6.2.3向量的数乘运算习题课件—2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)

知识对点练
课时综合练
2．已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，
b 共线的是( )
①2a－3b＝4e 且 a＋2b＝－2e；
②存在相异实数 λ，μ，使 λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数 x，y 满足 x＋y＝0)；
→
→
④已知梯形 ABCD，其中AB＝a，CD＝b.
知识对点练
课时综合练
课时易错点
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误
→
→
10．在△ABC 中，点 D 为 BC 的三等分点，设向量 a＝AB，b＝AC，用
→ 向量 a，b 表示AD为________．
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有B→D＝13
B→C或B→D＝23B→C.解题时条件转化要全面准确． 答案 13a＋23b 或23a＋13b
知识对点练
课时综合练
正解 因为 D 为 BC 的三等分点，
当 BD＝13BC 时，如图 1，
所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C
＝A→B＋13(A→C－A→B)
＝23A→B＋13A→C＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
当 BD＝23BC 时， 如图 2，
所以A→D＝A→B＋B→D
＝A→B＋23(A→C－A→B)
联立得方程组3mm－＋32nn＝＝ba，，
m＝131a＋121b， 解得n＝111a－131b.
知识对点练
课时综合练
10. 如图，平行四边形 OACB 中，BD＝13BC，OD 与 BA 相交于点 E.求 证：BE＝14BA.
知识对点练
课时综合练
证明 如图，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证 E，E′ 重合即可．
答案 B 解析 ∵B→D＝B→C＋C→D＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝A→B，∴A→B与B→D 平行，又 AB 与 BD 有公共点 B，则 A，B，D 三点共线．
知识对点练
课时综合练
8．设两个不共线的向量 e1，e2，若 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1 －9e2，问是否存在实数 λ，μ，使 d＝λa＋μb 与 c 共线？
A．①② B．①③ C．② D．③④
答案 A
知识对点练
课时综合练
解析 由 2a－3b＝－2(a＋2b)得到 b＝－4a，故①正确；λa－μb＝0，λa ＝μb，故②正确；x＝y＝0，有 xa＋yb＝0，但 b 与 a 不一定共线，故③不正 确；梯形 ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不正确．
课时综合练
解析 如图所示，O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋23A→B＝O→A＋23(O→B－O→A)＝13O→A＋ 23O→B＝e1＋2e2，故选 A.
知识对点练
课时综合练
→ 6．如图所示，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝3CD，若AB＝
→
→
a，AD＝b，试用 a，b 表示向量AC.
A
→ 正确；若AM
＝2A→B－A→C，即有A→M－A→B＝A→B－A→C，即B→M＝C→B，则点 M 在边 CB 的延长
→ →→ →→→ 线上，故 B 错误；若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，则点 M 是△
ABC 的重心，故 C 正确；若A→M＝14A→B＋14A→C，可得 2A→M＝12A→B＋12A→C，设A→N
→ ＝2AM，则由上图可得 M 为△ABC 中 BC 边上的中线 AN 的中点，则△MBC
的面积是△ABC 面积的12，故 D 正确．故选 ACD.
知识对点练
课时综合练
知识对点练
课时综合练
二、填空题 6．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 同 向，则实数 λ 的值为________．
→ →→ B．若AM＝2AB－AC，则点 M 在边 BC 的延长线上 C．若A→M＝－B→M－C→M，则点 M 是△ABC 的重心 D．若A→M＝14A→B＋14A→C，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12
答案 ACD
知识对点练
课时综合练
解析
若A→M＝12A→B＋12A→C，则点
M
是边
BC
的中点，故
知识对点练
课时综合练
知识点二 用已知向量表示其他向量
5.已知 O 是直线 AB 外一点，C，D 是线段 AB 的三等分点，且 AC＝CD
→
→
→
＝DB.如果OA＝3e1，OB＝3e2，那么OD等于( )
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C.23e1＋13e2 D.13e1＋23e2
答案 A
知识对点练
即 e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又 e1，e2 不共线，所以5－μ＝3μ1＝，λ， 所以 λ＝－35.
知识对点练
课时综合练
8．在平行四边形 ABCD 中，A→B＝e1，A→C＝e2，N→C＝14A→C，B→M＝12M→C， → 则MN＝________(用 e1，e2 表示)．
答案 －23e1＋152e2
答案 1
解析 由于 c 与 d 同向，所以可设 c＝kd(k>0)，于是 λa＋b＝k[a＋(2λ
－1)b]，整理得 λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于 a，b 不共线，所以λ2＝λk－k，k＝1，
整理得 2λ2－λ－1＝0，所以 λ＝1 或 λ＝－12.又 k>0，所以 λ>0，故 λ＝1.
知识对点练
因为 e1 与 e2 不共线，所以23λλ＋ －23μμ－ －29kk＝ ＝00， ， 解得 λ＝－2μ. 故存在实数 λ 和 μ，使得 d 与 c 共线，此时 λ＝－2μ.
知识对点练
课时综合练
9. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN＝13BD.求证：M，N，C 三点共线．
知识对点练
课时综合练
3．若 a，b 为已知向量，且23(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则 c＝________. 答案 1123b－389a
解析 ∵23(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴83a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝ 12b－83a，∴c＝1123b－389a.
