六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章 (1)整数与整除(无解析)
沪教版六年级上数学第一章整数与整除复习学案
整数与整除（1.1-1.3）1.1整除的意义一、梳理概念1、整数的概念：（1）和统称为自然数，最小的自然数是，自然数的个数是无限的（2）、和统称为整数，零既不是正整数，也不是负整数2、整除的概念（1）整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数，余数为0，则称能被整除，能整除（2）整除和除尽的区别被除数商整除都是整数，除数不等于0商是整数，余数为0除尽不一定是整数，除数不等于0商是整数或有限小数，没有余数二、拓展提高1、植树节全班同学分成四个小组植树，每个小组种的树的棵树相同，小明统计时说：全班共植树274棵，小明统计的数字对吗？为什么？2、一个三位数，十位上是最小的自然数，百位上是最小的正整数，三个数位上数字之和是4，求这个三位数3、观察下列一组自然数：7，10，13，16……的排列规律，试写出第n个自然数4、计算：105+110+115+120+…+195+2001.2因数和倍数一、梳理概念1、因数和倍数的意义：在正整数范围内，如果数a能被数b整除，就叫做的倍数，就叫做的因数，这两者是互相依存的。
2、因数的关系应用：（1）求一个正整数的所有因数（2）一个正整数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是3、倍数的有关应用：（1）求一个正整数的倍数的方法及在规定范围内找出一个数的倍数（2）一个正整数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身二、拓展提高1、如果一个数既是30的倍数，又是120的因数，那么下列说法中正确的是（）A.这样的数只有1个B.这样的数有3个C.这样的数有无数多个D.这样的数不存在2、能被48整除的数一定是下面（）的倍数A.18B.24C.36D.962、一个数的最大因数与最小因数的差为17，求出这个数的所有因数4、某中学组织夏令营，六年级共有24人参加，老师需要把他们分成人数相等的几个小组（每小组不少于2人也不多于20人），有几种分发？1.3能被2、5整除的数一、概念梳理1、能被2、5整除的数的特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是的数都能被2整除（2）能被5整除的数的特征：个位数字是的数都能被5整除（3）能同时被2、5整除的数的特征：个位数字是2、奇数和偶数：按照能否被2整除，整数可以分为奇数和偶数两类被2整除的数叫做；被2整除的数叫做二、拓展提高1、从0、3、5、7这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有哪几个？3、用0、3、6这三个数字排成一个三位数：（1）使这个数有因数2，有几种不同的排法（2）使这个数能被5整除，有几种不同的排法（3）使这个数是3的倍数，有几种不同的排法4、试探究能被3整除的整数有什么特征？并解答下面的问题：已知A是一个正整数，它是15的倍数，并且它的各个位数上的数字只有0和8两种，问A最小是多少？。
沪教版(五四制)六年级数学上册 第一章 整除定义、因数、倍数讲义(无答案)
整除定义、因数、倍数【知识定位】理解整数和整除的意义，掌握整除、因数、倍数的概念，会运用整除进行相关的应用和计算。
【知识梳理】知识梳理1：什么叫整除？1、整数a 除以整数b ，如果所得的商为整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，或b能整除用数学式子表示即是： a b c ÷= (其中a,b,c 均为整数)思考：现在有30个苹果让你去取，但是不能一次取完，也不能一个一个拿，必须每次拿的个数相同，且最后一次正好拿完？能做到吗？有几种办法？通过学习今天的内容你就有办法快速解决这个问题.2、上一节课我们思考过一道兴趣题，“小杰想画一个面积是12的长方形，且这个长方形的长和宽都是整数，你能告诉他符合条件的长方形有几种长和宽吗？”最后我们总结有6种条件符合：①11212⨯=；②2612⨯=；③3412⨯=；④12112⨯=；⑤6212⨯=； ⑥ 3412⨯=显然，像式子11212⨯=中，12能被1和12整除就称1和12是12的因数；反过来，12是1和12的倍数.那么，式子中12的因数还有2，3，4，6像整除的概念总结一样，可得，因数与倍数的关系.知识梳理2：因数和倍数的概念：整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）.注：为了研究的方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数专指不是零的自然数.（因为零乘任何数为零，零除以任何为零，研究起来没有意义）例题精讲：【试题来源】【题目】你觉得下面的算式中的数字之间能用倍数和因数来描述吗？请你来说一说.①1620320⨯= ②199⨯= ③4416⨯= ④2173÷=⑤ 200.612÷= ⑥A B C ⨯= (A 、B 、C 都是非零的自然数)【试题来源】【题目】 找出15的因数和倍数.你会发现什么？【试题来源】【题目】一个数既是96的因数，又是6的倍数，它不能被8整除，那么这个数是多少？请说明理由.【试题来源】【题目】1、65是_ _的倍数；50以内13的倍数是 .2、327至少减去7，就既有因数 ，又是 的倍数.3、12能被3整除，则12是 的倍数；3是 的因数.【试题来源】【题目】1、数a 能被数b 整除，已知数a 是最大的两位数，b 小于20大于8，那么b 的值可能是 .2、有两个正整数，它们的和是18，积是65，它们的差是 .3、既是正整数a 的因数，又是它的倍数的数是___________.【试题来源】【题目】（1）3721⨯=，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数.（2）72的最大因数是（），最小倍数是（），最小因数是（）.（3）一个数（0除外），它的最大因数和最小倍数都是（）.【试题来源】【题目】判断正误（1）6是因数，30是倍数.（）÷=，所以8是0.8和10的倍数，0.8和10是8的因数. ( )（2）因为80.810（3）一个数的因数一定小于这个数.（）（4）甲数比乙数大，甲数的因数的个数比乙数多. （)【试题来源】【题目】（1）30的最大因数和最小倍数的和是（），它们的积是（），它们的差是（）.（2）我是60的因数，还是12的最小倍数，我是（）；我的最大因数和最小倍数都是73，我是（）；我只有两个因数，我的2倍在30和35之间，我是（）.【试题来源】【题目】思考：12的因数有1、2、3、4、6、12共6个，5的因数有1和5共2个，那12×5即60的因数的个数有（）个.课后练习：【试题来源】【题目】下列说法正确的是（）【选项】A .1没有因数，也没有倍数； B .一个整数的因数的个数有限；C .一个整数的倍数的个数有限；D .6的因数只有2和3.【试题来源】【题目】在80以内，24的因数和倍数分别有（）【选项】A . 2，3，4，6，8，12；48，72 ；B . 2，3，4，6，8，12，48，72；C . 1，2，3，4，6，8，12，24，48，72；D.1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，72.【试题来源】【题目】100以内(不包括100)5的倍数有（）个【选项】A .10 ；B.18 ；C.19 ；D.20 .【试题来源】【题目】一个数既是30的倍数，又是120的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A.这样的数只有一个；B.这样的数有限个；C.这样的数有无数多个；D.这样的数不存在.【试题来源】【题目】正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A .甲乙两数大小相等；B .甲小于乙；C .甲是乙的因数；D .乙是甲的因数.【试题来源】【题目】1、50以内7的倍数有.2、三个连续的偶数中，最大的是a，最小是.这个三数的和是48，那么这a的值为.3、对于任意整数m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么数？【试题来源】【题目】1、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）2、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）3、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）【试题来源】【题目】+的和的所有因数有（）个；a-b的差的所1、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a b⨯的积的所有因数有（）个有因数有（）个；a b2、比6小的自然数中，其中2是( )的因数，又是( )的倍数【试题来源】【题目】一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?【试题来源】【题目】幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。
著名机构数学教案讲义六年级秋季班1整数和整除(学生)
第1课时整数与整除课时目标1. 理解和掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念；2. 理解和掌握整除的条件，会区分整除和除尽；3. 在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数；4. 理解和掌握求一个整数的所有因数的方法，理解整数的最小和最大的因数；5. 理解和掌握求一个整数在一定范围内的倍数，理解整数的最小的倍数.知识精要1. 整数：正整数、零、负整数，统称为整数.零和正整数统成为自然数.正整数整数零自然数负整数2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注：（1）整除的条件：(3整1零)①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零.（2）凡是整除一定能除尽，但除尽的不一定能整除；3. 因数与倍数：如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数(也称为约数).注：（1）因数、倍数是互相依存的.不能说a是倍数、b是因数！（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（3）一个正整数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身.（4）1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数.（5）一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数.（6）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数.（7）0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数.4. 能被2、5整除的数：（1）能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8；（2）能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0；（3）能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.（4）能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数.5. 奇数和偶数：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.6. 素数、合数与分解素因数：（1）正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.（2）素数(质数)：只有1和它本身两个因数；合数：至少要有3个因数.注：（1）最小的素数是2；最小的合数是4；（2）1 既不是素数也不是合数；7. 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数.分解素因数常用的方法有：树枝分解法、短除法、口算法等.热身练习一、整数1、下列说法中，错误的是：( )A. 最小的整数是0B. 最大的正整数不存在C. 最大的负整数是－1D. 最大的自然数不存在2、最小的正整数是，最大的负整数是.3、把下列各数填入相应的横线上：－3，18，－143，0，5，100.负整数：；正整数：；整数：.二、整除4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是：( )A. 4和12B. 24和5C. 35和8D. 91和75、除式9÷1.5=6表示( )A. 9能被1.5整除B. 1.5能整除9C. 9能被1.5除尽D. 以上说法都不确切6、28能被a整除，a一定是( )A. 4或7B. 2、4或7C.2、4、7、14或28D. 1、2、4、7、14或287、18÷9=2，我们就说能被整除或能整除.8、能整除14的数是.三、因数和倍数9、6的因数有( )A.8个B. 6个C. 4个D. 2个10、6的倍数有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 无数个11、已知14能整除a，那么a是( )A.1和14B. 2和14C. 14的因数D. 14的倍数12、下列说法错误的是( )A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身C. 12在100以内的倍数共有10个D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16四、能被2、5整除的数13、末位数字是的数一定能被2整除.14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是.15、能被5整除的最大的两位数是，最小的两位数是.16、奇数与偶数的积必定是.17、两个连续自然数的和是.18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数.五、素数、合数与分解素因数：19、在正整数1到20中，奇数有个，偶数有个，素数有个，合数有个.20、在1、2、9这三个数中，既是素数又是偶数，既是合数又是奇数，既不是素数也不是合数.21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学，你认为六(2)班有同学位.精解名题例1 下列算式中，被除数能被除数整除的是( )A. 25÷4B. 25÷0.5C. 2.5÷5D. 5÷5例2 12÷4=3，下列说法不正确的是( )A. 12是4的倍数B. 4是12的因数C. 4是12的约数D.12是倍数例3下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？35、85、60、108、321、1234、2010能被2整除：能被5整除：能同时被2和5整除：例4 下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？13、24、37、10、9、123、88、0、345奇数：偶数：例5 两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？例6 除式21÷5=4……1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加 ，这时候商为 .5 5 5 5 1+？线段图解例7 1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？巩固练习一、填空题1、24的因数有 .2、若□27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是 .3、在20的所有因数中，最大的是 ，最小的是 .4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有 个.二、选择题5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是： ( )A. 14和7B. 2.5和5C. 9和18D. 0.4和86、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是： ( )A. 91B. 89C. 11D. 97、一个正方形的边长是奇数，它的周长是： ( )A.偶数B. 奇数C.无法确定D.我承认我不知道8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是 ( )A. 11B. 9C.12D. 8三、解答题9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：－5、0、21、81、43、215、－9、－8.1、1.整数正整数负整数10、写出63的所有因数.11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B相同的因数有哪些？12、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.（1）能被2整除，但不能被5整除；（2）能被5整除，但不能被2整除；（3）既能被2整除，又能被5整除；自我测试1、已知m能整除31，那么m是( )A. 62B. 13C. 1和31D. 932、37÷4=9.25表示( )A. 37能被4整除B. 4整除37C. 37能被4除尽D. 37不能被4除尽3、下列说法正确的是( )A. 一个数的因数总比这个数小B. 9是2的倍数C. 一个整数的倍数有无数多个D. 一个整数的倍数中最大的倍数是它本身4、下列各数中，不能同时被2、5整除的是( )A. 7550B.2100C. 725D. 90005、下列说法中，正确的是( )A. 12是倍数，3是约数B. 能被2除尽的数都是偶数C. 任何奇数加上1后，一定是偶数D. 偶数除以2所得的结果一定是奇数6、下列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是( )A. 1.5和0.5B.15和5C. 4和4D. 10和27、下列说法错误的是( )A. 数a能被数b整除，则数b一定能除尽数aB. 数a能被数b除尽，则数a一定能被数b整除C. 一个大于1的整数，至少能被两个数整除D. 在10以内只能被2个数整除的最大数是78、如果n是一个正整数，且n能整除8，那么n= .9、100以内能同时被3和7整除的最大奇数是，最大偶数是.10、如果一个长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积是24平方厘米，想一想，这个长方形的周长是多少？课后作业1.最小的自然数是，最小的正整数是.2.一个自然数的最小因数是，最大的约数是，最小的倍数是.3.一个数的最小倍数是49，这个数的因数有.4.四位数256□能同时被2，5整除，那么□应该是.5，.100以内能同时被3和5整除的最大数是，最小数是.6.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正）（1）最小的自然数是1. （）（2）如果整数a能被整数b（b≠0）除尽，那么就可以说a能被b整除. ( ) （3）最小的整数是0. （）（4）非负整数是自然数. （）（5）如果a能被b整除，那么a是b的倍数，b是a的因数. （）7. 下列说法中正确的个数是( )（1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；（2）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除（3）一个正整数的因数至少有两个（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个8. 一个奇数要变成偶数，下面各方法中除（）外都可以（A）加上1 （B）减去3 （C）乘以2 （D）除以29. 一个数既是100的因数，又是10的倍数，它不能被4整除，那么这个数是什么？。
市北资优六年级分册 第01章 1.5 公倍数与最小公倍数+刘成林
1.5 公倍数与最小公倍数思考在上海火车站，地铁1号线每隔三分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？分析 问题转化为求3和4的最小公倍数．3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，14，27，……4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，……3和4的倍数有：12，24，……，其中最小的是12．如果a 1，a 2，…，a n 和m 都是正整数，且1a m ，2a m ，…，n a m ，那么m 叫做a 1，a 2，…，a n 的公倍数．公倍数中最小的数叫做a 1，a 2，…，a n 的最小公倍数，记作[a 1，a 2，…，a n ] ．如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4，8，12]=24．例1 求18和30的最小公倍数．解 方法一：18的倍数有18，36，54，72，90，…30的倍数有30，60，90，120，150，…所以18和30的最小公倍数为90．方法二：把18和30分解质因数18233=⨯⨯ 30235=⨯⨯只要取出所有公有的质因数（1个2和1个3），再取各自剩余的质因数（3和5），将这些数连乘，所得的积90是它们的最小公因数．方法三：用短除法来计算∴ 18和30的最小公倍数为233590⨯⨯⨯=．例2 求18和30的最小公倍数．解∴ 18和30的最小公倍数为223560⨯⨯⨯= ．，，，531593018321，2，11，6，32，12，310，12，15532练习1.51．求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．2．用分解质因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．3．张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知的最小公倍数是60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？练习1.5答案1．180；83 1602．6；3603．4或20．提示：4是x 的约数，60是x 的整数倍，因此x 只可能是4，12，20，60．显然60x ≠．因为4是y 的因数，3是y 的因数，因此y 是12的整数倍，因此12x ≠．由此4x =或20．1.5 《公倍数与最小公倍数》练习练习1.51．15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．152．在1427=⨯中，2和7都是14的（ ）A ．素数B ．倍数C ．素因数3．有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．1444．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果最少应有（ ）A ．120个B ．90个C ．60个D ．30个5．甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，已知甲数是18，那么乙数应是（ ）A ．16B ．82C ．48D ．646．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友．A ．2B ．4C ．6D ．87．下面算式中，被除数能被除数整除的有（ ）A ．265 5.2÷=B ．3575÷=C ．0.90.33÷=8．自然数中，所有17的倍数（ ）A ．都是偶数B ．有偶数有奇数C ．都是奇数9．有一个素数，是由两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，那么这个素数是几？10．一块砖底面长22厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，只能铺整砖）至少要多少块砖？11．三个连续奇数的和是15，这三个奇数的最小公倍数是多少？12．从运动场的一端到另一端全长10米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？13．在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？1.5《公倍数与最小公倍数》练习答案1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．B9．53 提示：这两个数字中较大的为5，较小的为3，所以这个素数是53．÷=，10．55块提示：22与10的最小公倍数为110，即正方形的边长最小为110厘米．又110225⨯=（块）．1101011÷=，因此至少要51155⨯⨯=．11．105 提示：由题意知，中间这个奇数为5，则这三个数为3，5，7，它们的最小公倍数为357105÷+= 12．6面提示：4与5的最小公倍数是20，即每隔20米有一面小红旗不用移动，因此共有1002016（面）小红旗不用移动．13．28段提示：10、12、15的最小公倍数是60，不妨设木棍的长度为60，若十等分，则每段长度为++=（条）刻度线．因6；若十二等分，则每段长度为5；若十五等分，则每段长度为4．木棍上有9111434÷-=（条）；因为5与4的为6与5的最小公倍数为30，因此十等分与十二等分重复的刻度线有603011÷-=（条）．以上重复的刻度线之间最小公倍数为20，因此十二等分与十五等分重复的刻度线有602012---=（条），即木棍总共被锯成28段．并不重复，因此刻度线共有3414227。
