直线、平面平行的判定与性质

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第八章
立体几何初步
解析：选 C.A 错误．直线 l 和平面 α 有两个公共点，则 l⊂α. B 错误．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 异面或平行． C 正确．因为 a 与 β 无公共点，则 a∥β. D 错误．a 与 β 有可能平行．故选 C.
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第八章
立体几何初步
(教材习题改编)设 m，n 表示直线，α、β 表示平面，则下 列命题为真的是( m ∥ α ⇒m∥n A. n∥α α∩β＝m n∥α ⇒m∥n n∥β ) m∥ α ⇒m∥β B． α∥ β α∥ β m∥α⇒m∥n n∥ β
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第八章
立体几何初步
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
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第八章
立体几何初步
解析：连接 BD，设 BD∩AC＝O，连接 EO，在△BDD1 中， O 为 BD 的中点，E 为 DD1 的中点，所以 EO 为△BDD1 的中 位线，则 BD1∥EO，而 BD1⊄平面 ACE，EO⊂平面 ACE，所 以 BD1∥平面 ACE.
答案：平行
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第八章
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立体几何初步
角度三
线面平行性质的应用
如图， 四棱锥 PABCD 的底面是边长 为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17.点 G， E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上 共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD， BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积．
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立体几何初步
【解】 (1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂平面 PBC， 且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH， 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF.
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立体几何初步
(2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK. 因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD.
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(2)连接 FH，OH， 因为 F，H 分别是 PC，CD 的中点， 所以 FH∥PD， 所以 FH∥平面 PAD. 又因为 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，所以 OH∥AD， 所以 OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， 所以平面 OHF∥平面 PAD. 又因为 GH⊂平面 OHF， 所以 GH∥平面 PAD.
行
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立体几何初步
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平 行于这个平面．( × ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面 内的任一条直线．( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两 个平面平行．( × )
解析：选 D.因为 a∥平面 α，直线 a 与平面 α 无公共点，因 此 a 和平面 α 内的任意一条直线都不相交，故选 D.
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第八章
立体几何初步
(教材习题改编)下列命题为真的是(
)
A．若直线 l 与平面 α 有两个公共点，则 l⊄α B．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线 C．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β D．若 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交
立体几何初步
线面、面面平行的相关命题的真假判断
[典例引领] (1)已知 m， n 是两条不同直α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
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立体几何初步
[通关练习] 已知直线 a， b， 平面 α， β， 且 a⊥α， b⊂β， 则“a⊥b”是“α∥β” 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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第八章
立体几何初步
解析：选 B．根据题意，分两步来判断： ①当 α∥β 时， 因为 a⊥α，且 α∥β， 所以 a⊥β， 又因为 b⊂β， 所以 a⊥b，则“a⊥b”是“α∥β”的必要条件，
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第4讲
直线、平面平行的判定与性质
第八章
立体几何初步
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判 定 定 理 图形语言 符号语言 因为 l∥a， a⊂α， l⊄α， 所以 l∥α
这个平面内 平面外一条直线与___________
的一条直线平行，则该直线与此 平面平行(线线平行⇒线面平行)
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文字语言 性 一条直线与一个平面平行，则过 质 这条直线的任一平面与此平面的 定 理
图形语言 符号语言 因为 l∥ α， l⊂β， α∩β＝b， 所以 l∥b
交线 与该直线平行(简记为 _______
“线面平行⇒线线平行”)
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立体几何初步
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两条 判定 定理 图形语言 符号语言 因为 a∥β， b∥β， a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， 所以 α∥β
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【证明】
1 (1)连接 EC，因为 AD∥BC，BC＝ AD， 2
所以 BC∥ ═ AE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形， 所以 O 为 AC 的中点． 又因为 F 是 PC 的中点， 所以 FO∥AP， 因为 FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， 所以 AP∥平面 BEF.
