专题18 几何综合问题(解析版)-备战2022年中考数学必刷300题(全国通用)

十八、几何综合问题
例题演练
1．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF ＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．
【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴BC＝AB＝12，BD＝CD＝6，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝DC＝6，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF
∵∠DAH＝∠F AH＝45°，
∴EH＝HF，
∵AE：DE＝2：1，
∴AE＝4，DE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EG＝CG，EH＝FH，
∴GH＝CF＝．
（2）结论：∠DGH＝90°是定值．
理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．同法可证△BAE≌△CAF （SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠AJB＝∠CJO，
∴∠COJ＝∠BAJ＝90°，
∴CF⊥BE，
∵EH＝HF，EG＝GC，
∴GH∥CF，
∵CD＝DB，CG＝GE，
∴DG∥BE，
∴DG⊥GH，
∴∠DGH＝90°．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．
由题意AJ＝JC＝3，AB＝6，
∵∠BAJ＝90°，
∴BJ＝＝＝3，
∵AJ＝JC，EG＝CG，
∴JG＝AE＝2，
∵BG≤BJ+JG，
∴BG≤3+2，
∴BG的最大值为3+2．
2．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AC的中点，EF＝EC，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，连接FG、FC；点D为BC中点，连接GD，直线GD与直线CF交于点N．
（1）如图1，若∠FCA＝30°，DC＝，求CF的长；
（2）连接BG并延长至点M，使BG＝MG，连接CM．
①如图2，若NG⊥MB，求证：AB＝CM；
②如图3，当点G、F、B共线时，∠BCH＝90°，连接CH，CH＝BC，请直接写
出的值．
【解答】解：（1）如图1中，连接DE，过点E作EJ⊥CF于J．
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AE＝EC，BD＝DC，
∴DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴ED＝EC，
∵CD＝，
∴EC＝ED＝EF＝，
∵∠ECF＝30°，EJ⊥CF，
∴CJ＝FJ＝EC•cos30°＝，
∴CF＝2CJ＝3．
（2）①如图2中，连接DE，EN．
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵AE＝EC，BD＝DC，
∴DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴ED＝EC，
∵∠GEF＝∠DEC＝90°，
∴∠GED＝∠FEC，
∵EG＝EF，ED＝EC，
∴△GED≌△FEC（SAS），
∴∠EGD＝∠EDG＝∠EFC＝∠ECF，
∵DG＝CF，∠EFC+∠EFN＝180°，
∴∠EGN+∠EFN＝180°，
∴E，G，N，F四点共圆，
∴∠ENF＝∠EGF＝45°，∠GNE＝∠EFG＝45°∴∠ENC＝∠ENG＝45°，
∴∠GNC＝90°，
∵EG＝EC，
∴△NEC≌△NEG（AAS），
∴NG＝NC，
∵NG⊥BM，
∴∠NGB＝90°，
∵BG＝GM，BD＝DC，
∴DG∥CM，DG＝CM，
∴∠M＝∠DGB＝90°，
∴四边形CMGN是矩形，
∵NG＝NC，
∴四边形CMGN是正方形，
∴NC＝CM＝GN＝MG＝2CF，设CF＝DG＝DN＝FN＝m，则BG＝GM＝2m，∴BD＝＝＝m，
∴BC＝2DB＝2m，
∴AB＝BC＝m，
∴＝＝，
∴AB＝CM．
②如图3中，
∵CH＝BC，
∴可以假设BC＝5k，CH＝4k．则AC＝k，
∴AE＝EC＝EF＝EG＝k，
∴FG＝EG＝k，
∵CH⊥CB，∠ACB＝45°，
∴∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝45°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠HCF＝∠HCA+∠ECF＝45°+∠ECF，∠HFC＝∠EFG+∠EFC＝45°+∠EFC，∴∠HCF＝∠HFC，
∴HF＝HC＝4k，
∴＝＝．
3．已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB交AB于M，DB⊥BC，E是AC上一点，EH⊥BC，垂足为H，EH与CD交于点F，连接BE．
（1）如图1，若EC＝AC，EH＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD于Q，求证：BG＝CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接FG，交BE于N，连接MN，若＝，△AGF的面积为49，求MN的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵EH⊥BC，
