD≌DCE , EDF 180 FDB EDC 180 FDB BFD B 90 1 A 2
交 l 于 M ，作 EN∥CA交 l 于 N 。设 ABM 面积为 S1 ， ACN 面积为 S2 ，则( )
A. S1＞S2 B. S1 =S2
M AN
l
C. S1＜S2
DB
CE
11. 设 p1 ， p2 ， q1 、 q2 为实 数，则 p1 p2 2(q1 q2 ) ， 若方程 甲： x2 p1x q1 0 ，乙 ：
从涉及到的重要高中知识点来说，上海中学最多的考察频率最高的点是“不等式的应用”， 其中以放缩法为主，这也与高中数学形成完美的切合，因为高中数学的第一大难点，便是 高一上学期“不等式”版块，如果能在这方面下好功夫，便可在考试中占据大量优势
2. 初高衔接知识点分析
高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5% 想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以 ①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算） ②解方程 ③二次函数的图像与性质 为主，本试卷中在第 1, 2, 4, 11, 14 题都有涉及到 因此，本试卷的一条主线便是——选拔代数功底好的学生，几何次之