市北资优六年级分册 第01章 1.3 素数、合数与分解素因数+佳颖
1．3 素数、合数与分解素因数自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001所以，3 333 334 111 111是合数．例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．练习1．3（1）1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案练习13．1（1）1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、433． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？6 = 2 × 32 × 36 2 × 2 × 728 = 2 × 2 × 74 × 72860 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 52 ×3 × 2 × 56 × 1060××××从上面的例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．例4 把48，35，60分解素因数解：48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 332 62 1 22 2 42 4 875 3 535 = 5 × 7560 = 2 × 2 × 3 × 53 1 52 3 02 6 0用短除法分解素因数的步骤如下：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：1212k a aa k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是质数；12,,k a a a 是正整数．例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且22221234511p p p p =+++，试求这四个质数．分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．解：显然有12p =，代入得222234507p p p =++，因为250752923=＜，所以419p ≤若419p =，则2223146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．若417p =，则2223218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：22x +、24x +、26x +、28x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．当3x =时，2211x +=，2413x +=，2615x +=，2817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2227x +=，2429x +=，2631x +=，2833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2251x +=，2453x +=，2655x +=，2857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．练习1．3（2）1．分解素因数：45，88，126．2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？练习1．3（2）1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×72． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625249 525125625+++=（个）．4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，25．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．。
上海市六年级数学第一章数整除教案
上海市六年级数学第一章数整除教案一、教学内容本节课选自上海市六年级数学教材第一章“数的整除”第一节，内容包括整除的概念、整除的性质、倍数与约数的辨识，以及最大公约数和最小公倍数的求解方法。
二、教学目标1. 理解整除的概念，掌握整除的性质，能够辨识倍数与约数。
2. 学会求解两个数的最大公约数和最小公倍数。
3. 能够运用整除知识解决实际问题，提高数学思维能力。
三、教学难点与重点重点：整除的概念、性质、倍数与约数的辨识方法。
难点：最大公约数和最小公倍数的求解方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实践情景，让学生感受整除的意义：假设有18个苹果，要平均分给同学们，如何分配才能使每个人得到的苹果数量相同？2. 新课导入（1）讲解整除的概念，引导学生理解整除的含义。
（2）介绍整除的性质，如：若a能整除b，则a能整除b的任何倍数。
3. 例题讲解（1）求解18的约数，引导学生发现约数的性质。
（2）求解18和24的最大公约数和最小公倍数。
4. 随堂练习（1）找出30的所有约数。
（2）求出12和18的最大公约数和最小公倍数。
六、板书设计1. 板书数的整除2. 内容：（1）整除的概念、性质（2）倍数与约数的辨识方法（3）最大公约数和最小公倍数的求解方法七、作业设计1. 作业题目：（1）找出40的所有约数。
（2）求出15和20的最大公约数和最小公倍数。
2. 答案：（1）1、2、4、5、8、10、20、40（2）最大公约数：5，最小公倍数：60八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对整除的概念和性质掌握较好，但在求解最大公约数和最小公倍数时，部分学生存在困难，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何求解三个或更多数的最大公约数和最小公倍数，激发学生深入学习的兴趣。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 例题讲解的深度和广度3. 随堂练习的设计与实施4. 作业设计的针对性和答案的准确性5. 课后反思及拓展延伸的深度详细补充和说明：一、教学难点与重点的确定重点：整除的概念、性质、倍数与约数的辨识方法。
六年级秋季班-第1讲：整数和整除-教师版
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b 能整除a．整数和整除内容分析知识结构模块一：整数和整除的意义知识精讲例题解析【例1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．【难度】★【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数，统称为整数．【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．【例2】关于1836÷=，下列说法正确的是（）A．18能整除3 B．3能被整除18C．18能被3整除D．3不能整除18【难度】★【答案】C【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【例3】下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1．【难度】★★【答案】③【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题依旧考查整除的概念．【例4】下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、整数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】A【解析】①错，整数包括正整数、负整数和0；②错，0是最小的自然数；③错，要求a和b也要为整数；④错，没有最大的自然数，有最小的自然数为0．⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1．【总结】本题主要考查整数的分类问题，注意0的特殊性．【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．【难度】★★【答案】②③⑤⑥⑦【解析】a能除尽b是指ab 所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、整除与除尽有什么不同点？【例6】有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【难度】★★【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15．【解析】因为5==，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．⨯15⨯3151【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例7】一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？【难度】★★★【答案】不对，因为4不能整除342．【解析】2÷，余数不为0．......342=854【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例8】在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【难度】★★★【答案】300，400，200【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．模块二：因数和倍数知识精讲1、因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．例题解析【例9】在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．【难度】★【答案】12、30、66；12、15、30、45、66．【解析】有因数2的是：12、30、66；是3的倍数的有：9、12、15、30、45、66．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例10】既是23的倍数，又是23的因数的数是______．【难度】★【答案】23．【解析】23的因数有1、23，其中是23的倍数为23．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例11】下列说法中不正确的是（）A．1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数B．偶数的因数不一定是偶数C．奇数的因数一定是奇数D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数【难度】★★【答案】D【解析】D答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数的，故D是不正确的．【总结】本题主要考查因数和倍数的定义，注意1的特殊性．【例12】一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．【难度】★★ 【答案】6【解析】因为一个正整数最小的因数为1，最大的因数为它本身，故这个数是6． 【总结】本题主要考查正整数的因数的特征．【例13】既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）【难度】★★【答案】3、6、15、30．【解析】6510315230130⨯=⨯=⨯=⨯=，所以30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30．其中3的倍数为3、6、15、30．【总结】本题可以将30的因数一一列出，然后判断其实不是3的倍数，反过来也可以．【例14】一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．【难度】★★ 【答案】10、50．【解析】10的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是100的因数，且不能被4整除的是10、50．【总结】本题也可一一列举出即是10的倍数，又是100的因数的数，然后再判断哪些不能被4整除．【例15】已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．【难度】★★★ 【答案】正确．【解析】三位数abc 可以表示为()c b a ++10100，两位数bc 可以表示为c b +10，因为两位数bc 能被4整除，∴c b +10能被4整除．而()()()410254104100410100÷++=÷++÷=÷++c b a c b a c b a ，没有余数，所以这个三位数就能被4整除．【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．模块三：能被2、5整除的数知识精讲1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．2、奇数偶数的运算性质奇数±奇数= 偶数；奇数±偶数= 奇数；偶数±偶数= 偶数；奇数⨯奇数= 奇数；奇数⨯偶数= 偶数；偶数⨯偶数= 偶数．推广结论：（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；（2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；（3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；（5）两个整数的和与差的奇偶性相同．3、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．4、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析【例16】两个连续自然数的差是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．既不是奇数也不是偶数【难度】★【答案】A【解析】两个连续自然数的差为±1，为奇数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例17】9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．【难度】★【答案】偶．【解析】9个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例18】已知一个三位数13x．（1）若这个三位数能被2整除，求x；（2）若这个三位数能被5整除，求x；（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x．【难度】★★【答案】（1）0，2，4，6，8；（2）0，5；（3）0．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0，5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2、5整除的数的特点．【例19】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【难度】★★【答案】C【解析】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数有120、102、210、201，其中偶数有120、102、210．【总结】一一列举符合题目条件的数字，考查偶数的概念．【例20】5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？【难度】★★【答案】44、46、48、50、52．【解析】这5个偶数的平均数为48，则中间的数字为48，则这5个连续的偶数为44、 46、48、50、52．【总结】本题主要考查利用平均数解决连续整数和的问题．【例21】12320152016+++⋅⋅⋅++的结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】1到2016个数字中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；则这2016个数字之和为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例22】用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？【难度】★★【答案】7．【解析】要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则26与25、27、28、29相乘，可以得到偶数；28与25、26、27、29相乘，可以得到偶数．中间有重复的26与28相乘，则一共有4+4-1=7个偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例23】13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【难度】★★★【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时，则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例24】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？【难度】★★★【答案】不能，理由见解析．【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．【例25】1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？【难度】★★★【答案】225．【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2的倍数，其中5的倍数有10005200÷=个，÷=个，25 的倍数有10002540 125的倍数有10001258÷=个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾中含零的个数为：2004081204225+++--=个．【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．【例26】在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“+”、“-”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．1、 能被3整除的数能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．2、 能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【例27】要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________； 要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【难度】★【答案】1、4、7；4．【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．【例28】 一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【难度】★★【答案】16．【解析】7B 能被2整除，则B 为0、2、4、6、8；497A B 能被3整除，则B A ++20能被3整除．当B =0时，A 可为1、4、7；当B =2时，A 可为2、5、8；当B =4时， A 可为0、3、6、9；当B =6时，A 可为1、4、7；当B =8时，A 可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．【总结】先一一列举符合7B 能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．知识精讲 模块四：能被3、9整除的数 例题解析【例29】从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】4．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．【例30】已知一个三位数abc，试证明：若a b c++能被9整除，则abc能被9整除．【难度】★★★【答案】证明见解析．【解析】因为a b c=+（m为正整数），又abc=10010+ba9++能被9整除，则可得mc++a b c()()=++++，因为b999a b a b c++能被9整除，所以abc99+能被9整除，也a b ca9能被9整除．【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．