∴tan∠ACB＝＝，
∴HC＝＝2，
∵cos∠ACB＝＝，
∴EC＝4，
∵EC＝AC，
∴AC＝10，
∴BC＝AC＝10，
∴BH＝BC﹣CH＝8，
∴BE＝＝＝2；
（2）如图2，过点A作AP⊥BD，交BD的延长线于P，
∴∠APB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCD＝30°，AB＝AC＝BC，∠AMC＝∠BMC ＝90°，
又∵BD⊥BC，
∴∠ABP＝30°＝∠ACD，
在△ACM和△ABP中，
，
∴△ACM≌△ABP（AAS），
∴AP＝AM，BP＝CM，
∵将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，
∴AG＝AF，
在Rt△APG和Rt△AMF中，
，
∴Rt△APG≌Rt△AMF（HL），
∴PG＝MF，
∴BP﹣PG＝CM﹣MF，
∴BG＝CF；
（3）如图3中，连接AD，延长BD到S，使得DS＝SD，则DB＝DS＝DA，∠ADS ＝2∠ABD＝∠S＝60°，则△ADS是等边三角形，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠S＝60°，
∴DQ∥AS，
∴AQ：QG＝SD：DG＝5：3，设AD＝DB＝5k，DG＝3k，则BG＝CF＝2k，∴EF＝FC＝2k，FH＝k，BE＝2k，
∴CD＝2DA＝2k，FD＝8k，AB＝5k，AE＝3k，
由（2）可知：Rt△APG≌Rt△AMF，
∴∠P AB＝∠MAF，
∴∠GAF＝∠P AB＝60°，
又∵AG＝AF，
∴△AGF是等边三角形，
在△DFG中，∠FDG＝60°，由DG＝3k，DF＝8k，可得FG＝7k
∵∠FCE＝∠FEC＝30°，
∴EF＝FC，
∵EH⊥BC，DB⊥BC，
∴EF∥BG，
∴∠NEF＝∠NBG，
∵EF＝CF＝BG，∠ENF＝∠BNG，
∴△NEF≌△NBG（ASA），
∴BN＝NE，
∵BM＝AM，
∴MN＝AE＝，
∵△AGF的面积为49，
∴FG2＝49，
∴FG＝7k＝14，
∴k＝2，
∴MN＝3．
4．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；
（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；
（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积．
【解答】（1）解：如图1中，过点E作EQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则四边形BQED 是矩形，
∴BD＝QE＝，
在Rt△BQE中，∠QBE＝30°，
∴，，
在Rt△ABC中，，
∴AQ＝10，
在Rt△AQE中，．
（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM＝AD，并且延长MF至点H，使MF ＝FH，连接CM，DH．
在△BAD和△CBM中，
，
∴△BAD≌△CBM（SAS），
∴BD＝CM，∠ABD＝∠BCM，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△DFH和△CFM中，
，
∴△DFH≌△CFM（SAS），
∴DH＝CM，∠H＝∠FMC，
∴DH＝BD，∠H＝∠FMC＝∠DBH，
又∵∠FMC是△BMC的外角，
∴∠FMC＝∠BCM+∠MBC＝∠ABD+∠MBC，
∵∠ABD+∠MBC+∠DBF＝90°，
∴2∠DBF＝90°，
∴∠DBF＝45°．
（3）如图3中，取AC的中点F，连接A′F，DF，过点F作FT⊥AB于T．
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4，
∴AB＝AC＝AC＝2，∠BAC＝45°，
∵AF＝FC＝2，FT⊥AB，
∴AT＝FT＝AF＝，
∵AB＝BA′＝2
∴BT＝AT＝，A′T＝3，
∴A′F＝＝＝2，
∵∠ADC＝90°，AF＝CF，
∴DF＝AC＝2，
∵DA′≥A′F﹣DF，
∴DA′≥2﹣2，
∴当A'，D，F共线时，DA′的值最小，此时FD′＝DF＝2，
过点D′作D′R⊥AA′于R，
∵FT⊥AB，
∴D′R∥FT，
∴＝，
∴＝，
∴D′R＝﹣，
∴S△D′AB＝×2×（﹣）＝．
5．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+A′C最小时，求S△A′BC．
【解答】解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：
∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，
∴∠EBD＝90°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝30°，
∴在直角△BDG中有DG＝＝2，＝，
∵∠ACB＝45°，
∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，
∴BC＝BG+CG＝，
∴AC＝BC＝；
（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝，
