第二章 2.2 2.2.1 第2课时 对数的运算

log27
=
−
1 2
×
4
−
1 2
log23
+
3 2
+
1 2
log23
=
−2
+
3 2
=
−对数的运算
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(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
2 49 3
(2)2log32-log3
32 9
+
log38
−
5lo
g53.
解:(1)(方法一)原式 = 1 (5lg 2-2lg 7)− 4 × 3 lg 2+ 1 (2lg 7+lg 5)
2
32
2
=
5 2
lg
2-lg
7-2lg
2+lg
7+
1 2
lg
5
= 1 lg 2+ 1 lg 5= 1 (lg 2+lg 5)
=
lo g18 (5×9) lo g18 (2×18)
=
log185 + log189 log182 + log1818
=
1
������ +
+ ������ log18 2
������ + ������
������ + ������ ������ + ������
=
1
+
log18
18 9
=
2-log18 9
+
1 ������
的值;
(2)已知 2x=3y=5z,且 1 + 1 + 1 = 1, 求������, ������, ������.
������ ������ ������
分析:用对数式表示出a,b,x,y,z后代入所求(已知)式子进行求解.
解:(1)法一 由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,
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对数的运算性质
剖析:(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据, 要灵活掌握,达到正用、逆用及变形用.
(2)使用对数运算性质的前提条件是M>0,N>0,a>0,且a≠1,没有上
-2-
第2课时 对数的运算
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1.对数的运算性质
条件 性质
a>0,且 a≠1,M>0,N>0
loga(M·N)=logaM+logaN
log������
M N
21
∴ ������ + ������ = log63 + log62 = log66 = 1.
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logaN=b a——对数的底数 b——以 a 为底 N 的对数 N——真数
loga(M·N)=logaM+logaN log������ M = log������������ − log������������
N
logaMn=nlogaM
-7-
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2.换底公式
logab=
lo g������ ������ lo g������ ������
(������
>
0,
且������≠1;c>0,且
c≠1;b>0).
知识拓展
1.可用换底公式证明以下结论:(1)logab=
1 lo g������ ������
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【变式训练1】 计算下列各式的值:
(1) 1 lg 32 − 4 lg 8 + lg 245;
(2)令2x=3y=5z=k(k>0),
=
2-������ .
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反思1.利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注 意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
=
log������������
−
log������������
logaMn=nlogaM (n∈R)
名师点拨一般情况下,当a>0,且a≠1,M>0,N>0时,loga(M·N)≠
(logaM)(logaN),loga(M+N)≠logaM+logaN,log������
������ ������
≠
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换底公式的应用
【例2】 (1)计算(log23+log43)(log32+log274)的值. (2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示) 分析:(1)用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值.
①log89·log2732;
②(log43+log83)·log32.
(2)已知
log32=a,log37=b,试用
a,b
表示log28
49.
8
解:(1)①原式
=
lg9 lg8
·lg32
lg27
=
2lg3 3lg2
·5lg2
3lg3
=
10.
9
②原式 = lg3 + lg3 ·lg2 = lg3 + lg3 ·lg2 = 1 + 1 = 5.
分析:利用对数的运算性质进行计算.
解:(1)方法一:原式=log2
7×12 48× 42
=
log2
1 = − 1.
2
2
方法二:原式
=
1 2
log2
7 48
+
log2(22
×
3)
−
1 2
log2(2
×
3
×
7)
=
1 2
log27
−
1 2
log2(24
×
3)
+
2
+
log23
−
1 2
−
1 2
log23
−
1 2
2.题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成 一种形式.
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第2课时 对数的运算
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【变式训练2】 (1)计算下列各式的值:
第2课时 对数的运算
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1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值. 2.了解对数的换底公式及其应用. 3.初步掌握对数在生活中的应用.
述条件,公式就不一定成立.如log2[(-2)×(-7)]是存在的,但log2(-2)与 log2(-7)不存在,故log2[(-2)×(-7)]≠log2(-2)+log2(-7).
(3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表(表中 M>0,N>0,a>0,且a≠1).
-6-
第2课时 对数的运算
������
=
−log������
������.
2.对换底公式的理解:
换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
【做一做2】 log29·log278=
.
解析:原式 = lg9 × lg8 = 2lg3 ×3lg2 = 2.
lg2 lg27 lg2 ×3lg3
答案:2
-5-
第2课时 对数的运算
(2)先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再 利用换底公式将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数运算.
-11-
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由换底公式得
1 ������
=
log36 3,
1 ������
=
log36 4,
21
∴ ������ + ������ = 2log363 + log364 = log3636 = 1.
法二 由 3a=4b=36,两边取以 6 为底数的对数,得
alog63=blog64=log636=2,
2
11
∴ ������ = log63, ������ = 2 log64 = log62,
2
2
2
= 1 lg 10= 1.
2
2
(方法二)原式=lg
42 7
−
lg
4+lg
7
5
=lg 4
2×7 7×4
5 = lg(
2×
5) = lg 10 = 1.
2
(2)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2log33)-3
=-1. -10-
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式 子 ab=N
a——幂的底数 名 称 b——幂的指数
N——幂
aman=am+n
运算性质
am an = ������������ − ������
(am)n=amn
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化简、求值 【例1】 计算下列各式的值:
(1)log2
7 48
+
log2
12
−
1 2
log242;
(2)lg
52+
2 3
lg
8
+
lg
5·lg
20+(lg
2)2.
2������ +������
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对数的综合应用
【例 3】
(1)设
3a=4b=36,求
2 ������
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解:(1)原式 =
log23
+
1 2
log2
3
×
log3
2
+
2 3
log32
3
5
5
= 2 log23 × 3 log32 = 2 log23 × log32
5
15
= 2 log23 × log23 = 2.
(2)∵18b=5,∴b=log185.
∴log3645=
lo g18 45 lo g18 36
C.7 D.1
解析:原式=lg(2×5)=lg 10=1.
答案:D
【做一做1-2】 log318-log32的值为( )
A.log316 B.log320
C.log336 D.2
解析:原式=log3
18 2
=
log39
=
2.
答案:D
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第2课时 对数的运算
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;
(2)log������ ������·logbc·logca=1;(3)log������������ ������������ = log������ ������; (4)log������������ ������������ =
������ ������
log������
������;
(5)log 1 ������
lg4 lg8 lg3
2lg2 3lg2 lg3 2 3 6
(2)∵log32=a,log37=b,
∴log28
49 8
=
lo
g
3
49 8
lo g328
=
lo g349-lo g38 lo g34+lo g37
=
2lo g37-3lo g32 2lo g32+lo g37
=
2������ -3������ .
=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)
=2+lg 5+lg 2=2+1=3. 反思对于同底的对数的化简,常用方法是: (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差); (3)“收”和“拆”相结合,如本例(2).
lo g������ ������.
lo g������ ������
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【做一做1-1】 lg 2+lg 5的值为( )