随堂检测【习题1】下列说法正确的是（）A．一个数至少有两个因数B．个位上是3、6、9的整数都能被3整除C．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数D．非负整数是正整数【难度】★【答案】C【解析】A答案错误，如1只有一个因数；B答案中考查能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；C答案是正确的；D答案中0也属于非负整数．【总结】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题．【习题2】50以内的7的倍数有_______个．【难度】★【答案】7【解析】50以内的7的倍数有：7、14、21、27、35、42、49．【总结】从最小的倍数一一尝试即可得到答案．【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．【难度】★★【答案】1007．【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是1007．【总结】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．【习题4】下列说法不正确的个数有（）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除；（4）3m n÷=，则n一定能整除m；（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】B【解析】（1）对；（2）错，考查整除的定义；（3）错，0能被任何正整数整除；（4）错，n 和m不一定为整数；（5）对，因为三个连续自然数中一定有偶数，则它们的积一定是偶数．【总结】本题主要考查整除的概念，注意整除的定义中的被除数、除数、商都必须是整数，且余数为零，另外还考差了奇、偶数运算性质的问题．【习题5】下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．（1）135÷；÷；（4）02÷；（2）127÷；（3）20163（5）246÷；（8）8.82÷．÷；（7）2.8 1.4÷；（6）2.53【难度】★★【答案】（3）、（4）、（5）；（1）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除和除尽的概念，注意除尽与整除的区别．【习题6】能整除18的数有________________．【难度】★★【答案】1、2、3、6、9、18．【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【习题7】一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．【难度】★★【答案】35．【解析】能被5整除的数尾数为0或5．0为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个位上的数字只能为5，十位上的数字为3，则这个两位数为35．【总结】本题主要考查能被5整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题8】四位数29A B能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数__________．【难度】★★【答案】2190、2490、2790、2295、2595、2895．【解析】能被5整除的数的个位数为0或5，则B为0或5；当B=0时，A为1、4、7；当B=5时，A为2、5、8．所以满足条件的四位数为2190、2490、2790、2295、2595、2895．【总结】本题主要考查能被3、5同时整除的数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题9】三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．【难度】★★★【答案】是，证明见解析【解析】设三个连续的自然数为11=11++-，此数一定能+n3+n-nn，，，则其和为nnn被3整除．【总结】三个连续的自然数的表示方法为1，．n，-n1+n【习题10】小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】不能．【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22是偶数，所以不能．【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．课后作业【作业1】如果A表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．【难度】★【答案】1；A．【解析】一个正整数的最小因数为1，最小倍数为它本身．【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征．【作业2】731最少加上______，就是5的倍数．【难度】★【答案】4【解析】能被5整除的数的特点：个位数字为0或5，因此最少加上4即可．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【作业3】 三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】B【解析】可以填2，四个答案一一验算．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是8的倍数，则说明该数能被8整除．【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个（1）加上()12399100+++⋅⋅⋅++；（2）减去()1002327985⨯+⨯；（3）乘以2；（4）除以2．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】A【解析】（1）12399100=5050+++⋅⋅⋅++为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数； （2）1002327985=16996⨯+⨯为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；（3）奇数乘以2，为偶数；（4）奇数除以2余数为1．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业5】 三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________【难度】★★【答案】105、107、109【解析】这三个连续的奇数平均数为1073321=÷，则中间的数为107，其余两个数为 105和109．【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．【作业6】小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【难度】★★【答案】11．【解析】12=⨯=⨯⨯==，则84的因数为1、2、3、4、⨯=⨯=8421614784⨯412824236、7、12、14、21、28、42、84，共有12个，因为不能一次全拿出，所以共有11中不同的拿法．【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．【作业7】一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．【难度】★★【答案】1、2、4、7、14、28．【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28．=⨯28⨯⨯=，则28的因数有1、2、4、7、14、28．=17144282【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．【作业8】122334************⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯的结果是______．（填奇数或偶数）【难度】★★【答案】偶数．【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101个偶数相加，则其结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业9】五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．【难度】★★★【答案】2、5、8．【解析】能被2、5整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被3整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被3整除，则A可为2、5、8．则A+B为2、5、8．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特点．【作业10】油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．【难度】★★★【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．【解析】因为柴油的总重量是机油的3倍，所以他们的重量和一定为4的倍数．而7桶油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3，我们容易推出汽油的重量被4除余3，由此可见，汽油的重量是27千克．剩下的6桶共重139-27=112（千克），其中包括1份机油和3份柴油，因此机油的总重量为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6个数字中只有12和16的和为28，则重量是12千克、16千克的这两只桶内装的是机油，其余4只桶内装的柴油．【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．。
沪教版六年级上第1章第1节整数和整除教案与练习
第(一)课时1、 理解整数与整除的意义以及掌握相关的概念教学目标2、 会运用整数与整除进行相关的应用和计算重点难点 理解和掌握整除的概念。
同步教学内容今天我们就来学习六年级的第一章节，这是对以后课程的学习做一个好的铺垫，一定要跟上 老师的节奏哦。
【知识要点】1.整数正整数负整数2.整除：整数a 除以整数b (b 0),若除得的商是整数而余数为零，就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。
3. 整除的条件：(三整一零)(1)除数、被除数都是整数(2 )被除数除以除数，商是整数而且余数为零4. 数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3，4，5，…叫做正整数。
5. 0的含义是什么？(1) 零可以表示没有物体。
(2) 可以表示计量过程中某种量的基准数。
女口：零摄氏度，归零，从零开始。
6.最小的自然数是 0,没有最大的自然数。
注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。
8. a —b ，读作a 除以b ，或b 除a ; a 被b 除，或b 去除a 9. 本章中学习的整数，在没有特别说明是，都是指正整数。
课题名称 整数和整除的意义 课时进度 授课时间自然数【典型例题】 【例1] __ 最小的正整数是 【例2]【例3] 统称为自然数; 小于三的自然数有 _____________ 。
从下列书中选择适当的数填入相应的圈内 25, 13, 2.47,8.75,0,统称为整数; 29最小的自然数是【例4】从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内25 5 5, 2.5 0.5 5, 26 5 5.2 35 7 525 3 8L L【例5】A.【例6]【例7]【例8] 【例9] 25223L L 1F 列算式中表示整除的算式是（0.8 0.4 2 B. 16 3 第一个数能被第二个数整除的是（ A.1.2 和 2B.2 和 125L L 1 F 面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在A.27 和 3 ( C.12 和 24 (能整除12的数有哪些?【例10] 【例11]B.3.6 和 1.2 ( D.91 和 7 (既能被2整除又能被3整除的最小的整数是 4 和 46,不能被整除，17和51,C. 2 1 C.12 和 2能被72 和 36 17 和 34 20和5 0.5 和 5() ( )() ( ) 18和319 和 38 0.2 和 417和3()( )( )()在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除, 请在（ ）内打整除。
沪教版六年级上册第一章第一节整数和整除的意义
教师：学生：时间：年月日段一、填空1、既不是正数，也不是负数；2、最小的自然数是，最小的正整数是，最大的负整数是；3、6能被正整数整除；4、整除的条件是：（1），都是整数；（2）除以，商是，而且余数是；5、a能整除10，则a= ；6、用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句；（1）2 整除4；（2）4 整除5；（3）6 被3整除；（4）7 被2整除；7、和13相邻的整数是；8、24÷4=6，我们说能被整除；或者说能整除。
二、选择题1、5÷4=1.25，表示（）A、5能被4整除B、5能被4除尽C、5不能被4除尽D、4能整除52、下面四句话中，正确的是（）A、最小的整数是1B、整数一定比小数大C、4能被0.8整除D、负整数、0、正整数都是整数3、下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A、18÷4B、12÷0.4C、1.8÷1.8D、4÷44、已知m能整除71，那么m是（）A、142B、11C、1或71D、2135、下列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是（）A、1.5和0.5B、15和5C、4和4D、10和2三、简答题1、正整数24能被a整除，写出所有符合条件的正整数a。
2、在下列各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除？能整除的要计算出结果。
①3.6和1.2 ②135和4 ③84和0.05 ④5和12 ⑤36和4 ⑥1.7和0.83、学校新购置了48台电脑，把它们平均分成几个小组整齐地摆放在电脑教室；如果你是管理员，你会怎样摆放呢？4、从下列数中选择适当的数填入相应的圈内15 －8 0 0.82 －31 41 101 自然数 整数 正整数5、将下列各算式填入合适的圈内64÷8=8 8÷16=0.5 17÷3=5……2 2.5÷2.5=1 7÷7=1 7÷3.5=2 除尽 整除。
市北资优六年级分册 第01章 1.2 奇数与偶数+李业法
1.2 奇数与偶数我们已经碰到各种各样的数，如小数、整数等，其中在整数范围内，能被2整除的整数是偶数，如2，10，－4等；不能被2整除的整数是奇数，如－3，1，3等．同时，如果n是整数，那么2n是偶数，2 n－1或2 n＋1是奇数．如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n－1是正奇数．想一想0是奇数还是偶数？我们知道：奇数、偶数是整数的一种分类．在整数范围内是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数．奇数偶数的运算性质:奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数;两个连续整数的和是奇数，积是偶数．推广结论:奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数．如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．两个整数的和与差的奇偶性相同．【例1】1，2，…，2008中每个数前面任意添加“+”、“一”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由解：因为a－b与a＋b的奇偶性相同，所以将算式中每一个数前的“－”号逐一改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，因此所求算式结果为偶数．【例2】将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：乘积(a1－1)（a2—2）…(a99－99)一定是偶数．证明：1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，…，a99，中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有一个奇数，设其中a k是奇数，则a k－k是两个奇数的差，因而是偶数，所以(a1－1)(a2－2)…(a k－k) …(a99－99)是偶数．练习1.21．5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是几？2．用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3．一次舞会有7名男士与7名女士参加，一名男士与一名女士在一起跳为跳一次舞，会后统计出有8人各跳了6次，有5人各跳了3次，问余下的一人跳了几次？4. 13个不同的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？练习1.2答案：1．60、62、64、66、68．提示：将320除以5可得中间偶数为64．2．7个．提示：16与18和另外一个数乘积均为偶数，共8个，还要减去16与18的积有一个重复，因此共7个，3．3次．4．9个；5个．提示：13个不同的自然数，它们的和是100，其中奇数的个数一定是偶数，偶数的个数一定是奇数，如果有11个或11个以上偶数，它们的和至少是(0+2+4+…+20)+ (1+3)=114>100，不符合要求，另一方面，(0+2+4+…+16)+(1+3+5+19)=100，所以，偶数最多有9个．如果有10个或10个以上奇数，它们的和至少是(1+3+5+…+19)+(0+2+4)=106>100，不符合要求．另一方面，(1+3+5+…+15)+(2+4+6+8+16)=100，所以，偶数最少有5个．1.2奇数与偶数练习1.21. 30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2．若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数．3．有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？4．有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯子的杯口全部向下？为什么？5．博物馆有并列的5间展室．警卫从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……他每进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有几间亮着灯？6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个l ×2的长方形纸片？答案：1．偶数2．290．提示：中间一个数等于1988÷7=284，最大的一个数就是290．3．偶数；奇数．提示：小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸．即每次由左岸出发到右岸后在回到左岸，都过了两次河，因此，小船由左岸开始往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．4．不能．提示：每次“翻转”总是偶数只杯子的杯口方向发生变化，因此无论经过多少次“翻转”，杯口向下的杯子数总是偶数．而总共有9只杯子，是奇数，因此，不能使九只杯子的杯口全部向下．5．1间．提示:每个电灯开关要拉动偶数次才能使点灯亮着．警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程，第2、3、4展室的开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次．100=8×12+4，因此当走到100间展室时，警卫经过12个来回后，又从第1间开始走到第4间，此时前四间的电灯都已经关闭，仅剩第5间的电灯还亮着．6．不能．提示：如图，我们在方格内依次相间的填上“奇”、“偶”两字，这时这时就会发现，要从上面剪下一个1×2的长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个“奇”，一个“偶”，而“奇”有30个，“偶”字有32个，所以这张纸不能剪成若干个l×2的长方形纸片．。
2024年上海市六年级数学第一章数整除教案
2024年上海市六年级数学第一章数整除教案一、教学内容本节课我们将学习上海市六年级数学教材第一章“数整除”的相关内容。
具体包括：1.1节整除的概念和性质，1.2节因数和倍数，1.3节最大公因数和最小公倍数。
通过这些内容的学习，让学生掌握整除的基本知识，理解因数和倍数的概念，以及最大公因数和最小公倍数的求解方法。
二、教学目标1. 知识目标：让学生理解并掌握整除、因数、倍数、最大公因数和最小公倍数的概念。
2. 能力目标：培养学生运用整除知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维和推理能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，增强合作意识和团队精神。
三、教学难点与重点重点：整除的概念和性质，因数和倍数的求解方法，最大公因数和最小公倍数的应用。
难点：最大公因数和最小公倍数的求解方法，以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备，PPT课件。
学具：课堂练习本，计算器，直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入利用PPT展示生活中的整除现象，如：将24个苹果平均分给8个小朋友，每个小朋友可以得到多少个苹果？引出整除的概念。
2. 教学新课（1）讲解整除的概念和性质。
（2）通过例题讲解，让学生掌握因数和倍数的求解方法。
（3）引导学生探讨最大公因数和最小公倍数的求解方法，并进行讲解。
3. 随堂练习出示练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
六、板书设计整除的概念、性质、因数和倍数、最大公因数和最小公倍数的求解方法。
七、作业设计1. 作业题目（1）求30以内的整除数。
（2）找出36的所有因数和倍数。
（3）求解18和24的最大公因数和最小公倍数。
2. 答案（1）1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 25, 30。
（2）因数：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36；倍数：36, 72, 108, 144,（3）最大公因数：6；最小公倍数：72。
1.1整数与整除的意义课件六年级数学上册(沪教版)
自然数
注意：零既不是正整数，也不是负整数.