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G 作GM⊥AB于M，如图：
∴∠END＝90°，
由旋转可知∠EBD＝90°，
∴∠EDB＝45°
∴∠END＝∠EBD＝90°，
∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°
∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，
∴∠BEN＝∠BDC，
∴∠BNE＝45°＝∠BCD，
在△BEN和△BDC中，
，
∴△BEN≌△BDC（AAS），
∴BN＝BC，
∵∠BAC＝90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，
∵∠BAC＝∠END＝90°，
∴EN∥AB，
∵A是CN的中点，
∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG∥BE，FG＝BE，
∵BE⊥BD，
∴FG⊥BD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGF＝75°，
设AC＝a，则AB＝a，
在Rt△ABD中，AD＝，BD＝BE＝，
∴FG＝BE，
∴FG＝，
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰三角形，
∴MG＝MB＝，在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，
∴MF＝MG，
∴MF＝，
∴BF＝BM+MF＝，
在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，
∴FH＝＝a，
∴HG＝FG﹣FH＝﹣a＝，
又∵CD＝＝，
∴＝，
∴HG＝；
（3）设AB＝a，则BC＝，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，
由旋转可知A′B＝AB＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴，
又∠A'BN＝∠CBA'，
∴△A′BN∽△CBA′，
∴＝，
∴A'N＝A'C，
根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，
设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，
∵AB⊥AC，
∴DN⊥AC，
∵∠A＝∠A''F A＝∠A''DA＝90°，
∴四边形A''F AD是矩形，
∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，
∵又A''B＝AB＝4，
设AF＝x，
在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，
∴42＝22+（4﹣x）2，
解得x＝．
∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC＝AB•AC﹣AB•A''F﹣AC•A''D＝×4×4﹣×4×2﹣×4×（4﹣2）＝4﹣4．
6．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．
【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝4，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAG＝∠GAF＝30°，
∴EG＝GF，
∵AE＝2，
∴DE＝AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EN＝CN，EG＝FG，
∴GN＝CF＝．
（2）结论：∠DNM＝120°是定值．
理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECF，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．
（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．
∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝AE＝，
∵BJ＝AD＝4，
∴BN≤BJ+JN，
∴BN≤5，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．
∵KJ＝AJ•tan30°＝，JN＝，
∴KN＝，
在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，
∴HN＝NK•sin60°＝×＝，
∴S△ADN＝•AD•NH＝×4×＝7．
7．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC 于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．
（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；
（2）求证：CH＝2BQ；
（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．
