平面度误差的测量及数据处理

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题目:平面度误差的测量及数据处理学生：
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摘要
平面度误差是将被测实际外表与理想平面进展比拟，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际外表上假设干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。

本文就平面度误差的数学模型与按最小二乘法建立理想平面〔评定基准〕的数学模型展开分析讨论；并结合案列分析，得出比拟客观地评定平面度误差或者测量较大平面的平面度误差，最小二乘法是最正确方法[1]
关键词：最小二乘法；平面度误差；最正确方法
Abstract
Flatness error is measured by actual surface with an ideal plane are pared, the line between the two values of distance, which is the flatness error values, or by measuring the actual surface on several points of relative height difference, conversion to line value representation of flatness error value .This paper studies the mathenatical model of flatness error and ideal plane made by least square method .With illust ration of practical cases, the author reaches the conclusion that least sauare method is the best one in judging and measuring larger plane’s flatness error.
Keywords: Leastaquare method ; Flatness error；Best method
目录
第一章平面度的测量方法1
1.1引言1
1.2平面度误差的测量1
第二章平面度的评定3
2．1最小区域法3
2.2最小二乘法测量平面度误差的原理4
2.2．1建立被测实际外表的数学模型4
第三章用MATLA实现的过程6
3.1软件编程6
3.2平面度误差的最小二乘法评定及其评定结果的不确定度10
3.3小结13
第一章平面度的测量方法
1.1 引言
平面度误差是指被测实际外表对其理想平面的变动量。

理想平面是评定平面度误差的评定基准，而评定基准的方位不同求得的平面度误差值也不同。

假设用水平仪、自准直仪按节距法测量实际外表上各点相对于测量基准的平面度误差时，确定评定基准的方法可用：简便法、最小二乘法、和最小包容区域法[2]。

本文着重分析介绍最小二乘法来确定评定基准，从而求得平面度误差值。

最小二乘法能准确而充分地利用全部的原始观测数据提供的信息，比拟客观地评定出不需要经过屡次试算的平面度误差，而且可直接运用于电子计算机运算，列入MATLAB软件，是的平面度误差的计算到达迅速、准确、可靠[7]。

1.2 平面度误差的测量
平面度误差的测量方法很多，常用的有如下所列的方法：
①光隙法：将被测直线和测量基线间形成的光隙，与标准光隙比拟，测量不同方向的假设干个截面上的直线度误差，取其中最大值，作为平面度误差近似值的方法。

该方法适用于磨削或研磨加工的小平面的平面度误差测量。

②指示器法：将被测零件支撑在平板上，平板工作面为测量基准，按一定的方式布点，如图3所示，用指示器对被测面上各点进展测量并记录所测数据，然后，按一定的方法评定其误差值。

该方法适用于中、小平面的平面度误差测量。

③光轴法：以几何光轴建立测量基面，测出被测面相对测量基面的偏离量，进而评定平面度误差值的方法，该方法适用于一般精度大平面的平面度误差测量。

④干预法：利用光波干预原理，根据干预条纹形状、条数，来确定平面度误差值的方法，该方法适用于精研外表的平面度误差测量。

⑤三坐标测量机：三坐标测量机是综合利用精细机械、微电子、光栅和激光干
涉仪等先进技术的测量仪器，其原理是在三个相互垂直的方向上，有导向机构、测长元件、数显装置，有一个能够放置工件的工作台，测头可以以手动或机动方式，轻快地移动到被测点上，由读数设备和数显装置，把被测点的坐标值显示出来的一种测量设备[4]。

除上面介绍的几种方法外，还有液面法、自准直仪法等，工贸职业中专学校实验室在教学中，常采用光学合像水平仪测定平板的平面度误差。

第二章平面度的评定
平面度误差是被测实际外表相对理想平面的变动量。

根据GB／T1 1337-2004{平面度误差检测?对形状误差的定义，理想平面的位置应符合最小条件，平面度误差大小，等于包容实际外表且距离为两平行平面之间的宽度。

平面度误差的评定方法有：最小包容区域法，对角线法，三远点法和最小二乘法[5]。

2.1 最小区域法
它是两平行包容平面与实际被测要素的接触状态符合平面度误差判别法中某一准那么时，此时两平行平面之问的距离，为平面度误差。

用最小条件评定平面度误差有3种判断准那么：三角形准那么，穿插准那么，直线准那么。

平面度误差的最小区域判别方法是：由两个平行平面包容被测实际外表时，至少有3点或4点相接触，接触点的上下分布，有以下3种形式之一者，即符合最小区域。

①三角形准那么：如果被测实际外表上有3个最高(低)点及一个最低(高)点分别与两个包容平面相接触，并且最高(低)点能投影到3个最低(高)点之间，形成最小包容，称为三角形准那么。