概念辨析
1.有多少个整数呢？自然数呢？ 2.是否有最小的自然数？最小的自然数？ 3.最大的非负整数是多少？ 4.哪些类型的数有最大或最小值？ 5.非负数和非负整数的区分是？
新知学习
问题1 15名学生参加夏令营,他们想分成人数相等的几个小 组进行活动,可以怎样分组呢？
沪教版六年级第一学期
第一章 数的整除
1.1 整数与整除的意义
教学目标
(1)理解自然数和整数、整除的概念,能够按要求把数进 行分类,并判断一个数能否被另一个数整除.
(2)在对具体问题的探求过程中培养学生视察、比较的 能力和综合概括的能力,初步体会分类集合思想.
(3)在经历从现实世界抽象出概念的过程中,感受数学与 生活的联系.
新课引入
小明家装修新房,客厅地面是长6米、宽4.8米的长方形，准 备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面。市场上地砖有30×30、 40×40，60×60，80×80(单位：厘米×厘米)四种尺寸，小明家 想选尺寸较大的地砖,该选哪一种尺寸呢？
新知学习
1.正整数：用来表示物体个数的数，如：1，2，3，4，5……； 2.负整数：在正整数前面添上“-”，如：-1，-2，-3，-4…； 3.零和正整数统称为自然数； 4.正整数、零和负整数统称为整数；
4.6和2.3（ ╳ ） 7和21 （ ╳ ） 5和0.5 （ ╳ ）
2m和m（ ╳ ）
请你尝试归纳：在判断“整除”时有什么需要注意的地方？
小结归纳
2.请你尝试归纳：在判断“整除”时有什么需要注意的地方？ 注意整除的条件：“三整一零”
①除数、被除数、商都是整数； ②余数是0.
沪教版(五四制)六年级第一学期知识归纳和跟踪练习：第1章第1节 整数和整除(无答案)
第一周整数和整除【知识要点】1、零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数统称为整数。
2、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。
3、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)4、能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
(A卷)姓名班级学号成绩一、填空题(3分×10 = 30分)1、____________和___________统称为自然数。
__________、______和_____________，统称为整数。
2、一个数的最小的因数是_______，最大的因数是__________。
3、一个数的最小的倍数是__________，__________最大的倍数。
4、如果一个整数能被2整除，称该整数为________。
如果一个整数不能被2整除，称该整数为___________。
5、把下列各数填在适当的圈内312，-7，0，0.4，-23，91，-8.75，4正整数负整数整数6、18最大的因数是，最小的倍数是；7、一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是；8、按要求把下面各数填在圈内，9， 47， 58， 0， 1， 121， 10， 600， 78， 13奇数偶数9、按要求把下面各数填在圈内，12， 25， 40， 75， 80， 92， 105， 210，能被2整除的数能被5整除的数既能被2整除又能被5整除的数10、从3、0、8、5中任选几个数字，组成能被2整除的最大三位数是__________，能被5整除的最小四位数是___________。
二、选择题(3分×6 = 18分)1、下列算式属于整除的是（）A、13÷6=216……1 B、48÷8=6 C、7÷2=3.5 D、0.4÷0.2=22、3.6能被9( )A、除尽B、整除C、除不尽D、不整除3、下面哪个数不是36的因数（）A、2B、4C、8D、94、下面说法正确的是（）A、一个整数的因数有无限个B、一个整数没有最小的倍数C、一个整数的倍数有无限个D、根据14÷2=7，说14是倍数，2是因数5、下面哪个数及既能被2整除，又能被5整除（）A、12B、6C、15D、306、两个奇数的和一定是（）A、偶数B、奇数C、不能确定D、0三、解答题(6分×6 + 8分×2 = 52分)1、将下列各算式填入合适的圈内：3.6÷0.9=4 8÷8=1 16÷3=5……1 3.3÷3.3=1 100÷10=10整除除尽2、100以内15的倍数有几个?3、把下列各数填在2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 6060的因数6的倍数4、在32的因数中，是2的倍数的数的和是多少？5、写出下列各数的全部约数：21、51、726、既是30的因数又是3的倍数有几个？你都能写出来吗？7、某班学生分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数相同，小马统计时说：全班共糊了纸盒342个，小马统计正确吗？为什么？8、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？(B 卷)姓名 班级 学号 成绩一、填空题 (2分×14 = 28分)1、把下列各数填在适当的圈内0，3，-2005，0.75，51，1，-0.12，-1 自然数 负整数 整数2、用2、3、4这几个数字可以组成_______________个数字不重复的偶数。
北京师范大学第二附属中学小学数学六年级上册第一单元经典练习题(培优)
一、选择题1．算式180×（1+ 35 ），可以解决下面（ ）问题．A. 六年级同学采集植物标本180件，采集的昆虫标本比植物标本少 35，六年级同学采集了多少件昆虫标本？B. 幼儿园的李厨师准备包180个包子，已经包了其中的 35 ，已经包了多少个包子？C. 阳光超市11月的营业额是180万元，12月的营业额比11月增长了 35，阳光超市12月的营业额是多少万元？C 解析： C【解析】【解答】解：A 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1-35）；B 项中的问题作答时，正确的列式是180×35；C 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1+35）。
故答案为：C 。
【分析】A 项中，题中存在的等量关系是：六年级同学采集昆虫标本的件数=六年级同学采集植物标本的件数×（1-采集的昆虫标本比植物标本少几分之几）；B 项中，题中存在的等量关系是：李厨师准备包包子的个数×已经包了其中的几分之几=已经包了的个数；C 项中，题中存在的等量关系是：阳光超市12月的营业额=阳光超市11月的营业额×（1+12月的营业额比11月增长几分之几）。
据此列式作答即可。
2．杯子中原来盛有800毫升水，小华将杯中的水倒出一些后，情况如图：求从杯子中倒出了多少毫升水？正确的列式是（ ）A. 800× 35B. 800× 38C. 800× 58C解析： C【解析】【解答】解：根据分数乘法的意义列式：800×58。
故答案为：C 。
【分析】一共有800毫升水，把总量平均分成8份，倒出的部分是5份，也就是倒出了总量的58 ， 根据分数乘法的意义列式即可。
3．一桶油重5kg ，用去15， 还剩下多少千克？正确的算式是（ ）。
A. 5- 15B. 5×（1- 15） C. 5÷（1- 15） D. 5× 15B解析： B【解析】【解答】剩下的千克数=5×（1-15）。
六年级同步第1讲整数和整除-教师版
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数知识结构模块一：整数的意义和分类知识精讲内容分析【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．（1）最小的自然数是1 ；（2）最小的整数是0；（3）非负整数是自然数；（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．【解析】（1）错误，最小的自然数是0；（2）错误，不存在最小的整数；（3）正确；（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数；（5）错误，最小的正整数是1，最大的负整数是－1．【总结】本题主要考查与整数有关的概念．【例2】把下列各数放入相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．整数自然数正整数负整数【难度】★【答案】整数：15，－1，0，－63，13；自然数：15，0，13；正整数：15，13；负整数：－1，－63．【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零．【总结】本题主要考查整数的分类．例题解析【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．【难度】★★【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；（2）正整数大于0，负整数小于0，正整数大于负整数；（3）自然数大于负整数；【解析】略；【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【难度】★★【答案】2112、、、．这五个数是：2、3、4、5、6．--++a a a a【解析】列方程：(2)(1)(1)(2)20-+-+++++=a a a a a解得：4a=∴这五个数是：2、3、4、5、6．【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数．【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：()()()152-=÷=+，试求这三个自然数．【难度】★★★【答案】3，10，0．【解析】设这三个数分别为1k+，5k，2k-；则15213+++-=k k k解得：2k=∴这三个数是3，10，0．【总结】本题主要是对题目中条件的理解，同一个数可以用不同的形式去表示．1、整除的意义整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【例6】老师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．” 你认为对吗？【难度】★ 【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（ ） 15和30（ ） 0．4和4（ ） 14和6（ ）17和35（ ）9和0．5（ ）【难度】★【答案】横向：√×××××【解析】整除的意义：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．例题解析知识精讲模块二：整除的意义师生总结1、整除的条件是什么？2、“a 能整除b ”与“a 能被b 整除”的区别是什么？【例8】已知下列除法算式：57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【难度】★【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（2）21÷7=3；0÷3=0．【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷0．1；（4）18÷3；（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；（7）27÷9；（8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________；能够除尽的：________________________________________________．【难度】★★【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）；能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、除与除尽有什么不同点？【例10】若两个整数a 、b (a b >)都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】能，原因略；【解析】设a mc =，b nc =（m n 、是整数，且m n ≠）； 则：()a b m n c +=+； ()a b m n c -=-； ab mnc =； ∴它们的和、差、积也能被 c 整除． 【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用．【例11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数． 【难度】★★ 【答案】35【解析】能被5整除的数字，位数是0或5；个位数字减十位数字的差是2，说明个位不能是0，所以个位数字是5，十位数字是3，这个两位数是35．【总结】本题主要考查能被5整数的数的特征．【例12】15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？ 【难度】★★【答案】两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支． 【解析】将15分解可得：151153553151=⨯=⨯=⨯=⨯题目要求每人不止1支，排除掉1和15，故有两种分法： （1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支． 【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．【例13】2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【难度】★★★【答案】星期六【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节间隔366天，则：3667522÷=，∴2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．【例14】学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？【难度】★★★【答案】第6组【解析】设听语文讲座的人数为x，那么听英语讲座的人数为6x，则在教室里的一组人数为(827)x-人；由已知得：382713x≤-≤，且827x-为整数．解得：62 91177x≤≤．因为x为整数，所以x的取值为10或者11．当10x=时，82712x-=，第6组；当11x=时，8275x-=（舍）；∴留在教师的是第6组．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．1、因数和倍数的意义整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）．【例15】有一个算式6379÷=，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数． 【难度】★【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【解析】因数和倍数的意义：整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）． 【难度】★【答案】12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36…… 19的因数：1，19；倍数是：19，38，57……36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108…… 【解析】∵121122634=⨯=⨯=⨯；∴12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36…… ∵19119=⨯；∴19的因数：1，19；倍数是：19，38，57…… ∵3613621831249=⨯=⨯=⨯=⨯；∴36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108…… 【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．例题解析知识精讲模块三：因数和倍数的意义【例17】在圈内填写满足条件的数：【难度】★【答案】18的因数：1，2，3，6，9，18； 27的因数：1，3，9，27； 既是18的因数又是27的因数：1，3，9 【解析】∵181182936=⨯=⨯=⨯； ∴18的因数：1，2，3，6，9，18； ∵2712739=⨯=⨯； ∴27的因数：1，3，9，27；∴既是18的因数又是27的因数有：1，3，9．【总结】本题一方面考查如何求一个正整数的因数，另一方面考查如何求两个正整数相同的 因数．【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9；（2）27和51．【难度】★★【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3．【解析】（1）∵61623=⨯=⨯，91933=⨯=⨯；∴6和9含有相同的因数：1和3； （2）∵2712739=⨯=⨯，51151317=⨯=⨯；∴27和51含有相同的因数：1和3； 【总结】本题主要考查如何求出两个不相等的正整数所含有的相同的因数．【例19】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________； 其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．【难度】★★【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30； 【解析】略18的因数27的因数既是18的因数又是27的因数【例20】已知：235B=⨯⨯，则A和B相同的因数有哪些？A=⨯⨯，335【难度】★★【答案】1，3，5，15．【解析】∵235A=⨯⨯，∴A的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；∵335B=⨯⨯，∴B的因数有：1，3，5，9，15，45．∴A和B相同的因数有：1，3，5，15．【总结】本题主要考查如何求两个不相等的正整数所含有的相同因数．【例21】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】2，3，5，7【解析】只有两个因数，说明这个数只能分解成1乘以本身，这样的数有2，3，5，7；【总结】本题主要考查因数的概念．【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】30【解析】∵2162223331218=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯，∴这两个数是12和18，和是30．【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用．