【解答】（1）解：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝6，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD＝BD＝3，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴Q到AB，BC边的距离相等，
∴＝＝＝＝，
∴AQ＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝6，BF＝4，
∴AF＝﹣＝2，
∴AQ＝×2＝，
在Rt△ADQ中，∠ADQ＝90°，DQ＝＝＝，∴S△ADQ＝•AD•DQ＝×3×＝，
当BF＝4时，△ADQ的面积为；
（2）证明：过点C作CG⊥AC，交AC的延长线于G，
∵CG⊥AC，BD⊥AC，
∴BD∥CG，
∵AD＝CD，
∴AQ＝GQ，
∴DQ是△ACG的中线，
∴CG＝2DQ，
∵∠ACB＝∠BAC＝45°，∠DCG＝90°，
∴∠BCG＝∠DCG﹣∠BCD＝45°，
∴∠EAH＝∠GCF，
∵AF⊥EH，
∴∠BAF+∠AEH＝90°，
∵∠BAF+∠BF A＝90°，∠BF A＝∠CFG，
∴∠AEH＝∠CFG，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，
∴AE＝CF，
在△HAE与△GCF中，
，
∴△HAE≌△GCF（ASA），
∴AH＝CG，
∴AH＝2DQ，
∵AC＝2BD＝AH+CH＝2（BQ+DQ）＝2BQ+2DQ，∴CH＝2BQ；
（3）解：如图2中，连接BM，过点A作AK⊥AB，且AK＝AB，连接NK，
∵BE＝BF＝3，∠EBF＝90°，
∴EF＝BE＝3，
∵M为EF中点，
∴BM＝EM＝FM＝，
∴∠BAK＝90°，
∵AM绕点A逆时针旋转90°得AN，
∴AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠BAM＝∠KAN，
在△ABM与△AKN中，
，
∴△ABM≌△AKN（SAS），
∴BM＝KN＝，∠ABM＝∠AKN，
∴N在以K为圆心，为半径的圆上移动，
∴当且仅当K，N，R三点共线时，NR长度最小，
∵当NR取最小值时，∠RAK＝∠RNA＝45°，
∴AR＝CR＝3，∠ABM＝∠AKN＝45°，
∵NK＝，
∴RN＝，AR＝CR＝3，
∴AN＝CN＝＝＝，
∵MN＝AN＝3，∠ABM＝45°，∠FBM＝45°，
∴F在AB上，E在CB延长线上，
如图3中，过M作MH⊥BE于H，
∴∠MHB＝90°，∠HMB＝∠HBM＝45°，
∴MH＝BH＝BM＝，
∴CH＝BC+BH＝6+＝，
在Rt△HCM中，∠MHC＝90°，MC＝＝＝，∴L△CMN＝CM+CN+MN＝++3，
∴当NR最小时，△CMN的周长为：++3．
8．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点F为DE中点，连接CF．
（1）如图1所示，若点D正好在BC边上，求证：∠B＝∠ACE；
（2）如图2所示，点D在BC边上，分别延长CF，BA，相交于点G，当tan∠EDC ＝3，CG＝5时，求线段BG的长度；
（3）如图3所示，若AB＝4，AE＝2，取CF的中点N，连接BN，在△ADE 绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的最大值．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B．
（2）解：如图2中．过点G作GH⊥BC于H．
∵∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵tan∠EDC＝＝3，
∴可以假设CD＝m，EC＝3m，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC＝3m，
∴BC＝4m，AB＝AC＝2m，
∵DF＝FE，∠DCE＝90°，
∴CF＝DF＝EF，
∴∠FDC＝∠FCH，
∴tan∠GCD＝tan∠EDC＝3，
∴＝3，
∵HB＝GH，
∴BH＝3CH，
∴D与H共点，
∴GD＝3m，CG＝＝m＝5，
∴m＝，
∴AC＝AB＝2，
∴AG＝＝＝，
∴BG＝AB+AG＝3．
（3）解：如图3中，取AC的中点G，连接AF，BG，NG．
∵AE＝AD＝2，∠EAD＝90°，
∴DE＝AF＝2，
∵EF＝FD，
∴AF＝DE＝，
∵AG＝GC，CN＝NF，
∴GN＝AF＝，
∵AB＝AC＝4，AG＝GC＝2，∠BAG＝90°，
∴BG＝＝＝2，
∵BN≤BG+GN，
∴BN≤，
∴BN的最大值为．
9．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．
（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；
（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；
（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．
【解答】（1）解：如图1中，过点F作FH⊥AE于H．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，
∵AE＝EC＝AC＝2，EG＝GC，
∴EG＝CG＝1，
∵∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，
∴EF＝AE•cos30°＝，
∴FH＝EF＝，HE＝FH＝，