②穿插准那么：两个高点与两个低点某些实际外表具有鞍形的形状特征，其与上下包容面各有两个接触点，假设两高点的投影位于两低点连线之两侧，形成最小包容，称为穿插准那么。

③直线准那么：如果被测外表上的同一截面有两个最高(低)点与一个低(高)点分别和两个平行的包容面相接触，并且有一个最低(高)点的投影要落在两高(或两低)点连线之上，此时也形成最小包容，称为直线准那么。

④对角线法：评定基准平面是通过实际平面的一条对角线和平行于另一条对角线的平面，各测点对此平面的偏差中最大正值与最大负值的绝对值之和为被测实际平面的平面度误差值。

⑤三点法：评定基准平面是通过被测实际平面上相距较远且不在一条直线上的三点建立的平面。

偏离此平面的最大值和最小值的绝对值之和为平面度误差
这三种方法虽然都是针对同一被测平面，但由于评定基准平面选取不同，得到的误差值也不同[6]。

2.2 最小二乘法测量平面度误差的原理
最小二乘平面是个理想的平面，它使从实际被测轮廓上各点到该平面的距离的平方和为最小。

因此，最小二乘法的目标函数，即各测点到最小二乘基准平面的距离的平方和
F 〔A,B,C 〕=∑=n
i ij
d
12〔2-1〕
其满足最小化时，F 〔A,B,C 〕的〔A,B,C 〕即最小二乘基准平面的法向量，
=f min
max
ij
ij
d d - (2-2)
即为最小二乘法平面度误差值[3]。

2.2.1 建立被测实际外表的数学模型
平面度误差是指被测实际外表不平的程度，而平面在空间直角坐标系中，它的一般方程为;AX+BY+CZ+D=0; 假设测得的点的坐标是〔i i i z y x ,,〕〔i =1,2，…,n 〕,其中A,B,C 为待定参数。

根据最小二乘法原理得到最小二乘平面的待定系数A,B,C 为
A=2
2
2
/∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i
i
i i
i i
i
i
i
i i
i
i i
i i i
i i
i
i
y
y x y y x x x y
x n y z y y
y x z x x y z n
〔2-3〕
B=2
2
2/∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i
i
i i
i i
i
i
i
i i
i i
i i
i
i i
i
i
i i y
y x y y
x x x y
x n z y y x y z x x x y x z 〔2-4)
C=22
22
/∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i
i
i i
i i i
i
i
i i
i
i i
i i i i
i
i i
i i
y
y x y y
x x x y x n y y x z y y x x z x y x z (2-5)
由于现在知道A,B,C 的系数，即确定了最小二乘平面。

接下来就是就能知道改平面的上方的点和下方的点到该平面的距离，由于在该平面上下方都有点，所以点的本身就带有矢量性。

点到平面的距离公式为
)
1(y 2
2
B A
C B Ax z d i i i i ++---=
〔2-6〕
根据最小二乘法的原理有：
min 2
=∑n
i
i
d
〔2-7〕
由于观测到的数据位于最小二乘平面〔基准平面〕的上下两侧，所以有点到平面的距离有最大值和最小值的两个点！即平面度为
=f min
max
ij
ij
d d -〔2-8〕
第三章用MATLA实现的过程
3.1 软件编程
本文是通过MATLAB软件求得最小二乘平面〔基准平面〕的系数A,B,C，将最小二乘平面〔基准平面〕拟合在三维坐标中和求出基准平面的平面度误差。

根据观测到的数据如下：
x〔mm〕 y〔mm〕z〔mm〕
1 10.13
2 43.982 -0.003
2 19.641 44.092 -0.001
3 30.44
4 44.217 -0.002
4 30.618 29.359 -0.002
5 17.741 29.210 -0.001
6 5.450 29.068 -0.007
7 4.912 46.453 -0.012
8 15.887 46.580 -0.004
9 29.745 46.740 -0.002
10 30.104 15.746 0.003
11 18.721 15.614 -0.004
12 5.738 15.464 -0.010
13 17.630 47.032 -0.010
14 29.966 47.174 -0.007
15 5.989 44.945 -0.011
16 16.808 45.071 -0.005
17 28.761 45.209 -0.002
18 28.901 33.125 0.000
19 17.108 32.988 -0.007
20 3.975 32.836 -0.008
21 4.188 14.508 -0.008
22 17.690 14.664 0.003
23 30.909 14.817 0.004
24 30.140 32.118 -0.003
25 18.378 31.981 -0.007
26 4.371 31.820 -0.004
27 18.421 31.982 -0.008
28 30.889 32.127 -0.004
29 31.111 13.176 0.001
现在将MATLAB 代码输入软件中：function testlsqnonlin111 clc; clear all; close all; % 读入数据
data = xlsread('数据.xls'); % 3列对应x,y,z xdata = data(:,2); ydata = data(:,3); zdata = data(:,4);
% 画出原始数据点，红色 figure;
plot3(xdata,ydata,zdata,'r*');hold on; % 初始值 a b c 都为0 x0 = [0 0 0]';
% 调用最小二乘法非线性拟合函数
30 17.422 13.018 -0.005
注解：将数据放入到excel 表格中如以下图所示
注解：将保存好的数据文件与MATLAB 的代码文件放到同一个文件夹下。

