实变函数复习要点

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《实变函数论》总复习
可测集与开集、闭集只相差一小测度集； 可测集可由 G 型集去掉一零集，或 F 型集添上一零集得 到． 三、重点 外测度和可测集的定义；可测集的基本性质（定义 2.1.2） ；可测集的极限性质（定理 2.1.5；定理 2.1.6） ．
第三章
可测函数
一、考核知识点 1. 可测函数的定义及其等价定义、 可测函数的性质和可测函 数与简单函数的关系； 2. 叶果洛夫定理； 3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理； 4. 鲁津定理． 二、考核要求 1. 可测函数及其性质 （1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义； （2）综合应用：可测函数的性质． 零集上的任何函数都是可测函数； 简单函数是可测函数； 可测集 E 上的连续函数 f(x)必为可测函数； 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，
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析)就是建立在勒贝格积分的基础上的． 由于有了具有可列可 加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积 分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要 收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、依测度收敛、积分 平均收敛等．依测度收敛在概率论中就是依概率收敛，且具 有特别重要的地位．积分平均收敛在一般分析学科中也是常 用的重要收敛．傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就 是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念． 《实变函数论》的三大定理 1、Lebesgue 控制收敛定理； 2、Levi 控制收敛定理； 3、Fatuo 引理． 这三个定理是‘实变函数’的核心成果，集中地体现了 Lebesgue 积分相对于 Reimann 积分的优越性， 因而这三个定 理是‘实变函数’中最重要的定理，三大定理之说法当之无 愧． 《实变函数论》的三大原理 1. Every measurable set is nearly a finite sum of intervals; 2. every function (of class Lp) is nearly continuous; 3. every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent.
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Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation onl有理数集，则 m B 0 ． （2）了解：外测度的性质． 非负性： m A 0 ； 单调性： 若A B，则m A m B ； 次可数可加性： m ( An ) m* An ．
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例如 A 为闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列收敛于 A 中 的点（即闭集为对极限运算封闭的点集） ． （3）了解：Bolzano-Weierstrass 定理、Borel 有限覆盖定理． 4. 直线上的开集的构造 （1）了解：直线上的开集的构造及构成区间的概念； 例 设 G1 (0,2) ,
n1
An [1,0] ， An (2,1) ．
n1


3. 对等与基数 （1）了解：集合的对等与基数的概念； （2）综合应用：集合的对等的证明． 例 利用定义直接构造两集合间的 1-1 对应． 4. 可数集合 （1）了解：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合 类； （2）综合应用：可数集合的性质． 5. 不可数集合 了解：不可数集合的概念、例子． 三、重点
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1944年，著名数学家 J. E. Littlewood（1885—1977）曾 经写过一本叫《函数论讲义》的书．书中有这样一段话： “知 识的范围不像有时设想的那样大．有三条原理大致可以表达 为：每个可测集几乎是有限个区间的并；每个可测函数几乎 是连续的； 每个可测函数的收敛序列几乎是一致收敛的． 这 三个原理依次对应着三个定理： “可测集的构造定理” （定理 2.2.5、定理2.2.6） 、 “Lusin 定理” （定理3.3.1）和“ Egorov 定理”（定理3.2.1） ．
F
型集（可数个闭集的并） 、Borel 型集（从开集出发通过取
余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集． 例 例 零测度集：单点集、有理数集、Cantor 集； 零测度集与可数集的关系；
例 “开集类” ， “Borel 集类” ， “可测集类” ， “ G 型集类” 之 间的关系． （2）了解：可测集的构成．
复习要点
第一章 集合 第一部分 集合 一、考核知识点 1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算； 2. 对等和基数及其性质； 3. 可数集合的概念及其性质； 4. 不可数集合的概念及例子． 二、考核要求 1. 集合的概念 了解：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关 系． 2. 集合的运算
* n1 n 1
2. 可测集 （1）了解：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件） ； （2）分析：可测集的性质． 可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数 并，以及极限运算封闭． 3. 可测集类 （1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性； Borel 集及其可测性； G 型集、 F 型集． 零集、区间、开集、闭集、G 型集（可数个开集的交） 、
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即： 设 f(x)=g(x) a.e.于 E， f(x)在 E 上可测，则 g(x)在 E 上 也可测； 可测函数关于子集、并集的性质； 可测函数类关于四则运算封闭； 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭． 2. 叶果洛夫定理 了解：叶果洛夫定理．测度有限的集合上的可测函数列 的收敛 “基本上”是一致收敛． 3. 依测度收敛 （1）了解：依测度收敛的定义、性质． （2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理． 处处收敛和依测度收敛的关系； 一致收敛和依测度收敛的关系．
第二部分点集 一、考核知识点 1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概 念以及邻域的性质； 2. 聚点、内点、开核、边界、导集和闭包及其性质； 3. 开集、闭集及其性质； 4. 直线上的开集的构造，构成区间． 二、考核要求 1. n 维欧氏空间 了解：邻域的概念、有界点集概念． 2. 聚点、内点 了解：聚点、内点、外点、孤立点、开核、边界、导集 和闭包． 如 聚点与内点的关系， 如聚点的等价定义：设 P0 E ，存在 E 中的互异的点列
第二章
测度论
一、考核知识点 1. 外测度的定义以及简单性质； 2. 可测集的卡氏条件 （Caratheodory 条件） 和可测集的性质； 3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其 可测性； G 型集、 F 型集；可测集的构成． 二、考核要求 1. 外测度 （1）综合应用：外测度的定义．
G2 (1,2) (3,4) ， G G1 G2 ,求
G 的构成区间.
解 G 的构成区间为(0, 2)、(3, 4)． （2）简单应用：Cantor 集，Cantor 集的基数为 C． 三、重点 1、开集、闭集、完全集的定义及其性质； 2、Bolzano-Weierstrass 定理、Borel 有限覆盖定理，闭区间 套定理的叙述．
Pn P ． Pn 使 lim n
0
3. 开集，闭集 （1）了解：开集、闭集的概念； （2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的 性质；
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（1）了解：集合的并、交、补概念． De Morgan公式
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教材 P28 8,26（任一有限的实函数改为单调函数）
f n f a.e.于 E
子列 Riesz定理
f n f于 E
叶果洛夫 逆定理 Lebesgue定理
叶果洛夫定理 mE<+∞
mE<+∞
f n f a.u .于 E
c ( A )c A c ( A )c A




（2）综合应用：集合的并、交、补运算，以及集合列的极 限运算． 例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等． 例 根据集合列上下极限的定义，会计算集合列的上下极限 与极限．
1 例如 设An {x : 1 1 n x 1 n }, n N ，则
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教学目的 对本学期的学习内容进行梳理总结． 《实变函数论》的总体认识 实变函数主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数 值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、 收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展． 在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三 个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数） ．如果说微 积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设 函数连续或只有有限个间断点） ，那么，实变函数论是从连 续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从 微积分学来看性质“不好”的函数．它所得到的有关的结论自 然也适用于性质“良好”的函数．实变函数论是微积分学的发 展和深入． 函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容． 它包括 Lebesgue 的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般 的 Lebesgue-Stieltjes 测度和积分的理论． 这种积分比黎曼积 分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理 以及积分与极限变换次序． 精美的调和分析理论(见傅里叶分