∴GH＝HE+EG＝，
∴FG＝＝＝．
（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．
∵AM＝MC，∠ABC＝90°，
∴BM＝AM＝CM，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AM＝BM，
∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，
∴∠BMC＝120°，
∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAF＝120°+∠EAC，
∵AM＝MC，EG＝GC，
∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，
∴∠CMG＝∠EAC，
∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，
∴△BAF≌△BMG（SAS），
∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，
∴∠FBG＝∠ABM＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴BG＝FG，
∴BG＝EF+EG＝AE+CG＝AB+CG．
（3）解：如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得MD＝MG，连接DG，BD．
同法可证：△BAF≌△BMG（SAS），
∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，
∴∠FBG＝∠ABM＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴BG＝FG，
∵AM＝CM，EG＝CG，
∴MG＝AE，
∵AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝6，AM＝CM＝3，
∵AE＝AC＝3，MG＝，
∴MD＝MG＝，
∵＝＝，∠DMG＝∠GMC，
∴△MDG∽△MGC，
∴＝＝，
∴DG＝CG，
∴GB﹣CG＝GB﹣DG≤BD，
∴当B，D，G共线时，BG﹣CG的值最大，最大值为BD的长，
∴直线AB，AC，BG围成的三角形为△ABD，
∵AD＝AM+DM＝3+＝，
∴S△ABD＝××＝，
∴当GB﹣GC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为．10．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝15°，BC＝+1，求DF的长；
（2）如图2，若BF＝AC，过点D作DG⊥BE于点G，求证：BE＝CE+2DG；
（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△BRH，M为RH的中点．在（2）的条件下，将△CEF绕点C旋转，得到△CE'F'，E，F的对应点分别为E'，F'，直线MF'与直线AB交于点P，tan∠ACD＝，直接写出当MF'取最小值时的值．
【解答】（1）解：如图1中，过点F作FH⊥BC于H．
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°，
∵FH⊥CH，
∴∠FHC＝90°，
∴∠HFC＝∠HCF＝45°，
∴CH＝FH，
设FH＝CH＝m，
∵∠ABE＝15°，
∴∠FBC＝45°﹣15°＝30°，
∴BH＝HF＝m，
∴m+m＝+1，
∴m＝1，
∴CF＝CH＝，
∵CD＝BC＝，
∴DF＝CD﹣CF＝﹣＝．
（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DH⊥DE交BE于H．
∵∠ADC＝∠FDB＝90°，DB＝DC，BF＝AC，
∴Rt△BDF≌Rt△CDA（HL），
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴△BFD∽△CFE，
∴＝，
∴＝，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴△DFE∽△BFC，
∴∠DEF＝∠BCF＝45°，
∵DH⊥DE，
∴∠HDE＝90°，
∴∠DHE＝∠DEH＝45°，
∴DH＝DE，
∵∠BDC＝∠EDH＝90°，
∴∠BDH＝∠CDE，
∵DB＝DC，DH＝DE，
∴△BDH≌△CDE（SAS），
∴BH＝EC，
∵DH＝DE，DG⊥EH，
∴GH＝EG，
∴DG＝EH，
∴BE＝BH+HE＝EC+2DG．
（3）解：如图3中，过点M作MJ⊥BC于J，过点P作PK⊥BC于K．
∵△BHR，△DBC都是等腰直角三角形，
∴∠DBC＝∠HBR＝45°，
∴∠HBC＝90°，
∵∠H＝∠HBJ＝∠MJB＝90°，
∴四边形BHMJ是矩形，
∴BH＝MJ，HM＝BJ，
∵BH＝HR，HM＝MR，
∴MJ＝2BJ，
∴tan∠MBJ＝＝2，
∴点M的在射线BM上运动，
∴当C，F′，M共线，且CM⊥BM时，F′M的值最小．
设AD＝m，
∵tan∠ACD＝＝，
∴CD＝BD＝3m，DF＝AD＝m，CF＝CF′＝2m，BC＝3m，
∵∠CMB＝90°，tan∠CBM＝＝2，
∴BM＝m，CM＝m，
∴BJ＝HM＝m，JM﹣BH＝HR＝m，
∴MR＝m，
设BK＝PK＝n，CK＝2n，
∴n＝m，
∴BK＝PK＝m，CK＝2m，PC＝m，
