二次函数y=ax2的图像和性质

教案
教学内容
二次函数y=ax²的图象和性质
一、学习目标：
1．会用描点法画出二次函数y=ax2的图象；
2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质；
3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；
4.领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力．
二、知识回顾：
1．画函数图象的一般步骤：
（1）列表；（2）描点；（3）连线．
2．什么是一次函数？怎么画一次函数y=-x+2的图象？
形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数.
（1）列表：
（2）描点；
（3）连线．
3．什么叫二次函数？
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
想一想：怎么画二次函数的图象？二次函数有哪些性质？
三、知识梳理：
1.二次函数y=ax2的图象的画法
画二次函数y=ax2的图象，一般用描点法，具体步骤如下：
（1）列表：以坐标原点（0,0）为中心，在其左右两边均匀地选取一些便于计算的x值，并计算出对应的y的值，列出表格；
（2）描点：把每对x与y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；
（3）连线：按自变量的取值由小到大（或由大到小）的顺序，用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的大致图像。

【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y= -2x2，y=x2，y=2x2的图象。

2.二次函数y=ax²的图象和性质：
二次函数y=ax²的图象是一条关于y轴对称的抛物线．
其图象与性质如下图所示：
a的符号a>0 a<0 图象
开口方向
开口向上开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
顶点坐标（0,0）
顶点是最低点顶点是最高点
对称轴y轴
增减性
x>0时，y随x的增大而增大；
x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大
最值x =0时，y有最小值0 x =0时，y有最大值0
【例2】函数y=（k+1）x2（k+1≠0）的图象的顶点是，对称轴是，当k 时，图象的开口向上，这时函数有最值；当k ，时，图象的开口向下，这时函数有最值。

四、典例探究
基础经典精析
1．考查抛物线y=ax²开口方向、对称轴和顶点坐标
【例1】不画图象，说出抛物线y=﹣3
4
x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高（低）点坐标．
变式1．在同一坐标系中，作函数y=3x 2，y=﹣3x 2，y=13
x 2的图象，它们的共同特点是（ ）
A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上
B ．都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点
C ．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下
2．考查抛物线y=ax ²开口大小
【例2】下列抛物线中，开口向下且最大的是( )
A. B. C. D. 总结：几个不同的二次函数，比较其图象开口大小，只需比较各自二次项系数的绝对值即可. 即：a 的绝对值越小，开口越大；a 的绝对值越大，开口越小．
变式2．如图，四个二次函数的图象中,分别对应的是:(1)y=ax 2;(2)y=bx 2;(3)y=cx 2;(4)y=dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
3．比较函数值的大小
【例3】已知点A （-1，y 1），B （-2，y 2），C （-2，y 3）在函数y=4
1x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 。

变式3．已知a ＜-1，点（a-1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 。

4．画二次函数y=ax 2的图象
【例4】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象，并比较这两个图象之间的关系。

（1）y=4x 2；（2）y=-4x 2.
5．利用二次函数y=ax2的图象和性质求字母的值
已知函数是关于x的二次函数.
(1)求m的值.
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?
(3)当m为何值时，该函数有最小值?
(4)试说明函数图象的增减性.
变式：已知关于x的函数.
(1)当m为何值时，它的图象是开口向上的抛物线；
(2)在(1)的条件下，当x取何范围时，y随x的增大而增大；当x取何范围时，y随x的增大而减小；
(3)在(1)的条件下，x为何值时，函数取最小值，最小值是多少？
拔高创新讲练
1、双图象问题
【例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是( )
变式1：函数y=ax2（a≠0）与y=-ax+a（a≠0）的图象可能是（）
2、二次函数y=ax2与一次函数的综合
【例2】如图,已知y=-2x+3的图象与y=x2的图象交于A、B两点且与x轴,y轴分别交于D、C两点,O为坐标轴原点.
(1)求点A、B的坐标；
(2)求S△AOB的值.
变式2：如图，直线AB 过x 轴上的点A （2,0），且与抛物线y=ax 2相交于B 、C 两点,已知点B 的坐标是（1,1）,
(1)求直线AB 和抛物线所表示的函数解析式；
(2)如果抛物线上有一点D ，使得S △OAD =S △OBC ，求这时D 点坐标.
易混易错预警
比较抛物线y=ax 2的开口大小时，弄混规律而出错。

【例】比较抛物线y=4x 2和y=
4
1x 2的开口大小
总结：
中考无缝对接
二次函数y=ax 2的性质
【例】抛物线y=2x 2，y=-2x 2，y=2
1x 2的共同性质是（ ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大
变式：定义：给定关于x 的函数y ，对于该函数图象上任意两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），当x 1＜x 2时，都有y 1＜y 2，称该函数为增函数，根据以上定义，可判断下面所给的函数中，是增函数的有 。

（只填序号） ①y=2x ；②y=-x+1；③y=x 2（x ＞0）；④y= -2
1x 2 五、课后小测
一、选择题
1．函数y=﹣2x 2图象是（ ）
A ．直线
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．不能确定
2．抛物线y=ax 2（a ＜0）的图象一定经过（ ）
A ．第一、二象限
B ．第三、四象限
C ．第一、三象限
D ．第二、四象限
3．在同一坐标系中，抛物线y=4x 2，y=14x 2，y=﹣14
x 2的共同特点是（ ） A ．关于y 轴对称，开口向上 B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大
C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小
D ．关于y 轴对称，顶点是原点
4．已知h 关于t 的函数关系式为h=12
gt 2，（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（ ） A ． B ． C ． D ．
5．二次函数y=x 2的图象的开口方向是（ ）
A ．向上
B ．向下
C ．向左
D ．向右
6．抛物线y=﹣x 2不具有的性质是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴是y 轴
C ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大
D ．最高点是原点
7．抛物线y=2x 2，y=﹣2x 2，212
y x 共有的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴
C．都有最高点D．y随x的增大而增大
8．对于抛物线y=ax2，下列说法中正确的是（）
A．a越大，抛物线开口越大B．a越小，抛物线开口越大
C．|a|越大，抛物线开口越大D．|a|越小，抛物线开口越大
9．二次函数y=2x2图象的顶点坐标是（）
A．（0，0）B．（1，1）C．（1，0）D．（0，1）
10．下列说法错误的是（）
A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
二、填空题
11．如图所示，四个函数图象对应的解析式分别是：①y=ax2，②y=bx2，③y=cx2，④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是．
12．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．
13．抛物线2a a
=开口向下，则a= ．
y ax-
14．抛物线的形状大小、开口方向都与y=﹣12x2相同且顶点为（1，﹣2），则该抛物线的解析式为．三、解答题
15．通过列表描点连线的方法画函数y=﹣x2的图象．
16．函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=2x﹣3交于点（1，b）．（1）求a和b的值．
（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？
（4）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．
17．已知二次函数y=ax2的图象经过点A（1
2，﹣1
8
）、B（3，m）．
（1）求a与m的值；
（2）写出该图象上点B的对称点C的坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小；（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）．
11。