【例23】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【难度】★★【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因数是奇数的数是平方数，1－100之间的平方数是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；【总结】当一个正整数是平方数时，它的因数个数是奇数个．【例24】李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？【难度】★★【答案】15分钟【解析】因为5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60……；6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60……；所以至少再经过30分钟又同时发车．【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．【例25】用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？【难度】★★★【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4．【解析】161162844=⨯=⨯=⨯；答：可以拼成3种形状不同的长方形，长和宽分别是：16，1或8，2或4，4．【总结】本题主要是利用因数的概念来解决实际问题．师生总结1、求一个整数的因数的方法有哪些？2、求一个整数的倍数的方法有哪些？3、一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？4、一个正整数最小的倍数是什么？【例26】一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？【难度】★★★【答案】60【解析】通过枚举法会发现2、3、4、5的最小的倍数是60，所以至少再经过30分钟又同时发车．【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．【例27】【难度】★★★【答案】不能另：拓展来看，每一张纸的页码和：1+2=3，3+4=7，5+6=11，……共同点：加上1后都是4的倍数，所以是不可能的．【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数．【例28】我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是4(125)105++÷=．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是7(124)88++÷=，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10完美．根据上述材料，回答下面问题：（1）5的“完美指标”是____________；（2）6的“完美指标”是____________；（3）9的“完美指标”是____________．（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．【难度】★★★【答案】14 1213 59（）；（）；（）；（4）28；【解析】（1）5的“完美指标”：15； （2）6的“完美指标”是：12316++=（3）9的“完美指标”是：13499+=； （4）素数的“完美指标”为1n，不够完美； 合数的真因数较小，完美指标也会比较小，不够完美； 所以验证24和28的完美指标：24的“完美指标”是：123468123242++++++=；28的“完美指标”是124714128++++=；∴28是比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．【总结】本题主要是考查学生的理解能力，通过对题目中新的概念的理解，利用概念去解决 新的问题．1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析知识精讲模块四：能被2、5整除的数【例29】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【难度】★【答案】奇数：11，15，19，123，787；偶数：32，56，312，566．【解析】32，56，312，566能被2整除，是偶数，11，15，19，123，787不能被2整除，是奇数．【总结】本题主要考查奇数和偶数的概念．【例30】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．【难度】★【答案】25，70，105，370．【解析】个位上是0或5的整数是能被5整除的数．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【例31】在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．能被2整除的数能被5整除的数能同时被2和5整除的数【难度】★【答案】能被2整除的数：12，40，80，94，210，354，760；能被5整除的数：25，40，75，80，105，210，465，760；能同时被2和5整除的数：40，80，210，760．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2和5整除的数的特征．【例32】三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．【难度】★★【答案】16【解析】设三个数分别是：22a a a -+，，． 则：2254a a a -+++=，解得：18a =．∴2a -=16．∴最小的数是16．【总结】本题考查如何用字母来表示三个连续的整数．【例33】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．86-（ ） 86+（ ） 86⨯（ ） 96-（ ） 96+（ ） 96⨯（ ） 157-（ ）157+（ ）157⨯（ ）【难度】★★【答案】横向：√√√ ××√ √√×【解析】偶数与偶数的和、差、积都是偶数；奇数与偶数的和、差是奇数，积是偶数； 奇数与奇数的和、差是偶数，积是奇数；【例34】12399910001001+++⋅⋅⋅+++的和是奇数还是偶数？请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】奇数【解析】1001个数字中，501个奇数，500个偶数，根据奇数偶数的运算性质，和为奇数． 【总结】奇数与偶数的和是奇数，奇数与奇数的和是偶数．【例35】用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的排法？要使这个数能被5整除，有几种不同的排法？ 【难度】★★★【答案】有因数2： 10种；有因数5： 6种．师生总结1、奇数偶数的运算性质有哪些？【解析】有因数2，则个位数字是2或0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，1032，1302，3012，3102，共10种；有因数5，则个位数字是0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，共6种；【总结】本题主要考查如何利用能同时被2和5整除的数的特征来进行数字的排列组合．【例36】下面的乘式的积中，末尾有多少个0？⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯．1232930【难度】★★★【答案】7个【解析】每一个因数中所含的因数是5和2的个数，决定结果中0的个数；将1－30中的数分解素因数，有7个5和多于7个2，结果中有7个0．【总结】本题是一道比较综合的题目，主要考查学生对所学知识的综合运用能力．随堂检测【习题1】先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．整数自然数正整数负整数【难度】★【答案】整数：－1，2，15，0，1，－8，10；自然数：2，15，0，1，10；正整数：2，15，1，10；负整数：－1，－8；从小到大排序为：－8，－1，－0.7，－0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.732732……，10，15；其中最小的正整数是1，最小的自然数是0，最大的负整数是－1．【解析】略【习题2】一个三位数46，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中最小填______．【难度】★【答案】8，0【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8；能被5整除的数个位数字是0，5；【总结】本题主要考查能被2整除以及能被5整除的数的特征．【习题3】判断题：(1)若2÷=，则n一定能整除m．（）m n(2)整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b．（）(3) 因为6.370.9÷=，所以6.3是7的倍数．（）(4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除．（）【难度】★★【答案】× × × ×【解析】（1）整除要求被除数和除数也要为整数；（2）一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此a和b相等；（3）因数和倍数的概念是在整除的前提下存在的，本题不属于整除，不存在倍数的概念；（4）能被2整除的数字特征是个位数字为2，4，6，8，0，不是任意一位；【总结】本题主要考查学生对基本概念的理解．【习题4】已知2357A=⨯⨯⨯，那么A的全部因数的个数是(）A．10个B．12个C．14个D．16个【难度】★★【答案】D【解析】本身和1：2个；任意一个数：4个；任意两数乘积：6个；任意三个数乘积：4个；2+4+6+4=16个．【总结】本题主要考查如何去根据乘积的形式去求一个正整数的所有因数．【习题5】一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】3，6，12，24，48【解析】48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中是3的倍数的是3，6，12，24，48．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【习题6】如果()n表示n的全部因数的和，如(4)1247-==++=，则(18)(21) _________．【难度】★★★【答案】7【解析】∵（18）=1+2+3+6+9+18=39，（21）=1+3+7+21=32，∴（18）－（21）=7．【总结】本题主要考查学生的理解能力，通过对()n的理解完成相关的计算．【习题7】用0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？【难度】★★★【答案】10个【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8，所以有2580，2850，5280，5820，8250，8520，5082，5802，8052，8502，共10个．【总结】本题主要考查如何利用能被2整除的数的特征来进行数字的排列组合．【习题8】先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是13的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的倍数？（写出具体过程）（1）9062；（2）12805；（3）158506．【难度】★★★【答案】（2）12805是13的倍数【解析】（1）9062：906+8=914，91+16=107，10+28=38，不是13的倍数；（2）12805：1280+20=1300，是13的倍数，故12805是13的倍数；（3）158506：15850+24=15874，1587+16=1603，160+12=172，17+8=25，不是13的倍数；【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用．课后作业【作业1】是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．【难度】★【答案】最小的正整数是1，最小的负整数不存在，最小的自然数是0，不存在最大的正整数，最大的负整数是－1，不存在最大的自然数．【解析】略【作业2】78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．奇数偶数【难度】★★【答案】奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78．【解析】78的因数有1，2，3，6，13，26，39，78；其中，奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78．【总结】本题主要考查对因数、奇数、偶数这些基本概念的理解．【作业3】求26以内能被5整除的所有数的和．【难度】★★【答案】75【解析】26以内能被5整除的数有5，10，15，20，25，和为5+10+15+20+25=75．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【作业4】 在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和．照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？【难度】★★【答案】三个数中有两个奇数，乘积为偶数．【解析】第一次擦除，变为奇奇偶，第二次分为两种情况：（1）擦掉奇数，变为奇奇偶，（2）擦除偶数，变为奇奇偶； 之后一直保持为奇奇偶，所以100次后也为奇奇偶，乘积为偶数．【总结】本题一方面考查学生对题意的理解，另一方面考查奇数与偶数相乘的特征．【作业5】 求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．【难度】★★★【答案】1005【解析】1000以内能被3、5同时整除的数是15的倍数，最小的偶数是30，最大的奇数是975，和为1050．【总结】本题主要考查能同时被3、5整除的数的特征．【作业6】 一个大于1的自然数a ，只有两个因数，那么3a 有几个因数？【难度】★★★【答案】当3a ≠时，3a 有4个因数；当3a =时，3a 有3个因数．【解析】3133a a a =⨯=⨯，由已知得：1a ≠，3a a ≠∴当3a ≠时，3a 有4个因数：1，3，a ，3a ；当3a =时，3a 有3个因数：1，3，3a ；．【总结】本题主要是考查如何根据题目中的条件去求一个正整数的因数．【作业7】 张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错．有一次她数了数桌上的硬币，是36枚1角．她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道为什么吗？【难度】★★★【答案】略【解析】票价有三种，5角、1元、1元5角，都是5的倍数，但是36不是5的倍数．【总结】本题主要考查如何利用倍数的概念来解决实际问题．【作业8】凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就是11的倍数．下列各数，哪些是11的倍数？(1)64273 (2)208549 (3)77360822【难度】★★★【答案】（1）、（2）、（3）都是11的倍数【解析】（1）64273：（6+2+3）－（7+4）=0，是11的倍数；（2）208549：（2+8+4）－（0+5+9）=0，是11的倍数；（3）77360822：（7+6+8+2）－（7+3+0+2）=11，是11的倍数；∴（1）、（2）、（3）都是11的倍数．【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用．。
六年级A册
第一章数的整除1.1整数和整除的意义比一比、赛一赛一、填空1. 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1，2，3，4，5，…，叫做___________.2. 在正整数1，2，3，4，5，…，的前面添上“－”号，得到的数－1，－2，－3，－4，－5，…，叫做___________.3. 零是正整数呢？还是负整数呢？4.________________________统称为自然数.5.________________________统称为整数.6.整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能___________或者说b能_____________.7. 河马博士提醒我们，注意整除的条件:(1) ________________________________________________________________.(2) ________________________________________________________________.8. 课本中提醒我们注意，在本章中学习的整数，都是指________________________.9. (1) 如果一个正整数除以5，商是2，余数是3，那么这个正整数是_____________.(2) 在能够被2整除的两位数中，最大的是_____________.(3) 如果12÷3=4，那么_________能被_________整除，_________能整除________.(4) 如果n是一个正整数，且n能被5整除，同时n能整除5，那么n=________. 10. 把下列能够整除的算式填入圈内.42÷5,63÷21,11÷4,13÷3，28÷4，30÷10.二、解答题11. 下面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（）内打“√”.81和9（）56和7 （）12和24（）7和84（）75和15（）46和4 （）12.下面各组数中，如果第一个数能整除第二个数，请在（）内打“√”.9和36（）15和45（）3和39 （）48和12（）30和10（）17和51（）13.把下列各数填在指定的圈内.，100，－8.5.8，－10，0，0.25，－50，37正整数负整数整数14.判断（1）0是自然数.………………………………………………………………………（）（2）没有最小的自然数.………………………………………………………………（）（3）没有最小的整数.…………………………………………………………………（）（4）3.6能被6整除.……………………………………………………………………（）（5）0不能作除数.……………………………………………………………………（）15. 用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句.