∴PF′＝PC﹣CF′＝m﹣2m，
∴＝＝．
11．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，DE⊥AB 于点E，连接AD，F为AD中点，连接CF并延长交AB于点G，连接EF．
（1）当∠DAB＝30°，BE＝2时，求DC的值；
（2）如图2，当BE：AG＝3：4时，试判断AG2、GE2、CD2之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝4，M是AB中点，连接CM，三角形内有一点P到点M的距离是1，连接BP，将BP绕点P逆时针旋转90°得到PN，当线段AN长度取最大值时，设直线PN与直线BC的交点为H，请直接写
出的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，DE⊥AB，
∴△DEB为等腰直角三角形，
∴DE＝BE＝2，BD＝2，
在Rt△DAE中，∠BAD＝30°，DE＝2，
∴AE＝2，AD＝4，
∴AB＝AE+BE＝2+2，
∴BC＝AB•sin45°＝AB＝，
∴DC＝BC﹣BD＝＝；
（2）如图2，过点B作BM⊥AB，且BM＝AG，连接CE、CM、EM，
∵F是AD的中点，△ACD和△AED是直角三角形，
∴AF＝DF＝CF＝EF，
∴∠F AC＝∠FCA，∠F AE＝∠FEA，
∴∠CFD＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，∠EFD＝∠F AE+∠FEA＝2∠F AE，
∴∠CFE＝∠CFD+∠EFD＝2∠F AC+2∠F AE＝2（∠F AC+∠F AE）＝2∠CAB＝90°，∴∠FCE＝∠FEC＝45°，
∵∠ABM＝90°，
∴∠CBM＝45°，
在△CAG和△CBM中，
，
∴△CAG≌△CBM（SAS），
∴CG＝CM，∠ACG＝∠BCM，
∵∠ACG+∠BCG＝90°，
∴∠BCM+∠BCG＝90°，即∠MCG＝90°，
∴∠GCE＝∠MCE＝45°，
在△GCE和△MCE中，
，
∴△GCE≌△MCE（SAS），
∴GE＝ME，
根据题意，设BE＝3x，则AG＝BM＝4x，
∴ME＝＝5x，
∴GE＝ME＝5x，
∴AB＝AG+GE+BE＝4x+5x+3x＝12x，
∴AC＝BC＝AB＝6x，
∵BD＝BE＝3x，
∴CD＝BC﹣BD＝6x﹣3x＝3x，
∴AG2＝（4x）2＝16x2，CD2＝（3x）2＝18x2，GE2＝（5x）2＝25x2，即AG2+CD2＝GE2；
（3）如图3，连接CN、BN，
∵△ABC为等腰直角三角形，M为AB的中点，
∴AM＝BM＝CM＝2，CM⊥AB，BC＝AB＝2，
根据题意可知，BP＝PN，∠BPN＝90°，
∴BN＝BP，∠PBN＝∠PNB＝45°，
∴∠MBC﹣∠PBC＝∠PBN﹣∠PBC，
即∠MBP＝∠CBN，
∵＝＝，
∴△BMP∽△BCN，
∴∠BMP＝∠BCN，＝，
∵MP＝1，
∴CN＝，
∴点N的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，
∴当且仅当A、C、N三点共线时AN取最大值，
如图4，过点N作NQ⊥MC交MC延长线于Q，过H作HO⊥BN于点O，∵AN取最大值时∠BNP＝∠BCN＝90°，
∴P点在CM上，
∵∠BPN＝90°，
∴∠NPQ＝∠PBM，
在△PQN和△BMP中，
，
∴△PQN≌△BMP（AAS），
∴BM＝PQ＝2，PM＝QN＝1，
∴CP＝1，
∴S△APN＝S△APC+S△NPC＝CP•AM+CP•QN＝×1×（2+1）＝，
∵∠BOH＝∠BCN＝90°，∠OBH＝∠CBN，
∴△OBH∽△CBN，
∴＝，
即＝，
∴BO＝2OH，
∵∠PNB＝45°，
∴OH＝ON，
∴BO＝2ON，
∵BN＝＝＝，
∴BO+ON＝3ON＝3OH＝，
即OH＝，
∴S△BHN＝BN•OH＝＝，
∴＝＝．
12．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．
（1）如图1所示，若BC＝4，在D点运动过程中，当tan∠BDE＝时，求线段CD的长；
（2）如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF＝CF；
（3）如图3，若AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′＝PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．
【解答】解：（1）如图1，连接BE，
∵AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAD+∠BAE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE（同角的补角相等），
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠C，BE＝CD，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠ABC＝90°，
∴BE⊥BC，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝＝，
设BE＝8x＝CD，则BD＝11x，
∵BC＝BD+CD，BC＝4，
∴11x+8x＝4，
解得x＝，
∴CD＝8×＝；
（2）证明：如图2，连接BE，过点A作AG⊥AF，交CF于点G，由（1）得，BE⊥BC，
∵点F是DE的中点，
