江苏省如皋中学2015届高三数学10月阶段练习试题理

江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习高三数学 (理科)（Ⅰ卷）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上．． 1．复数z 1=3+i ，z 2=1-i ,则复数21z z 的虚部为___▲____． 2．“x >1”是“1x<1”的__▲__条件．(如：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)3．已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝ ___▲____．4．函数()f x =的定义域为___▲___．5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为___▲____．6．已知2)tan(-=-απ,则221sin 2cos αα=- ___▲__．7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于___▲____．8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 ▲ ．9．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝ ▲ ．10. 设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为___▲____．11．下列命题：①在ABC ∆中，“o A 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件； ②已知)1,2(),4,3(--==CD AB ，则AB 在CD 上的投影为2-；③已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题； ④“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题； ⑤已知函数2)6sin()(-π+ω=x x f )0(>ω的导函数的最大值为3，则函数)(x f 的图象关于3π=x 对称． 其中真命题的序号为__▲__．12．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点 (－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是____▲____．13．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝ ___▲____．14．设m 为实数，函数m x m x x x f --+=)(2)(2，⎪⎩⎪⎨⎧=0)()(x x f x h 00=≠x x .若)(x h 对于一切[]3,1∈x ，不等式)(x h ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是___▲____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．15．已知命题p ：函数6)34()(23++++=x a ax x x f 在(－ ,+ )上有极值；命题q ：关于x 的方程x 2-3ax +2a 2+1=0的两个相异实根均大于3．若q p ∨是真命题，q p ∧是假命题，求实数a 的取值范围．16．已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ，求θ的值； （2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈22ππθ，－，求函数)(x f 值域；（3）在△ABC 中，AB =1，()1f C ，且△ABC，求sin A +sin B 的值．17．如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知5,3,PA PB PC ===，设,APB APC αβ∠=∠=， ,αβ均为锐角．（1）求β；（2）求AC PC ⋅的值．18．已知关于x 不等式0)1)(1(>+-x ax ．(1)若此不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211x x ，求实数a 的值；(2)若R a ∈，解这个关于x 的不等式．19．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，3BCD π∠=，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且AB部分的价格是CD 部分价格的两倍.设BC x =米,CD y =米. (1)求y 关于x的函数；(2)问怎样设计AB 的长，可使建造这个支架的成本最低？BAC20． 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠.（1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.（Ⅱ卷）1．已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．2．若两条曲线的极坐标方程分别为 = 1与 = 2cos( +3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．3．已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，其中a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）101n n a =∑的值；（2）101n n na =∑的值．4．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（1）求a，b的值；（2）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（3）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．高三数学(理科)质量检测试题（Ⅰ卷）命题人:葛剑锋一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上．．1． 2; 2． 充分不必要; 3． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12; 4． ; 5． 12; 6． 52;7． π4; 8． 0或－14; 9． 6; 10. 17250; 11．③④; 12． [－2，－1];13． 12; 14．2m ≤15．解：（1） [8,7A B =-- ） 4分 （2）{}()(3)0B x x a x a =-++>①当32a =-时，3,2B x x R x ⎧⎫=∈≠-⎨⎬⎩⎭A B ∴⊆恒成立； 7分 ②当32a <-时，{}3--><=a x a x x B 或 ,A B ⊆∴4->a 或83-<--a 解得4a >-或5>a （舍去） 所以-<<-a 42310分③当32a >-时，{}a x a x x B >--<=或3 ,34A B a ⊆∴-->- 或8-<a （舍去）解得312a -<< 13分 综上，当A B ⊆，实数a 的取值范围是(4,1)-． 14分16． （1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x + 3分由()π2cos 16x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． 5分 （2）3263πππ≤+≤-x ，所以值域为(]32,31++- 9分 （3）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．因为△ABC 1πsin ab =，于是ab =① 10分在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=．② 11分由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===， 所以()1sin sin 12A B a b +=+=．-------------------14分 17． 解（1）：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以90ABP ∠= ，所以34cos ,sin 55PB PA αα===． 所以4tan 3α=， cos cos()PB CPB PC αβ∠=-===， sin()αβ-=，所以1tan()7αβ-=，tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-……6分，又(0,)2πβ∈，所以4πβ= -----------------------8分（2）：2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅275549=-=- ．-----------------14分18．解（1）2a =- 注：需验证0a <符合 ………………………………………4分（2）①当0a =时，由()10x -+>，得1x <-；……………………………6分②当0a >时，不等式化为()110x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，解得1x <-或1x a >；………8分③当0a <时，不等式化为()110x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭； 若11a <-，即10a -<<，则11x a <<-；………………………………… 10分 若11a =-，即1a =-，则不等式解集为∅；……………………………… 12分 若11a >-，即1a <-，则11x a-<<．………………………………………14分 P CB综上所述：1a <-时，解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 1a =-时，原不等式解集为∅；10a -<<时，解集为11x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；0a =时，解集为{}1x x <-；0a >时，解集为11x x x a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．……………………………………………16分19．解：(1)由题 BC x =,CD y =.连结BD ，则在CDB ∆中，2221()2cos23y y x xy π-=+-，整理得：214.1x y x -=-( 1.4)x ≥ ----------6分 （注：不注明定义域扣2分）(2)设金属支架CD 每米价格为a 元，金属支架AB 每米价格为2a 元， 则总成本为()()224y a x a a y x ⋅+⋅=+214441x y x x x -+=+- ----------8分 设 2.81,10.4,2t x t =-≥-= ---------10分则34564y x t t+=++ ----------12分 令()3564g t t t=++，在[)+∞,4.0上单调增, 所以当4.0=t 时,即 1.4x =时,取得最小值.------14分答：当m AB 8.2=时，建造这个支架的成本最低.-------16分20． 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln xxf x a a x a x a a '=+-=+-…………………3分由于10<<a 或1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ………………………………………5分 （Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，BACD 地面故()0f x '=有唯一解0x =…………………………………………7分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………11分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[x ∈-时，m a x m |(())(())f x f x f x f -=-≥-…12分 由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， 所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <- (14)分①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤， 综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦……………………………16分（Ⅱ卷）1．解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A，…………………………………………………5分 =AX B ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B …………………………10分2． 解：首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2– x + 3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2= 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32) 所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2= 3 -----------------------10分3． 解：（1）在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ 中，令1x =-，得01a =；……………………………………………………………………2分令0x =，得5012910232a a a a a +++++== ．所以101210131n n a a a a ==+++=∑ ． (5)分（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ 两边对x 求导，得2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++ ．……… 7分在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++ 中，令x =0，整理，得105129101291052160n n na a a a a ==++++=⋅=∑ ． (10)分4． 解：（1）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人．则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 3分（2）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 6分 （3）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人． 所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯339548195+⨯2+⨯1495764955==．…………… 10分。