（1）2______________整除4，4______________被2整除.（2）2______________整除5，5______________被2整除.（3）2______________整除6，6______________被2整除.想一想、探一探16.判断题.（1）最小的自然数是1.………………………………………………………………（）（2）负整数中有最大的数.……………………………………………………………（）（3）零是整数，所以它也是正整数.…………………………………………………（）（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数.………………………………………（）（5）大于1，小于3的数只有2.………………………………………………………（）（6）1能被任意一个自然数整除.……………………………………………………（）（7）1001能被11整除.………………………………………………………………（）（8）2.5能被5整除.……………………………………………………………………（）（9）能整除6的数一共有4个.………………………………………………………（）（10）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除.…………………………………（）17. 选择题.（1）下列说法正确的是………………………………………………………………（）A.最小的整数是0 .B.负整数中有最小的数.C.自然数的个数是无限的.D. 33，34，35，36，38是连续的自然数.（2）下列说法错误的是………………………………………………………………（）A. 114能被6整除.B.整数都可以做除数.C. 12能被0.3除尽.D.如果a能被b整除，那么a能被b除尽.（3）第一个数能被第二个数整除的是………………………………………………（）A. 3和24B. 0. 9和2. 7C. 65和13D. 28和16.（4）第一个数能整除第二个数的是……………………………………………………（）A. 15和8B. 78和13C. 7和21D. 4. 6和2. 3.编一编、解一解18.请您编一个题：要求利用“整除的意义”1.3 能被2，5整除的数比一比、赛一赛1.说理题.（1）能被2整除的数有什么特征呢？（2）什么叫偶数? 什么叫奇数？（3）奇数的个位数字有什么特点呢？（4）在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数，是奇数还是偶数？（5）在正整数中，与偶数相邻的两个数，是奇数还是偶数？（6）能被5整除的数有什么特征呢？（7）课本中提醒我们注意，0是不是偶数？2.下列哪些数有因数2？哪些数有因数5？12，27，25，30，51，60，75，96，186，225.有因数2的数________________________________________________________________. 有因数5的数________________________________________________________________.3. 下列说法对吗？对的在括号内打“√”，错的打“×”.（1）能被2整除的数一定是偶数.……………………………………………………（）（2）两个相邻的奇数相差2.…………………………………………………………（）4.在下列每个数的□内填上一个数字，使得这个数有因数5. 你还能写出几个？5□□1□5.（1）写出2个能被5整除的偶数：_____________________________________________. （2）写出2个能被5整除的奇数：_____________________________________________. （3）写出2个既能被5整除又能被2整除的数：_______________________________.6.判断题.（1）一个自然数，如果不是偶数就是奇数.…………………………………………（）（2）210能同时被2和5整除.………………………………………………………（）（3）能被5整除的数也一定能被10整除.…………………………………………（）（4）0是最小的偶数.…………………………………………………………………（）（5）个位上是0的自然数，一定能被2和5整除.………………………………（）7.把下列数字按照要求归类填写，看看还剩下哪些数没有填写.6，8，9，10，12，20，25，35，60，125，570.能被2整除的数能被5整除的数能同时被2、5整除的数8.按要求将下面的数填在圈内.28,75,87,91,295,342,552,630,1002,1090.能被2整除的数能被5整除的数能被3整除的数.（1）能同时被2、3、5整除的数是_______________________.（2）写出100以内能同时被2、3、5整除的数是_______________________.（3）试说说能被3整除的数具有什么特征？9. 若一个三位数，它即是2的倍数，又是5的倍数，则这个三位数最大是多少，最少是多少？想一想、探一探10. 用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.（1）能被2整除，但不能被5整除.（2）能被5整除，但不能被2整除.（3）既能被2整除，又能被5整除.11. “转糖盘”是一个固定不动的圆盘，盘面被平分为10格（如图），在偶数格内放一块糖，在奇数格内放上值钱的物品.某人给摊主5角钱，即可沿着顺时针方向转动圆盘一次. 圆 盘停转后，指针指到哪一格，摊主便依据该格的数顺着圆盘 转动方向从下一格起数格，数到哪一格，该格中的物品就归 这个人. 例如：指针停在3，则从4起再数3格，即第6格中的物品就是奖品.实际上，不管您怎么转，永远都拿不到奇数格中的物品. 请您试着填写下面表格，看看您的奖品是什么.编一编、解一解12. 请您编一个题：要求利用“能被2，5整除的数”1 32 6 5 47 10 9 81.4 素数、合数与分解素因数（２）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）什么叫做素因数？（２）什么叫做分解素因数？（３）通常用什么方法分解素因数？（４）分解素因数的步骤如下：2. 判断题. （1）7和11是素因数. …………………………………………………………………（ ） （2）凡是合数都能分解素因数. ………………………………………………………（ ） （3）3、4、5都是60的素因数. ……………………………………………………（ ） （4）20分解素因数的式子是20122 5.=⨯⨯⨯………………………………………（ ） （5）一个合数至少有3个素因数. ……………………………………………………（ ）3. 填空题.（1）48的素因数有________________.（2）235,A =⨯⨯223 5.B =⨯⨯⨯ A 与 B 公有的素因数是________________.（3）分解素因数30=__________，40=___________，则30和40相同的素因数是_________. 4. 下面各式中，表示分解素因数的式子是……………………………………………（ ）A . 21530.⨯=B . 6025 6.=⨯⨯C . 1243 1.=⨯⨯D . 4533 5.=⨯⨯输入一个合数6. 分别把24和36分解素因数，并指出它们有哪些相同的素因数.7. 分别把各数分解素因数.18 32 4551 75 848. 把下列各数填入适当的圈内.1,2,3,4,5,7,9,11,15,21,27,29,39,41,46,51,87.9. 在下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？请把合数分解素因数.23,32,47,65,71,78,93.想一想、探一探10. 将40分成六个素数之和，要求最小素数尽量大，那么最小的素数是几？11.有两个素数，它们的和是小于100的奇数，并且也是17的倍数，求这两个素数.编一编、解一解12.请您编一个题：要求利用“素数、合数或分解素因数”奇数 偶数 合数素数1.6 公倍数与最小公倍数比一比、赛一赛1. 说理题.（1）把圈内填数，理解倍数与最小公倍数的意义.3的倍数 4的倍数3和4的公倍数（2）什么叫公倍数？（3）什么叫最小公倍数？（4）怎样用短除法求两个数的最小公倍数？答：求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的_______素因数和它们_______的素因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数.（5）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是什么？（6）如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是什么？2. 判断题. （1）6和30的最小公倍数是6. ………………………………………………………（ ） （2）5和7的最大公因数是它们的乘积. ……………………………………………（ ）（3）a b c ⨯= （a,b,c 都是自然数），ｃ一定是ａ和ｂ的最小公倍数. ………………（ ） （4）如果两个数的乘积是它们的最小公倍数，那么这两个数一定是互素的. ……（ ） （5）两个数的公倍数一定能被这两个数整除. ………………………………………（ ） 3. 填空题.（1）在6,10,15,20,25,30各数中，2的倍数是______________，5的倍数是______________，2和5的倍数是_____________. （2）a 和b 的公因数只有1，那么a 和b 最大的公因数是_______，最小的公倍数是_______. （3）22335,A =⨯⨯⨯⨯2357.B =⨯⨯⨯ A 和 B 两数最大的公因数是________________， 最小的公倍数是_______________. 4. 求下列各组数的最小公倍数.18和27 14和412和16 15和205. 求下列分数中两个分母的最小公倍数.52127和 7111530和 1111218和6. 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.30和45 7和921和35 17和687. “学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈，舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组，那么至少要选拔多少名学生参加舞蹈？想一想、探一探8. 求12,40和180的最大公因数和最小公倍数.9. 大雪后一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他们的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长54厘米，由于两脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圃的周长.，编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“公倍数与最小公倍数”第一章 复 习 题1. 填空题.（1）三个连续的自然数，最小的一个是a ，其他两个数分别是_______________. （2）在18,27,30,46,51,65,102，这些数中，能被2整除的数_____________________________________. 能被5整除的数_____________________________________.（3）如果数225,A =⨯⨯23 3.B =⨯⨯ A 和 B 的最大的公因数是____，最小公倍数是____. （4）已知225,A =⨯⨯则它的所有因数有_________________个. （5）填空：A =_______________.B =_______________. A 和 B 的最大的公因数是___________________. A 和 B 的最小公倍数是_____________________.2. 下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？11,22,23,27,29,43,51,53,72,79.素数 合数3.下列说法对吗？不对的请改正. （1）比3小的自然数只有1和2.（2）所有正整数，不是素数就是合数. （3）互素的两个数一定都是素数. （4）12的因数只有2,3,4,6四个.（5）两个数的最小公倍数一定能被两个数的最大的公因数整除. （6）若a ，b 都是素数，则m a b =⨯一定是合数. 4. 求下列分数中两个分母的最小公倍数.11和7 9和12 12和1813和52 18和24 15和25B A 2 9 3 □ 3 45. 小丽、小杰定期到敬老院去打扫卫生，小丽每隔6天去一次，小杰每隔8天去一次，如果3月1日他们俩都在敬老院打扫卫生，那么他们下一次在敬老院见面的时间是几月几日？6. 这是学校新学期的购物单，由于采购员粗心大意，致使有些部分被墨水遮住，但是他记得单价是整数元，你能运用所学知识推算出购买的录音机的单价和总价吗？7. 小丽有60块大小相同的正方形拼板，爸爸让小丽用这60块拼板拼出一个大的长方形，拼的要求是：不能有空隙，不能有重叠，并且这60块拼板全用上，小丽按要求共能拼出多少种形状不同的长方形？请说明理由.8. 如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数，请你举出三组孪生素数.如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，写出请一组“三胞胎素数”.，第二章 分 数2.1 分数与除法（2）比一比、赛一赛1. 怎样用数轴上的点表示分数2977和 吗？ 答：将数轴上的单位长度________等分，从______开始自左而右的第______个点表示分数27，第________个点表示分数9.72. 我们来了解一点数形结合的数学思想.例如：数轴和它上面的点是图形，分数是个数，数轴上有的点可以用一个分数表示，任何一个分数都可以用数轴上一个对应点表示出来，这就是数形结合思想. （1）数轴上的一个点你能读出它所表示的数吗？（2）一个分数，你会用数轴上的点表示吗？3. 写出数轴上点A 、点B 、点C 所表示的分数.（1）（2）（3）4. 在一条数轴上画出以下数所表示的点.()1481,,.3330 1 230 1 2()1592,,.444想一想、探一探5. 写出用9、11、17三个数中任意两个数分别做分子、分母的分数，这样的分数最多能写出几个？6. 如图，边长为23 的等边三角形ABC 放在数轴上，点B 与点0重合，点C 与表示23的点重合. 将三角形绕点C 旋转，使点A 落在数轴上；再将三角形绕点A 旋转，使点B 落在数轴上；… ；当点C 第一次落在数轴上时，点C 表示的数是多少？编一编、解一解7. 请您编一个题：要求利用“分数与除法的关系”1232.2 分数的基本性质（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）什么叫最简分数？（2）约分是怎样一个过程？（3）通过约分可以_______分数.（4）“是”字的数学含义：相当于除号或分数线.例如：24厘米是1米的几分之几？甲数是乙数的几分之几？（5）怎样将一个分数化为最简分数？2. 下列分数367491681,,88325242412，，，，中， 哪些是最简分数？3. 将下列分数化成最简分数.（1）836 （2）276 （3）530 （4）6374. 将下列分数按要求填入下面各圈中.6543441.91069893，，，，，，5. 24分米是5米的几分之几？与12相等 与23相等 与1236相等6. 45分钟是1小时的几分之几？7. 125克是1千克的几分之几？8. 判断题.（1）如果分数的分子与分母中一个是奇数，一个是偶数，那么这个分数一定是最简分数.……………………………………………………………………………………（）（2）如果分数的分子与分母都是奇数，那么这个分数是最简分数.………………（）（3）如果分数的分子与分母是两个相邻的正整数，那么这个分数是最简分数.…（）（4）如果分数的分子与分母是两个连续的奇数，那么这个分数是最简分数.……（）（5）如果分数的分子是1，那么这个分数是最简分数.………………………………（）想一想、探一探9. 甲、乙两地相距72千米，乘汽车2小时到达，骑自行车要6小时到达，自行车每小时的速度是汽车每小时速度的几分之几？10. 如图，一个小三角形的面积是中三角形的；一个中三角形的面积是一个大三角形的面积的，那么大三角形的面积是整个图形面积的几分之几？编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“分数的基本性质”2.3 分数的大小比较（1）比一比、赛一赛1. 如何比较两个同分母分数29和59的大小呢？答：要比较分数29和59的大小，可以在数轴上画出它们所对应的点，表示29的点在表示59的点__________边，所以29__________59.29与59是分母相同的分数，事实上，比较同分母分数的大小只需要比较______的大小即可.2. 通分是一个怎样的过程？3. 通分的一般步骤是：（1）求公分母——求分母的最小公倍数.（2）根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相同的分数. 4. 如何比较两个异分母分数的大小呢？ 答：5. 比较下列各组同分母分数的大小，在横线上填“＞”或“＜”.（1）13_______2.3 （2）25_______3.5 （3）310_______7.10（4）1429_______15.29 （5）49100_______51.100 （6）20092011_______2010.20116. 比较下列各组同分子分数的大小，在横线上填“＞”或“＜”.（1）25_______2.3 （2）59_______5.8 （3）1011_______10.12（4）100101_____100.99 （5）20112010_____2011.2009 （6）89_______8.87. 把下列每组中的两个分数通分，并比较大小.（1）25.324和 （2）1113.1821和（3）57.4256和 （4）56.3645和8. 将下列每组分数按从小到大的顺序排列.（1）135.248，， （2）324.439，， （3）351,,.8123想一想、探一探9. 老李和小张两人加工一批相同的零件，老李5小时加工了32个零件，小张4小时加工了25个零件，问谁的工作效率高？10. 商场一楼到二楼的手扶电梯有8级，步行台阶有9阶，小明站在电梯的第7级，小华站在台阶的第8级，问他们俩谁站得高一点？（同一商场一楼到二楼的高度是一样的.）这个题目实际上是比较分数78与89的大小.编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“分数的大小比较”2.4 分数的加减法（1）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）同分母分数如何相加减？（2）用什么方法将异分母分数化为同分母分数？（3）异分母分数如何相加减？（4）一般地，分数加减法的流程图如右：2. 计算.（1）71.812+ （2）22.57-（3）41.153+ （4）54.125+3. 