∴BF＝DE（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半），
同理AF＝DE，
∴BF＝AF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∵∠BAC＝90°，点M在CA的延长线上，
∴∠BAM＝90°＝∠BAF+∠MAF，
在Rt△ABM中，∠ABM+AMB＝90°，
∴∠AMB＝∠MAF，
∴FM＝AF，
∴FM＝BF＝DF，
∴∠BMD＝∠FDM，∠MBD＝∠FDB，
在△BDM中，∠BMD+∠MBD+∠BDM＝180°，
∴∠BMD+∠MBD+∠FDB+∠FDM＝180°，
∴2∠FDM+2∠FDB＝180°，
∴∠FDM+∠FDB＝90°＝∠BMD，
∴MD⊥BD，
∴∠AMN＝∠ANM＝∠BMD＝45°，
∴AM＝AN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ABM＝∠ACN，
同理△ABF≌△ACG（ASA），
∴BF＝CG，AF＝AG，EG＝AF，
∵AD＝AF，
∴CG＝AD，
∴AD+BE＝GF+BF＝GF+CG＝CF，
故AD+BF＝CF；
（3）如图3，在AC上取点M，使AC＝AM，即构造∠ABM＝30°，∠AMB＝60°的Rt△ABM，将BM绕点B顺时针旋转60°得BN，连接MN，R为MN的中点，∵AB＝2，AB＝AC，
∴AM＝MR＝2，CM＝AC﹣AM＝2﹣2，
过点C作CT⊥MR于点T，
由BM绕点B顺时针旋转60°得BN知，△BMN为等边三角形，
∴∠BMN＝60°，
∴∠CMT＝180°﹣∠AMB﹣∠BMN＝60°，
∴MT＝CM•cos60°＝CM＝﹣1，CT＝MT•tan60°＝MT•＝3﹣，
∵RT＝MR﹣MT＝3﹣，
∴CT＝RT，
即△RCT为等腰直角三角形，
∴CR＝CT＝3﹣，
∵∠MCP＝∠ACC'，∠CAC'＝∠CMT＝60°，
∴△MCD∽△ACC'，
∴PM＝CM＝2﹣2，
由旋转知△BMN和△BPQ都是等边三角形，R和K分别是它们一条边上的中点，∴＝，∠MBR＝∠PBK＝30°，
即∠MBP+∠PBR＝∠RBK+∠PBR，
∴∠MBP＝∠RBK，
∴△BKR∽△BPM，
∴＝＝，
即RK＝PM＝3﹣，
若C、K、R三点不共线则围成三角形，
根据三角形三边关系CR+RK＞CK，
∴当点C、K、R三点共线时，CK值最大，
此时CK＝CR+RK＝3﹣+3﹣．
13．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．现将△DCE绕点C旋转．
（1）如图1，若A、D、E三点共线，AD＝，求点B到直线CE的距离；
（2）如图2，连接AE、BD，点F为线段BD的中点，连接CF，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，若点G在线段AB上，且AC＝8，AG＝7，在△ACG内部有一点O，请直接写出OC+OA+OG的最小值．
【解答】解：（1）如图1，作BG⊥CE交CE延长线于G，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴BE＝AD＝，∠CEB＝∠CDA，
∵∠CDE＝45°，
∴∠CDA＝135°＝∠CEB，
∴∠GEB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣135°＝45°，
∴BG＝BE•sin45°＝×＝，
即点B到直线CE的距离为；
（2）如图2，延长DC，使CH＝DC，连接BH，设EA交CF于O，
∵＝＝，∠CDF＝∠HDB，
∴△CDF∽△HDB，
∴∠FCD＝∠BHD，
∴BH∥CF，
∵∠HCB＝∠ECH+∠ECB，∠ECA＝∠ECB+∠BCA，∠ECH＝∠BCA＝90°，∴∠HCB＝∠ECA，
又∵CH＝CE，BC＝AC，
∴△HCB≌△EAC（SAS），
∴∠BHC＝∠CEA，
∵∠BHC＝∠FCD，
∴∠BHC＝∠FCD＝∠CEA，
∵∠ECF+∠FCD＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA+∠ECF＝90°，
∵∠CEA+∠ECF+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图3，OG逆时针旋转90°且O'G＝2OG，即OO'＝OG，作A'G⊥AG，且A'G＝2AG，并延长A'G交BC于M，
∵∠OGA+∠AGO'＝90°，∠A'GO+∠AGO'＝90°，
∴△AOG∽△A'O'G，且相似比为1：2，
∴O'A'＝2OA，
即OC+OO'+O'A'＝OC+2OA+OG，
∵OC+OA+OG＝（OC+2OA+OG），
∴当OC+OO'+O'A'最小时，OC+OA+OG有最小值，
即当OO'在线段CA'上时OC+OA+OG有最小值，最小值为A'C，
作A'H⊥CB延长线于H，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠MBG＝45°，
又∵GM⊥AB，
∴△MGB为等腰直角三角形，
∵AC＝8，AG＝7，
∴AB＝8，MG＝BG＝AB﹣AG＝8﹣7＝，MB＝BG＝2，
∵A'G＝2AG＝14，
∴A'M＝A'G+MG＝15，
∵HMA'＝45°，
∴△A'MH为等腰直角三角形，
∴A'H＝MH＝A'M＝15，
∴CH＝BC+MH﹣MB＝21，
∴A'C＝＝＝3，
∴OC+OA+OG的最小值为A'C＝×＝3．
