最新华师版八年级数学上第14章《勾股定理》小结与复习ppt公开课优质课件

∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°．
方法总结 勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想 . 勾股定理是 由图形的特征（三角形中有一个角是直角）得到数量之间的关 系（三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2+b2=c2 ） ; 勾股定理的逆定
理由数量之间的关系（a2+b2=c2）得到图形的特征（以a，b，c
第14章 勾股定理
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 为a、b，斜边为c ，那么一定有 a2＋b2＝c2 . 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， .a 2 c a 2 b2 , a c 2 b2 , b c 2 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a、 b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________ a 2 b2 ； a 2 b2 . 当a是斜边时，第三边c＝_________ [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要 分清直角边和斜边．
解：①在 Rt△ABC1 中， 2 2 2 2 2 AC2 1 ＝AB ＋ BC 1＝4 ＋ 3 ＝5 ， ∴AC1 ＝ 25. ②在 Rt△ACC1 中， 2 2 2 2 AC2 1 ＝ AC ＋ CC 1＝6 ＋1 ＝37， ∴AC1 ＝ 37. ③在 Rt△AB1 C1 中， 2 2 2 2 AC2 1 ＝ AB 1＋ B1 C1 ＝5 ＋2 ＝29， ∴AC1 ＝ 29. ∵25＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长是 5.
1 ∴4× 2ab＋(b－a)2＝c2，
∴a2＋b2＝c2.
3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝ c2 ， 那么这个三角形是直角三角形． 利用此定理判定直角三角形的一般步骤： (1)确定最大边； (2)算出最大边的平方与另两边的 平方和 ； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等， 则说明这个三角形是 直角 三角形． 到目前为止判定直角三角形的方法有： (1)说明三角形中有一个角是 直角 ； (2)说明三角形中有两边互相 垂直 ； (3)用勾股定理的逆定理． [注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写 出a2＋b2＝c2之类的错误．
2．勾股定理的验证 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图 形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面 的方法： 如图，以a、b 为直角边(b>a)，以c为斜边作四个全 1 等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 ab . 把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD， 它是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c2 .而四 边形EFGH是一个边长为 b－a 的正方形，它的面积等 于 (b－a)2 . ∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，
针对训练
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三 边长的平方是（ D ） A.25 B.14 C.7 D.7或25
考点二 勾股定理的逆定理与勾股数
例2 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，
c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为
直角三角形．
若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
针对训练
2.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有________ (2)(4) ．
3.下列各组数中，是勾股数的为（ A．1，2，3 B．4，5，6
C
） D．7，8，9
C．3，4，5
考点三 勾股定理的应用
10 3
.
数形结合思想 例6 如图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求四边形ABCD的面积； （2）求∠ABC的度数． 【解析】（1）先求出正方形EFGH的面积，再分别求出四个 小三角形的面积，进而可得出四边形ABCD的面积； （2）先根据勾股定理求出AB、BC的长，再根据勾股定理的 逆定理判断出△ABC的形状，进而可得出∠ABC的度数．
【解析】 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但
此三角形只知一边，可设法找出另两边的关 系，然后用勾股定理求解．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm，
代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，
化简，得36＝64－16x，
【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并
且c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即 可．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2
＝n4＋2n2＋1，从而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是 直角三角形．
方法总结 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角 形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计 算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，
方法总结 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆 柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平” ——把立体图形转
化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再 运用“平面上的两点之间线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视 多种展开情况．
针对训练
4.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长 方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（ D ）
c b2 a 2 42 32 7,
1 b•BD＝ 2
ac，
BD
ac 6 7 3 7 . b 8 4
方法总结 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先 用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简 便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96，
所以卡车可以通过．
答：卡车可以通过，但要小心．
考点四 本章数学思想和解题方法
方程思想
例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC
＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD 的长．
解：（1）∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴S□EFGH=5×5=25， ∴S四边形ABCD=S□EFGH-S△ADE-S△AFB-S△BCG-S△CDH
1 1 1 1 =25- ×2×3- ×2×4- ×1×2- ×3×3 2 2 2 9 2 =25-3-4-12
=12.5； （2）在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=22+42=20， 在Rt△BGC中，BC2=BG2+CG2=12+22=5，∴AB2+BC2=20+5=25. 又∵AC2=52，∴AB2+BC2=AC2.
（1）求四边形ABCD的面积； （2）求∠ABC的度数．
1 1 1 解：（1）S四边形ABCD=6×6- ×2×6− ×2×4− ×1×2− 2 2 2 1 2
பைடு நூலகம்
×2×5−1×2=18；
(2)∵AB2=22+42＝20，BC2=12+22＝5，AC2=32+42＝25，
AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°．
4．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个 正整 数，称为勾股 数，即满足a2＋b2＝c2的三个 正整 数a、b、c，称为勾股数． [注意] 勾股数都是正整数．
5．勾股定理的应用
应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知 直角 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、 面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题；
针对训练
5.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直
径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，
考点讲练
考点一 勾股定理
例1 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、 ∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长． 【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾 股定理先求出第三边再求解．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
1 又∵S△ABC＝2
课堂小结
a2＋b2＝c2
勾股定理 及逆定理
勾股定理的验证 勾股定理 勾股数
勾股定理 的应用
确定几何体上的最短距离 利用勾股定理和逆定理解 决实际问题
课后作业
见本课时练习
A. 29 B. 37 C. 21 D.5
例4 已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙 上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米， 那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ C ） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【解析】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米， ∵在直角△ABC中，AC为直角边， 2 ∴AC= AB2 BC =24米， 已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边， 2 ∴CE= DE 2 CD =15（米）， BE=15-7=8（米）．故选C．
7 所以x＝ ＝1.75， 4
即CD的长为1.75 cm.
方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边 的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定 理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
针对训练
6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12， BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折 叠，使点A落在对角线BD上的点A′ 处，则AE的长为
转化思想 例7 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分
别记为S1、S2，则S1+S2等于 2π
．
2
2 1 AC 1 1 BC 1 2 【解析】∵S1= π = πAC ，S2= π = πBC2 2 2 8 2 2 8 1 1
为三边长的三角形是直角三角形） . 只有把数和形有机地结合
起来，才能更好地理解和应用勾股定理及其逆定理解决问题 .
对于网格中图形的有关计算问题，往往需要通过数形结合，把 不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来计算.
针对训练
7.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C，D都在格
点上．（要求：写出必要的过程）
例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方 体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图14－3所示)，问怎样 走路线最短？最短路线长为多少？ 【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表面
爬行到C1点，有三种方式：①沿
ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿
AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：
∴S1+S2= π（AC2+BC2）=
8
8
πAB2=2π．
方法总结 利用勾股定理求相关图形的面积或它们之间的关系时，通 常将图形的面积关系转化为直角三角形三边的关系或将不规则 图形转化为直角三角形面积的和或差来解决.
针对训练
8.如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=10，分别以 AC、 BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2= 12.5π ．
5．勾股定理的应用
应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知直角三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、
面积的问题；
(2)说明线段的平方关系问题； (3)在 数轴 上作表示 2、3、5 等数的点的问题； (4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间 距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接 或间接运用勾股定理及其逆定理．