填空. （1）2335-=()()()()()().-=- （2）32721-=()()()()()().-=- （3）3186+=()()()()()().-=- （4）211535+=()()()()()().-=- 4. 计算.（1）111.364++ （2）237.5410-+（3）211.532-+ （4）523.8516+-5. 932减去316再加上15，结果是多少？6. 计算.（1）123.2510+- （2）5174.6305+-（3）1131.1246-+ （4）355.4126+-想一想、探一探7. 一天小张用了14小时完成了当天的数学作业，又用了25小时完成了当天的语文作业，小张完成哪种作业的时间少？少多少？完成两种作业一共用了多少时间？8. 把下面九个数分别填在括号里，使每组三个数的和相等.111112357,,,,,,,,.234612341212（ ）+（ ）+（ ）=（ ）+（ ）+（ ）=（ ）+（ ）+（ ）.编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数的加减法”2.4 分数的加减法（3）比一比、赛一赛1. 列方程求未知数的一般步骤是：（1）设未知数为x；（2）根据题意列出方程；（3）根据加减法互为逆运算，表示出x等于哪些数相加减；（4）计算出x的值，并写上结论.2. 文字题的计算最关键的是读懂题意，请同学们在读题时要认真仔细，特别是表示数字关系的关键词要弄清楚，例如是、占、的，等等.3. 解方程.（1）3212.45x+=（2）2121.34x-=（3）712.46x+=（4）5342.84x-=4. 解方程.（1）3113.4520x+=+（2）361.874x+=-（3）4712.9186x-=-（4）575.4816x-=+（5）71253.1243x-=-（6）711632.842x-=-5. 一个数加上35，再减去16等于1315，求这个数.6. 162 减去一个数，等于133 与 122 的和，求这个数.7. 一个数减去526的差113比12少，这个数是多少？想一想、探一探8.（1）找规律，填一填.211211,.13133535=-=-⨯⨯()()()()211211,,5779=-=-⨯⨯（2）再计算.22222_________________;315356399++++= 111111___________________.315356399143+++++=编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数的加减法”2.4 分数的乘法（2）比一比、赛一赛1. 如果乘数是带分数，该怎么办？2. 理解关键词语：的. “的”可以表示乘号.例如：35的23是多少？ 100 的45是多少？ 78的16倍是多少？3. 分数乘法的一般思路是：4. 计算：（1）163.35⨯ （2）1104.53⨯（3）1405.233⨯ （4）53210.817⨯（5）7316.8⨯ （6）2272.9⨯（7）11050.50⨯ （8）494950.50⨯（9）1112.23⨯ （10）4383.54⨯5. 计算：（1）5320.128⨯⨯ （2）5185.12159⨯⨯（3）25302.56⨯⨯ （4）127231.3311⨯⨯6. 迅速判断，填写“＞”、“＜”、“＝”：（1）71518⨯（ ）7.18 （2）340281⨯（ ）40.81（3）413527⨯（ ）13.27 （4）525618⨯（ ）25.18 （5）211112⨯（ ）1. （6）59160⨯ （ ）59.60（7）708⨯（ ）7.8 （8）15016⨯（ ）15.167. （1）415千克的56是多少千克？（2）245小时的38是多少小时？（3）225米的34是多少米？（4）小丽每天练舞23小时，每周7天共练舞多少小时？想一想、探一探8. 一根铁丝长25米，第一次截去133米，第二次截去余下的45，第二次截去多少米？9. 一根长方形盒子，长10厘米，宽1122厘米，高4165厘米，求盒子的表面积和容积．编一编、解一解10. 请您编一个题：要求利用“分数的乘法”2.6 分数的除法（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）怎样把分数除法转化为分数乘法？（2）除数如果不是整数怎么办？（3）被除数或除数中有带分数怎么办？（4）本节课的关键词：“的”、“是”在同一个语句中出现．例如：一个数的1112是13，求这个数．这里“的”相当于乘号，“是”相当于等号．（5）利用乘法与除法互为逆运算，可以求x的值．2. 计算题.（1）3577.7236÷（2）3528.1881÷（3）4108.721÷（4）54103.95÷（5）333.44÷÷（6）544.655⨯÷3. 解方程.（1）13.34x=（2）15.2x=（3）93.58x=（4）83.38x=4. 58的________________是6.75. 一个数的23是29，求这个数．6. 一个正方形的周长是58米，它的一条边长是多少米？7. 一个长方形的长是115米，面积是2平方米，他的宽是多少米？8. 已知m的倒数是3，n的倒数是113，求mn的值．想一想、探一探9. 对下列给出的a的值，先写出a的倒数b，再写出b的倒数c，然后观察每组中a与c的数量关系，试用一句话概括这种关系．（1）2.3a=（2） 5.a=（3）32.4a=10. 定义运算：()1.a b a b⊗=÷+例如：()224241.5⊗=÷+=利用上述定义填空：1. 12_________.25⊗= 2.1_________ 4.3⊗=编一编、解一解11. 请您编一个题：要求利用“分数的除法”．2.7 分数与小数的互化（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）什么是循环小数？（2）怎样判断一个循环小数的循环节？怎样用简便方法表示一个循环小数？（3）一组数中有小数、有分数，怎样比较它们的大小？（4）一个分数总可以化为___________小数或___________小数．2. 下列各数哪些是循环小数，在括号内打“√”．（1）0．555 （）（2）0．11232323…（）（3）1．23452345…（）（4）3．1415926（）（5）0．210210…（）（6）15．151515…（）（7）10．010010001…（）（8）7．321321132111…（）3. 将下列分数化为循环小数．（1）7.9（2）12.13（3）2.15（4）42.114. 将0. 957，2122，239250按从大到小的顺序排列．5. 将13510.86,,0.86,1559比较大小．6. 甲、乙两人骑车比赛，甲用4小时骑了85千米，乙用3小时骑了64千米，谁的速度更快？7. 同样品种和规格的梨，在甲水果店以10元4千克的价格出售，在乙水果店以14元6千克的价格出售，哪家水果店卖的梨较便宜？想一想、探一探8. 选择题．（1）介于0．75和0．82之间的分数是………………………………………………（）A. 5.7B.17.20C.2.3D.19.25（2）下列各数能化成有限小数的是……………………………………………………（）A.3.12B.6.7C.16.45D.11.121（3）将111.001,1,1100500和1.101按从小到大的顺序排列，那么第三个数是（）A. 1.001B.11100C.11500D. 1.101（4）王老师在黑板上写了7个自然数，让小杰算这几个数的平均数（得数保留两位小数），小杰算出的答案是30.23，王老师说：“得数的最后一个数字错了，其他数字都是对的．”那么正确的得数应该是…………………………………………………………（）A. 30.22B. 30.29C. 30.27D. 无法确定编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数与小数互化”．2.8 分数、小数的四则混合运算（2）比一比、赛一赛1. 说理题.（1）分数与小数的乘除混合运算，是将题中的数化成小数运算简便还是化成分数运算简便？（2）分数与小数的加减乘除混合运算，先算什么，再算什么？（3）连续除以两个数该怎么办？例如：12262535÷÷，两个除号该怎么办？2. 计算．（1）13107545⨯÷ （2）2326138⨯⨯（3）5714630⨯÷（4）11999÷⨯（5）3375248⨯÷（6）17173118184⎛⎫÷⨯⎪⎝⎭3. 计算．（1）164133534÷-⨯（2）15725147-⨯（3）22 3.6 6.83⨯-（4）52552634÷-⨯（5）11811169322÷+÷（6）1125523322⎛⎫⨯-⎪⎝⎭4. 计算．（1）4502552⎛⎫⨯+⎪⎝⎭（2）325523322⎛⎫⨯-⎪⎝⎭5. 已知梯形的上底、下底和高分别是23厘米、56厘米和0.6厘米，求这个梯形的面积．想一想、探一探（1）销售总额是多少元？（2）A种与B种规格的鱼的销售额的和占销售总额的几分之几？7. 请你观察下面图形的特征，你能利用这个图形迅速写出111124816+++的结果．111118241616 ___________________________________________________________________这就是数形结合的数学思想．编一编、解一解8. 请您编一个题：要求利用“分数、小数的四则混合运算”．2.9 分数运算的运用（1）比一比、赛一赛1. 分数应用题中的几个关键词：“是”、“的”．我们可以从不同的角度、不同的语气去理解它们．例如：甲数是乙数的35，可以写成35=甲数乙数，在这里，“是”相当于分数线；“的”相当于等号．也可以写成甲数=乙数35⨯，在这里，“是”相当于等号，“的”相当于乘号．2. 文字过长时，要学会断句．3. 一件衣服因季节关系打折，以原价的910出售，现售价为60元，求原价.（精确到0.01元）4. 六年级（4）班共有同学48人，其中女同学占全班人数的712．问（1）六年级（4）班女同学有几人？男同学有几人？（2）男同学人数是女同学人数的几分之几？女同学人数是男同学人数的几分之几？（3）男同学人数占全班人数的几分之几？（1）上半年过生日的人数占全班人数的几分之几？（2）下半年过生日的人数是上半年过生日的人数的几分之几？（3）第2季度过生日的人数是第3季度过生日的人数的几分之几？6. 某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆轿车，但实际生产的轿车数量比计划增加了14，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了多少辆轿车？7. 小明10天阅读了一本书的58，小杰6天阅读了同一本书的35，小明和小杰每人平均每天阅读这本书的几分之几？想一想、探一探8. 某商场第一季度的销售额为115万元，占全年计划销售额的514，第二季度完成全年计划销售额的526，问第二季度完成多少万元（精确到万元）？第三和第四季度还需完成多少万元，才能完成全年的计划？编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“分数运算的应用”．第二章 复 习 题比一比、赛一赛1. 将下列各组数通分．（1）372.81035，， （2）15723.4310，，2. 填空．（1）()()()420===5÷5 ．（2）()()331 ==4421÷⨯ ． 3. 将下列各组数按从小到大的顺序排列．（1）1124.901535，，（2）141719.357，，（3）240.38,.511∙∙，，0.37914. 计算．（1）43+54． （2）122143-．（3）45456⨯． （4）1954÷．5. 解方程．（1）2734x=．（2）113257x=．6. 计算．（1）5120.2+613⨯÷6．（2）164133534÷-⨯．（3）5388255⨯÷．（4）527393184⨯-⨯．7. 在下面的流程图中填入输出的数．如果输入的是33,45，那么输出的是___________．8. 在下图中填入适当的数，使得横向、纵向的分数之和为1．9. 人体中血液重量约占人体重量的113，小丽的体重是40千克，求她体内的血液约重多少千克？（结果保留一位小数）10. 如右图，长方形的面积是25平方米，阴影部分面积是长方形面积的25，求阴影部分 面积．11. 小杰阅读一本150页的书，如果再阅读10页，那么阅读过的页数是全书的35，小杰阅读过的页数占这本书的几分之几？如果七天后必须还书，那么，小杰在这七天中平均每天应阅读几页？最后七天中平均每天阅读的页数占全书页数的几分之几？3513 12153833212. 小丽家第三季度每个月的用电量都是前一个月的1514，已知九月份用电量为225千瓦时，九月份比七月份多用多少千瓦时电？如果1千瓦时电的电费为0．61元，那么小丽家七月份比九月份少缴多少元电费？想一想、探一探13. 对于分数23，它的分子、分母同时加上一个相同的正整数，得到一个新的分数，这个分数是否与23相等？你能得到什么结论呢？14. 生活中常用“一刹那”形容事情发生得极快，那么“一刹那”到底是多少秒呢？中国古代有一本书中这样写道：一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾．根据这个叙述，完成以下填空．（结果用分数表示）1（须臾）=24604830⨯=（分）．1（罗预）=_____________________（分）．1（弹指）=_____________________（分）．1（瞬）=________________________（分）．1（刹那）=_______________________（分）=_____________________（秒）．第三章比和比例3.1 比的意义比一比、赛一赛1．什么叫做a与b的比？怎么记？怎么读？2．求a与b的比，b为什么不能为0？3．什么叫比值？4．比、分数、除法三者之间的关系：5．求两个同类量的比值，如果单位不同怎么办？6．比值可以用整数、分数、小数表示．7．东方明珠电视塔的高度是468米，它的观光层所在高度为263米．求观光层所在高度与．东方明珠电视塔的高度之比．8．下表是小明家今年第一季度家庭月收入与支出的统计表，请根据表中数据写出下列各比．（单位：元）（1）小明家1（2）小明家1月份的支出与3月份的支出之比．（3）小明家2月份的收入与1月份的收入之比．（4）小明家2月份的收入与整个第一季度的收入之比．9．求下列各比的比值．（1）25：40 （2）7.2：1.8（3）243:35 （4）218:3⋅ （5）3:044⋅ （6）50.75:8（7）21:0.53（8）40.125:5（9）375毫升：1.25升 （10）22400:1cm m（11）180:0.6g kg （12）169:1.3cm m（13）4天时：18 （14）1.25125时时分：想一想、探一探10．学校举行为贫困地区失学儿童募捐的“蓝天下的至爱”的活动，下面是六（1）班和六（2）班同学们的具体捐款统计表．请根据统计数据，利用计算器，求六（1）班和六（2）班平均每位同学捐款额之比的比值．（精确到0.01）六（1）班六（2）班9. 请您编一个题：要求利用“比的意义”．3.2 比的基本性质（2）比一比、赛一赛1．三项连比的性质是：如果::::a b m n b c n k ==，，那么::a b c =__________________．如果0k ≠，那么 :::_______:_______a a b c ak k==．2．将三个整数比化为最简整数比，就是给每项除以______________．3．．将三个分数比化为最简整数比，怎么办？答：先求分母的最小公倍数，再给各项乘以分母的最小公倍数．4．将三个小数比化为最简整数比，怎么办？答：再给各项同乘以10，100，1000等，化为整数比，再化为最简整数比．5．求三项连比的一般步骤是：（1）寻找关联量，求关联量对应的两个数的最小公倍数；（2）根据比的基本性质，把两个比中关联量化成相同的数；（3）对应写出三项连比．6．把下列各分数连比化成最简整数比．（1）111236：： （2）123234：：（3）1274510：： （4）2585315：：（5）1131842：1： （6）91114203015：：7．把下列各小数连比化成最简整数比．（1）0.75 ：0.25 ：1.25 （2）0.3 ：0.15 ：0.45 （3）1.6 ：2.4 ：1.4 （4）0.72 ：0.12 ：2.48．根据下列已知条件，求::a b c．（1）:2:3,:4:5a b b c==．（2）:3:5,:6:7a b b c==．想一想、探一探9．如图是某园林的规划图，其中正方形的34是草地，圆的67求正方形与圆的面积比．10．在实验课上老师带来了两杯果汁和一个空杯子，老师告诉同学们：“甲乙两个杯中盛有同样重量的果汁，已知甲杯中的果汁粉与水的重量比我1:2，乙杯中的果汁粉与水的重量比为1:3．现在我将它们全部倒入丙杯中，那么此时丙杯中的果汁粉与水的重量比为多少呢？”小明回答道：“()()11:232:5.++=”你觉得小明的回答正确吗？为什么？编一编、解一解9. 请您编一个题：要求利用“比的基本性质”．。
北京中国人民大学附属外国语中学小学数学六年级上册第一单元阶段练习(课后培优)
一、选择题1．算式180×（1+ 35 ），可以解决下面（ ）问题．A. 六年级同学采集植物标本180件，采集的昆虫标本比植物标本少 35，六年级同学采集了多少件昆虫标本？B. 幼儿园的李厨师准备包180个包子，已经包了其中的 35 ，已经包了多少个包子？C. 阳光超市11月的营业额是180万元，12月的营业额比11月增长了 35，阳光超市12月的营业额是多少万元？C 解析： C【解析】【解答】解：A 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1-35）；B 项中的问题作答时，正确的列式是180×35；C 项中的问题作答时，正确的列式是180×（1+35）。
故答案为：C 。
【分析】A 项中，题中存在的等量关系是：六年级同学采集昆虫标本的件数=六年级同学采集植物标本的件数×（1-采集的昆虫标本比植物标本少几分之几）；B 项中，题中存在的等量关系是：李厨师准备包包子的个数×已经包了其中的几分之几=已经包了的个数；C 项中，题中存在的等量关系是：阳光超市12月的营业额=阳光超市11月的营业额×（1+12月的营业额比11月增长几分之几）。
据此列式作答即可。
2．哪幅图表示 25× 34 的积？A. B. C.B解析： B【解析】【解答】解：A ：表示35×34的积；B ：表示25×34的积； C ：表示12×35的积。
故答案为：B 。
【分析】先用浅色阴影表示整个图形的25 ， 然后把浅色阴影部分平均分成4份，把其中的3份涂成重色，这样就能表示出25×34的积。
3．小明看一本140页的故事书，第一天看了全书的 17，第二天应从（ ）页看起．A. 20B. 21C. 120B 解析： B【解析】【解答】140×17+1=21（页）故答案为：B 。
【分析】先用乘法求出第一天看了多少页，然后用它加上1即可解答。
第01讲整数和整除(核心考点讲与练)-【暑假预习】2022年暑假新六年级数学核心考点讲与练(沪教版)