14．已知，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）如图1，当∠CDE＝30°，AD＝1，BD＝3时，求线段DE的长；
（2）如图2，当CE＝DE时，求证：点E为线段AF的中点；
（3）如图3，当点D与点A重合，AB＝4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，
∵AD＝1，BD＝3，
∴AB＝4，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CG⊥AB，
∴CG＝AG＝AB＝2，
∴DG＝1，
∴CD＝＝＝，
∵∠CDE＝30°，∠CED＝90°，
∴DE＝CD•cos∠CDE＝•cos30°＝×＝；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DM⊥CD交CE的延长线于点M，连接AM，
在CG上截取GN＝DG，连接DN，
∵CG⊥AB，GN＝DG，
∴△DGN是等腰直角三角形，
∴∠DNG＝45°，
∴∠CND＝135°，
∵DM⊥CD，
∴∠CDM＝∠AGC＝∠ACB＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝∠CDG+∠ADM＝90°，
∴∠DCG＝∠ACM，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CG⊥AB，
∴AG＝CG，
∴AG﹣DG＝CG﹣GN，即DA＝CN，
∵∠CED＝∠CDM＝∠DEM＝90°，CE＝DE，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠EDM＝∠DME＝45°，
∴CE＝DE＝EM，
∴CD＝DM＝DE，
∴△CDN≌△DMA（SAS），
∴∠AND＝∠DAM＝135°，
∴∠CAM＝∠DAM﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，
∴∠CAM＝∠ACB，
∴AM∥BC，
∴∠AME＝∠FCE，
∵∠AEM＝∠FEC，
∴△AEM≌△FEC（ASA），
∴AE＝EF，
∴点E为线段AF的中点；
（3）如图3，延长EH至点E′，使HE′＝EH，延长EG至点E″，使GE″＝EG，连接E′E″，取AC中点Q，连接EQ，BQ，
∵AB＝4，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AC＝BC＝2，
∵点Q是AC中点，
∴CQ＝，
∴BQ＝＝＝，
∵∠AEC＝90°，点Q是AC中点，
∴EQ＝AC＝，
∴BE的最大值为+，
∵HE′＝EH，GE″＝EG，
∴HG＝E′E″，
∵EH⊥BC，EG⊥AB，
∴E、E′关于BC对称，E、E″关于AB对称，
∴∠E′BH＝∠EBH，∠E″BG＝∠EBG，BE′＝BE″＝BE，
∴∠E′BE″＝2∠ABC＝90°，
∴E′E″＝BE，
∴HG＝BE，
∵要使GH最大，必须BE最大，BE的最大值为+，
∴GH长度的最大值为×（+）＝+1．
15．等腰直角△ACB中，∠C＝90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角△AED（点E与点C在直线AD的异侧）．
（1）如图1，若∠EAD＝30°，AE＝，BD＝2，求AC的长；
（2）如图2，若AE＝DE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若AC＝4，tan∠BAD＝，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．
【解答】解：（1）∵∠EAD＝30°，AE＝，∠E＝90°，
∴DE＝，AD＝2DE＝，
∵AD2＝AC2+CD2，
∴10＝AC2+（AC+2）2，
∴AC＝1或AC＝﹣3（舍去），
∴AC＝1；
（2）BE＝AD，理由如下：
如图2，取AD的中点H，连接CH，
∵AE＝DE，BC＝AC，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵H是AD的中点，
∴AH＝AE，CH＝AD
∴AE＝AH，
∵，
∴△EAB∽△HAC，
∴，
∴BE＝×＝AD；
（3）如图3，过点B作BG⊥AD于G，
∵AC＝AB＝4，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴AB＝＝＝4，
∵tan∠BAD＝，
∴＝tan∠BAD＝，
设BG＝m，AG＝3m，且m＞0，
∵BG2+AG2＝AB2，
∴m2+（3m）2＝（4）2，
解得：m＝，
∴BG＝，AG＝，
∵∠DGB＝∠DCA＝90°，∠BDG＝∠ADC，
∴△BDG∽△ADC，
∴＝＝，即＝＝，
∴BD+4＝DG，BD＝DG+，
∴BD＝4，DG＝，
∴AD＝4，CD＝8，
延长CD至F，使DF＝CD＝8，连接EF，以AD为直径作⊙O，连接OB，OF，OF与⊙O交于点E′，
∵点P是线段CE的中点，点D是CF的中点，
∴DP＝EF，
当线段DP最短时，EF最短，
∵点E在⊙O上，
∴EF最短时，点E为OF与⊙O的交点，即E与E′重合，
∵CB＝DB＝4，AO＝DO，
∴OB∥AC，OB＝AC＝2，BF＝BD+DF＝4+8＝12，
∴∠FBO＝∠ACB＝90°，
∴OF＝＝＝2，
∴E′F＝OF﹣OE′＝2﹣2，
∴DP的最小值为×（2﹣2）＝﹣，
过点E′作E′H⊥CF于点H，则E′H∥OB，
∴＝，即＝，
∴E′H＝，
∴S△PDE′＝S△CDE′＝×CD•E′H＝×8×＝；∴当线段DP最短时，S△PDE＝．。