知识对点练
课时综合练
→
→
→
7．已知两个不共线向量 e1，e2，且AB＝e1＋λe2，BC＝3e1＋4e2，CD＝
2e1－7e2，若 A，B，D 三点共线，则 λ 的值为________．
答案 －35
→
→
→→→
解析 由BC＝3e1＋4e2，CD＝2e1－7e2，得BD＝BC＋CD＝5e1－3e2，
→
→→
又AB＝e1＋λe2，且 A，B，D 三点共线，所以存在实数 μ，使得AB＝μBD，
设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a.
知识对点练
课时综合练
∵BE→′ ＝OE→′ －b，E′ →A＝a－OE→′ ，3BE→′ ＝E→′A， ∴3(OE→′ －b)＝a－OE→′ ， ∴OE→′ ＝14(a＋3b)＝34b＋13a，即OE→′ ＝34O→D， ∴O，E′，D 三点共线，∴E 与 E′重合． ∴BE＝14BA.
知识对点练
课时综合练
解析 ∵N→C＝14A→C＝14e2，∴C→N＝－14e2. ∵B→M＝12M→C，B→M＋M→C＝B→C＝A→C－A→B＝e2－e1，
∴M→C＝23B→C＝23(e2－e1)，∴M→N＝M→C＋C→N＝23(e2－e1)－14e2＝－23e1＋152 e2.
知识对点练
课时综合练
三、解答题 9．(1)化简下列各式： ①2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； ②16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]； (2)若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a，b 是已知向量，求 m，n.
知识对点练
课时综合练
解 (1)①原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. ②原式＝16(4a＋16b－16a＋8b) ＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b. (2)把已知中的两个等式看作关于 m，n 的方程，
知识对点练
课时综合练
2．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋ → λCB，则 λ＝( )
1213 A.3 B.3 C.2 D.4
答案 B
解析
→ → →→ →→ 由AD＝2DB，得CD－CA＝2(CB－CD)⇒
C→D＝13C→A＋23C→B，所以
λ＝23.
解 d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2， 要使 d 与 c 共线，则存在实数 k，使得 d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，整理， 得(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2.
知识对点练
课时综合练
知识对点练
课时综合练
3．已知向量 a 与 b 反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则 λ 的值为( )
r A.R
B．－Rr
Ca，∴|b|＝|λ||a|.又 a 与 b 反向，∴λ＝－Rr .
知识对点练
课时综合练
4．已知 O 是平面内一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→→BB|＋|AA→→CC|(λ∈[0，＋∞))，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
课时综合练
4．化简下列各式： (1)3(2a－b)－2(4a－2b)； (2)13(4a＋3b)－12(3a－b)－32b； (3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
解 (1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b. (2)原式＝43a＋b－32a＋12b－32b＝－16a. (3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.
向与|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|的方向相同，而O→P＝O→A＋λ|AA→→BB|＋|AA→→CC|，∴点
P
→ 在AD上移
动．∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选 B.
知识对点练
课时综合练
5．(多选)设点 M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A．若A→M＝12A→B＋12A→C，则点 M 是边 BC 的中点
知识对点练
课时综合练
证明 设A→B＝a，A→D＝b， ∵M→N＝M→B＋B→N＝12A→B＋13B→D ＝12a＋13(A→D－A→B)＝12a＋13(b－a)＝16a＋13b， M→C＝M→B＋B→C＝12a＋b，∴M→N＝13M→C，∴M→N∥M→C， 又 MN 与 MC 有公共点 M，故 M，N，C 三点共线．
解 因为 AB∥CD，且 AB＝3CD，
所以A→B＝3D→C，D→C＝13A→B＝13a，
所以A→C＝A→D＋D→C＝b＋13a.
知识对点练
课时综合练
知识点三 共线问题
→
→
→
7.已知AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线
C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
＝13A→B＋23A→C＝13a＋23b.
知识对点练
课时综合练
2
PART TWO
课时综合练
一、选择题 1．给出下面四个结论： ①对于实数 m 和向量 a，b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ②对于实数 m，n 和向量 a，恒有(m－n)a＝ma－na； ③若 ma＝mb(m∈R)，则 a＝b；
④若 ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则 m＝n.
知识对点练
课时综合练
其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C
解析 ①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当 m＝0 时， ma＝mb＝0，但 a 与 b 不一定相等，故③不正确；④正确，因为由 ma＝na， 得(m－n)a＝0，又因为 a≠0，所以 m－n＝0，即 m＝n.
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案 B
知识对点练
课时综合练
解析
→ AB →
为A→B上的单位向量，A→ →C
为A→C上的单位向量，则
→ AB →
＋
→ AC →
的
|AB|
|AC|
|AB| |AC|
方向为∠BAC
→ 的角平分线AD的方向．又
→ → λ∈[0，＋∞)，∴λ|AA→BB|＋|AA→CC|的方
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
1
PART ONE
知识对点练
知识点一 向量的线性运算 1.已知 λ∈R，则下列结论正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
答案 C
解析 当 λ<0 时，|λa|＝λ|a|不成立，A 错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当 λ＝0 或 a＝0 时，|λa|＝0，D 错误．故选 C.