第01讲整数和整除（核心考点讲与练）【基础知识】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a.整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除. *能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.【考点剖析】考点1：整数和整除的意义例题1（浦东南片十六校2020期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A. 5和20；B. 7和2；C. 34和17；D. 1.2和3.【答案】C ；【解析】解：A 、20能被5整除，故A 不符合题意；B 、没有整除关系，故B 不符合题意；C 、34能被17整除，故C 符合题意；D 、1.2不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.例题2（2019上南中学10月考2）在数18，-24，0，2.5，34，2005，3.14，-10中，整数有（ ） A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个.【答案】D ；【解析】解：在上述数中，其中整数有18，-24，0，2005，-10共5个，故答案选D.考点2：整除的意义例题3．老师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．”你认为对吗？【难度】★【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．例题4.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（ ）15和30（ ） 0．4和4（ ） 14和6（ ）17和35（ ） 9和0．5（ ） 【难度】★【答案】横向：√×××××【解析】整除的意义：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能 被b 整除；或者说b 能整除a ．只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．考点3：因数与倍数例题5（2019晋元附校测试2）14的因数有__________.【答案】1、2、7、14；【解析】解：14的因数有1、2、7、14.例题6（2019浦东上南东10月考17）如果用[]a 表示a 的全部因数的和，如[]1263216=+++=，那么[][]=-818________【答案】24；【解析】解：因为[]a 表示a 的全部因数的和，故[18]=1+2+3+6+9+18=39，[8]=1+2+4+8=15，所以[18]-[8]=39-15=24.考点4：能被2，5、3整除的数例题5（奉贤2019期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是 .【答案】90；【解析】解：正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是90.例题6（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n 个图案中白色瓷砖数 为 块.【答案】32n +;【解析】解：第1个图案中白色瓷砖数为3+2块，第2个图案中白色瓷砖数为32+2⨯块，第3个图案中白色瓷砖数为33+2⨯块，…，第n 个图案中 白色瓷砖数为3n+2块.例题7.要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________；要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【难度】★【答案】1、4、7；4． 【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．例题8.一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【难度】★★【答案】16．【解析】7B 能被2整除，则B 为0、2、4、6、8；497A B 能被3整除，则B A ++20能被3整除．当B =0时，A 可为1、4、7；当B =2时，A 可为2、5、8；当B =4时，A 可为0、3、6、9；当B =6时，A 可为1、4、7；当B =8时，A 可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．【总结】先一一列举符合7B 能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．例题9.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】4．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、 280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、 480、 840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．【过关检测】一、选择题1.（2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）A ．14和7； B.2.5和5； C.9和18； D.0.4和8.【答案】C;【解析】解：A 、14能被7整除，不符合题意；B 、2.5不是整数，不符合题意；C 、9能整除18，符合题意，故C 正确；D 、0.4不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.2.（2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（ ）A.1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C.1是奇数；D.1能整除任何一个正整数.【答案】A ；【解析】解：A 、最小的自然数为0，故A 错误；B 、1既不是素数，也不是合数，故B 正确；C 、1是奇数，故C 正确；D 、1能整除任何一个正整数，故D 正确；因此答案选A.3.（浦东南片2019期中2）36的全部因数的个数有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D ；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共9个；因此答案选D.4.（2019浦东四署10月考1）在下列算式中，被除数能被除数整除的是（ ）A. 254÷；B. 0.60.3÷；C. 33÷；D. 48÷.【答案】C ；【解析】解：A 、25不能被4整除，故A 错误；B 、0.6与0.3不是整数，故B 错误；C 、3能被3整除，故C 正确；D 、4不能被8整除，故D 错误；因此答案选C.5.（2019上南中学10月考3）下列说法正确的是（ ）A.任何整数的因数至少有2个；B.一个数的因数都比这个数的倍数小；C.连续两个自然数相加的和一定是奇数；D.8是因数，12是倍数.【答案】C ；【解析】解：A 、1只有一个因数，故A 错误；B 、一个数的最大因数与这个数的最小倍数相等，故B 错误；C、连续两个自然数相加的和一定是奇数，故C正确；D、因数与倍数是指两个数之间的关系，如：8是16的一个因数，16是4的倍数等；故D错误；因此答案选C.6.（2019浦东四署10月考3）下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（）A.10和35；B.42和24；C. 15和16；D.22和20.【答案】B；【解析】解：能同时被2和3整除的数一定能被6整除，故42和24都能被6整除，故答案选B.7.（2019建平西校10月考1）下列算式中被除数能被除数整除的是（）A. 15÷4B. 5÷2.5;C.10÷3;D. 8÷4.【答案】D；【解析】解：A、15不能被4整除，故A错误；B、2.5是小数，故B错误；C、10不能被3整除，故C错误；D、8能被4整除，故D正确；因此答案选D.8.（华师大附中2019期中1）如果M能被15整除，那么M是（）A、15B、30C、15的倍数D、15的因数【答案】C；【解析】解：如果M能被15整除，则M是15的倍数，因此答案选C.9.（2019进才北12月考1）下列说法正确的是（）A. 一个整数不是正整数就是负整数B. 一个正整数不是素数就是合数C. 一个正整数不是奇数就是偶数D. 一个正整数的最大因数不是它的最小倍数.【答案】C；【解析】解：A、整数包括正整数、负整数和零，故A错误；B、正整数包括素数、合数与1，故B错误；C、正整数包括奇数和偶数，故C正确；D、一个正整数的最大因数是它的最小倍数，故D错误；因此答案选C.10.（2019闵行实验西校10月考5）下列语句错误的是（）①2.5能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B,B>1,则B一定是A的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.【答案】B；【解析】解：2.5不是整数，故①错误；因为4÷2=2，所以4是2的倍数，2是4的因数，故②错误；A=2×3×5×B,B>1,则B一定是A的因素，但不一定是A的素因数，故③正确；两个整数的公倍数一定能被这两个数整除，故④正确；因此错误语句有两个，答案选B.11.（2019徐教院附中10月考3）在下列说法中，正确的是（）A.合数都是偶数B. 2的倍数都是合数C. 2的倍数都是偶数D. 5的倍数都是奇数【答案】C；【解析】解：A、合数不一定是偶数，如15是合数但不是偶数，故A错误；B、2的倍数不一定是合数，如2不是合数，故B错误；C、2的倍数是偶数，故C正确；D、5的倍数不一定是奇数，如5的偶数倍是偶数，故D错误；因此答案选C.12.（2019晋元附校测试15）用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是（）A. 2B. 4C. 14D. 28【答案】D；【解析】解：用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是28，故答案选D.二、填空题13.(2019南模初中10月考1) 最小的自然数是 .【答案】0；【解析】解：最小的自然数为0.14.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6，填“能”或“不能”)说3能整除4.8【答案】不能；【解析】解：因为4.8，1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.15.（2019晋元附校测试10）有一个数，它既是a的倍数，又是a的因数，这个数是__________.【答案】a；【解析】解：既是a的倍数，又是a的因数，则这个数就是它本身a.16.（2019松江九亭10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位__________.【答案】10；【解析】解：既能被2整除又能被5整除的数，个位数为0，因此最小的两位数为10.17. （华理附中2019期中8）在75,50,42,40,66中，既是2的倍数又能被5整除的数有 . 【答案】50、40；【解析】解：既是2的倍数又能被5整除的数，个位数为0，因此在上述数中有：50、40.18.（2019中国中学10月考6）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是。
市北资优六年级分册 第01章 1.4 公因数与最大公因数+林经武
1.4 公因数与最大公因数思考植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等，请问，这56名同学最多能分成几组？分析分成的组数能整除24和32也就是24和32的因数．24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因数有：1，2，4，8，16，32；24和32公有的因数有：1，2，4，8；其中最大的一个公有的因数为8．因此老师最多可以把这些学生分成8组．每组中分别有3名女生和4名男生．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．如果a1，a2，…，a n和d都是正整数，且d|a1，d|a2，…，d|a n，那么d叫做a1，a2，…，a n的公因数．公因数中最大的叫做a1，a2，…，a n的最大公因数，记作（a1，a2，…，a n）．如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公因数，但4是这些公因数中最大的，所以4是它们的最大公因数，记作(4，8，12)＝4．最大公因数等于公因数的最低次幂的积．例1求8，9和30的最大公因数．解：8的因数有：1，2，4，8；9的因数有：1，3，9；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．因此，8，9和30的最大公因数是1．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．例1中的8和9就是互素．例2求18和30的最大公因数．解：把18和30分别分解素因数．18＝2×3×3，30＝2×3×5．可以看出：18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数．归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们的所有共有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．利用短除法也可以求最大公因数．例3三角形三边的长a、b、c都是整数，且[a，b，c]＝60，(a，b)＝4，(b，c)＝3（注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，(a，b)表示a、b的最大公约数），求a＋b＋c的最小值．分析：求出a、b、c可能的取值是解决这道题的关键，因为b只可能取12或24，又因为要求的是a＋b ＋c的最小值，所以，可以确定b＝12，而且在满足任意两数之和大于第三个数的条件下，a和c的值越小越好，先定a＝4，c＝15，符合题意，从而可以求得答案．解：因为(a，b)＝4，(b，c)＝3，则b最小为4×3＝12，a最小为4，又[a，b，c]＝60，则c最小为3×5＝15，a＋b＋c的最小值为31．练习1.41．2520的因数有多少个？2．求24，44，60的最大公因数．3．分数1111115015是不是最简分数？4．一块长方形木料，长72 cm，宽60 cm，高36 cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩．算一算可以锯成几块？5．有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？练习1.4练习答案1．48个．提示：2520＝23×32×5×7，因数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝48（个）．2．4．3．是．4．90块．提示：(72，60，36)＝12，因此正方体的长、宽、高均为12 cm，共90块．5．各装11袋，一级每袋15克，二级每袋18克，三级每袋22克．1.4《公因数与最大公因数》练习1．填空．12的因数是；18的因数是；12和18的公因数是；12和18的最大公因数是．2．填空．（1）3、4和5的最大公因数是；（2）18、24和36的最大公因数是；（3）6、7和12的最大公因数是；（4）8、9和15的最大公因数是．3．成为互素数的两个数，都是素数．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）4．如果a＝2×2×5，b＝2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）．A．2 B．5 C．10 D．65．求出12、18和24的最大公因数．6．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素．7．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？1.4《公因数与最大公因数》练习答案1．1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18；1，2，3，6；6．2．（1）1；（2）6；（3）1；（4）1．3．不一定．4．C．5．6．6．6，10，15等（答案不唯一）．7．42人．提示：433－13＝420（支），260－8＝252（块），420与252的公因数中符合条件的是42，因此共有42个学生．。
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第一章数的整除
1.1整数和整除
练习1.1
1.在15、17、18、20和30五个数中，能被2整除的数是____________；能被3整除的数是____________；能被5整除的数是____________；能同时被2、3整除的数是____________；能同时被3、5整除的数是___________；能同时被2、5整除的数是_________；能同时被2、3、5整除的数是____________．
13口能被3整除.口处可有多少种不同的填法?
2.在口处填入适当的数字，使四位数6
3.写出全部用2、3、4、5四个数字组成的能被11整除的四位数．
4.一个六位数的各位数字备不相同，最左边的一个数字是3，且此六位数能被11整除，这样的六位数中最小数是_______．
5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是_________．
6.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是___________．
7.在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少?
8.任取一个四位数乘6453，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C是__________．
1.2奇数与偶数
练习1.2
1.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？
2.若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数.
3.有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？
4.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯子的杯口全部向下？为什么？
5.博物馆有并列的5间展室，警卫从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……他每走进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有几间亮着灯？
6.如图是一张8×8的正方形纸片.将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？。