然后就可以启动MATLAB 软件翻开代码文件运行一下，就可以出来结果图啦。

祝你好运！
x =lsqnonlin((x) myfun(x,xdata,ydata,zdata),x0)
% 求平面度误差
% 平面方程的系数
a = x(1);
b = x(2);
c = x(3);
% 根据公式求di
di = (zdata - a*xdata - b*ydata - c)/sqrt(a^2+b^2+1);
dmax = max(di);
dmin = min(di);
f = dmax - dmin % 就是要求的平面度误差
% 画拟合的平面
xx = linspace(min(xdata),max(xdata),200);
yy = linspace(min(ydata),max(ydata),200);
[X,Y] = meshgrid(xx,yy);
Z = a*X+b*Y+c;
surf(X,Y,Z);colormap;holdon;grid on;
% 按照这个函数去拟合，使得式(2)成立
function F = myfun(x,xdata,ydata,zdata)
F = (zdata - x(1)*xdata - x(2)*ydata - x(3))/sqrt(1 + x(1)^2+x(2)^2); 得到结果为：
图1 最小二乘平面系数与平面度误差
图2 MATLAB 最小二乘法平面方程三维图
3.2 平面度误差的最小二乘法评定及其评定结果的不确定度
测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。

这种测量不确定度的定义说明，一个完整的测量结果应该包含被测量值的估计与分散性参数两局部
[9]。

根据测量不确定度定义，在测量实践中如何对测量不确定度进展合理的评定，这
是必须解决的根本问题。

对于一个实际测量过程，影响测量结果的精度有多方面的因素，因此测量不确定一般包含假设干个分量，各确定度分量不管性质如何，皆可用两类方法进展评定，即A 类评定与B 类评定。

其中一些分量由一系列观测数据的统计分析来评定，称为A 类评定；另一些分量不是用一系列观测数据的统计分析法，而是基于经历或其他信息所认定的概率分布来评定，称为B 类评定。

所有的不确定度分量均用标准差表征，它们或是由随机误差而引起的，或是由系统误差而引起的，都对测量结果的分散性产生相应的影响[10]。

现在将平面方程的系数A,B,C 的表达式分别展开
令V=∑∑∑∑∑∑∑∑2
2
i
i
i i
i i
i
i
i
i y
y x y
y x x x y
z n
〔3-1〕
P=，q=，，
整理后得到
〔3-2〕
设按最小二乘法评定公式得到最大偏离值点和最小偏离值的坐标分别为,带入公式
=f min
max
ij
ij
d d -
得到
令 ,
,
再令
得
到
展开
转化为矩阵形式，令
得到
因被测点的X,Y坐标值在平面度的非敏感方向上，其不确定度可以忽略，因此上式为坐标值Z的线性函数，假设被测点的测量结果间互相独立，且具有一样的标准差，即有一样的不确定度那么可以用不确定度的公式，得到用最小二乘法评定的平面度的不确定度为
假设各点被测点直接测量结果间有关，且各自确实定度不同，那么要计入协方差的影响，为将表达式简化起见，将矩阵增广，即当时，令,当时，，这时候最小二乘法评定的平面度误差的不确定度为
由于测量了30组数据，所以n=30。

由excel表格就可求出，所以P=571.190、q=965.116 u=13762.216 w=35543.224 t=18360.108 v=3.86x。

由于最小二乘平面的方程系数已经算出来，即A=0.0003，B=-0.0001，C=-0.0058,,在利用点到excel计算出最小二乘平面的距离
)
1(y 2
2
B A
C B Ax z d i i i i ++---=
〔3-3〕
所以能够得到偏离最小二乘平面的最大值和最小值所对应的坐标〔17.690,14.664,0.003〕此为最大值，〔29.966,47.174，-0.007〕为最小值，将数据带入到公式中得到的结果不确定度为。

3.3 小结：
最小二乘法评定平面度误差从数理统计分析观点来看，能够准确地和充分地处理原始观测数据所提供的信息，比拟客观地评定平面度误差，有利于采用电子计算机进展运算，尤其适用于测量较大平面的平面度误差，测量较大平面时，因其布点较多，假设不用最小二乘法，那么往往需要经过许屡次试算，使得计算变得繁琐。

而采用最小二乘法只需简单的四那么运算，不仅较易掌握，且快迅速准确地求得其平面度误差。

参考文献
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