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第八章
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(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线 平行或异面．( √ ) (5)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行，则 a∥α.( × ) (6)若 α∥β，直线 a∥α，则 a∥β.( × )
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第八章
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对于直线 m， n 和平面 α， 若 n⊂α， 则“m∥n”是“m∥α” 的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
A
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角度二
线面平行的证明
如图，四棱锥 PABCD 中，AD 1 ∥BC，AB＝BC＝ AD，E，F，H 分 2 别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点． (1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD.
【答案】 (1)D (2)②
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第八章
立体几何初步
(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关 系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空 题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排 除，再逐步判断其余选项． (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． ②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情 况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
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第八章
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【解析】 (1)A 项， α， β 可能相交， 故错误； B 项， 直线 m， n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则 m∥β，故错误；D 项， 假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 m∥n 与已知 m，n 不平 行矛盾，所以原命题正确，故 D 项正确． (2)①m∥n 或 m，n 异面，故①错误； 易知②正确；③m∥β 或 m⊂β，故③错误；④α∥β 或 α 与 β 相交，故④错误．
由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 1 1 从而 KB＝ DB＝ OB， 4 2 即 K 为 OB 的中点． 1 再由 PO∥GK 得 GK＝ PO， 2 即 G 是 PB 的中点， 1 且 GH＝ BC＝4. 2
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第八章
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由已知可得 OB＝4 2. PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ · GK 2 4＋8 ＝ ×3＝18. 2
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第八章
立体几何初步
(2)设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面， 给出下列四个命题： ①若 m⊂α，n∥α，则 m∥n； ②若 α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ； ③若 α∩β＝n，m∥n，m∥α，则 m∥β； ④若 m∥α，n∥β，m∥n，则 α∥β. 其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．
A．充分不必要条件 C．充要条件
答案：D
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第八章
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(教材习题改编)如果直线 a∥平面 α， 那么直线 a 与平面 α 的位置关系可另等价表述，下列命题中正确的是( A．直线 a 上有无数个点不在平面 α 内 B．直线 a 与平面 α 内的所有直线平行 C．直线 a 与平面 α 内的无数条直线不相交 D．直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都不相交 )
相交直线 _________与另一个平
面平行，则这两个平面 平行(简记为“线面平 行⇒面面平行”)
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第八章
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文字语言 如果两个平行平面同时 性质 定理
图形语言
符号语言 因为 α∥β， α∩γ ＝a， β∩γ ＝b， 所以 a∥b
相交 ， 和第三个平面_______ 交线 平 那么它们的_______
C.
D．
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第八章
立体几何初步
解析：选 C.A 错误，因为 m 可能与 n 相交或异面． B 错误，因为 m 可能在 β 内． D 错误，m、n 可能异面或相交，故选 C.
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第八章
立体几何初步
(教材习题改编)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为______．
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立体几何初步
[通关练习] 如图所示， 已知四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ACEF 是矩形， AB＝2， AF＝1， M 是线段 EF 的中点． (1)求证：MA∥平面 BDE. (2)若平面 ADM∩平面 BDE＝l， 平面 ABM∩平面 BDE＝m， 试分析 l 与 m 的位置关系，并证明你的结论．
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第八章
立体几何初步
[典例引领] 角度一 判断线面的位置关系
(2017· 高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A， B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这 四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
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第八章
立体几何初步
【解析】 对于选项 B， 如图所示， 连接 CD， 因为 AB∥CD， M， Q 分别是所在棱的中点， 所以 MQ∥CD， 所以 AB∥MQ， 又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平面 MNQ. 同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ.故选 A.
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第八章
立体几何初步
②若 a⊥b，不一定 α∥β， 当 α∩β＝b 时， 又由 a⊥α，则 a⊥b，但此时 α∥β 不成立， 即 a⊥b 不是 α∥β 的充分条件， 则“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件，故选 B．
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第八章
立体几何初步
线面平行的判定与性质(高频考点)
平行关系是空间几何中的一种重要关系， 包括线线平行、 线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频 率很高，一般出现在解答题中．主要命题角度有： (1)判断线面的位置关系； (2)线面平行的证明； (3)线面平行性质的应用．
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第八章
立体几何初步
又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH， 所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高．
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第八章
立体几何初步