浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 量子力学
一、（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；
（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径；
二、（1）若一质量为μ的粒子在势场()0,0,,0x a
V x x a x <<⎧=⎨∞≥≤⎩
中运动，求粒子的可能能级；
（2）若某一时刻加上了形如sin
,(1)x
e e a
ω<<的势场，求其基态能级至二级修正；
（3）若势能()V x 变为()22
1,0
2,0
x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩求粒子的可能能级。

三、氢原子处于基态，其波函数形如,r
a
ce a ψ-=为玻尔半径， （1）利用归一化条件，求出c ；
（2）设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径； （3）求出基态势能及动能在基态中的平均值 ；
（4
）用何种定理可把ˆV
及ˆT 联系起来？ 四、一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222y x z x y z
L L L H
I I I =++，转子的轨道角动量量子数是1， （1）试在角动量表象中，求出ˆˆˆ,,x y z
L L L 的形式； （2）求出ˆH
的本征值。

五、若基态氢原子处于平行板电场中，电场按下列形式变化00,0
,0
t t E e t τ
ε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，τ为大于零
的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。

（设ˆH '为微扰哈密顿，(
)()
805100,210
100,211
ˆˆ
;03
t a e H
e H τε-±''
=⋅=）。

六、（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场()()0,0r
a
V x V e a -=->中散射的微分截面。

（2）从该问题中讨论玻恩近似成立的条件。

浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 量子力学
一、（1）试求出100eV 的自由粒子及0.1eV 、质量为1克的质点的德布罗意波长。

（1eV =1.6⨯19
3410
, 6.610J h J s --=⨯⋅）。

（2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度g v 即为其运动速度。

（10分） 二、（1）证明定态中几率密度与时间无关；
（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n 个能级时的几率流密度。

（10分） 三、粒子处于一维势阱
()0,,0,0.0,x V x U x a x a ⎧∞<⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
中运动，
（1） 画出势能()V x 的示意图； （2） 求能级所满足的方程。

四、一一维振子，其势能为()2
12
V x kx =
，若该振子又受一恒力F 的作用，试求其本征能量和本征函数。

五、（1）写出线性、厄密算符的定义；
（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄密算符？
1
2
ˆˆˆˆ.;.x a F b F ap bx x
∂=-=+∂（,a b 为恒定实常数） ˆ
3
ˆ.iA c F e =ˆA 为厄密算符，i 为虚宗量。

（3）证明厄密算符对应有实的本符值；
（4）若ˆˆ,B
C 为厄密算符，ˆˆˆˆˆˆ,0B C BC CB +
⎡⎤=+=⎣⎦，若,b c 分别为ˆˆ,B C 的本征值，证明1\0,bc = 2、2ˆ1,C =则c 必取1c =±。

（20分）
六、设哈密顿算符在能量表象中
()
()
()0102
03
ˆ0
E H E b b
E a
a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
其中()()()
000123,,E E E 远大于,,a b 且,,a b 为实数，试 （1）写出未受微扰哈密顿量0
ˆH 的合理形式； （2）证明ˆH
为厄密算符；
（3）若 ()()()
000123E E E << ，用微扰论求出其本征能量； （4）若 ()()()
000123E E E <=，试求其本征能量（至二级）。

七、用玻恩近似计算粒子被形如()()V r B r δ=的势场散射时的微分截面，并说明其特点。

浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试试题：量子力学
一、（20分）（1）下列说法哪个是正确的？对不正确的说法给予修正。

a. 量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。

b. 电子是粒子，又是波。

c. 电子是粒子，不是波。

d. 电子是波，还是粒子。

(2)a.厄密算符的定义是什么？算符d
x
dx
是否厄密？ b.等式ˆˆˆˆg
f
g
f e e e
+⋅=是否成立？何时成立？
（3）若太阳为黑体，人所感受的太阳光最大波长0.48,m m λμ=太阳半径
87.010,
R m =⨯太阳质量30210,m kg =⨯试估算太阳质量由于热辐射而损耗1%所需要的时间。

（斯特藩常数12
24
5.6710w
cm k σ=⨯⋅）。

二、（20分）若有一粒子，质量为m ，在有限深势阱()00V x V ⎧=⎨⎩ x a
x a
≤>中运动，0V 为正常数。

（1） 试推出其能量本征值所满足的方程。

（2） 如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。

（3） 若粒子不是一维运动，而是三维运动，
()0V r V ⎧=⎨⎩ 0r a
r a
<<≥，试求出至少存在一个本征能的条件。

三、（20分）（1）量子力学中，若ˆH
不显含时间，则力学量ˆA 为守恒量的定义是什么？守恒量的本征态有何特点？
（2）本征值简并的概念是如何表述的？一维运动的粒子（势场 ()V x ），其能级是否简并？
（3）在一维势场()V x 中运动的粒子，其动量ˆx p
是否守恒？
（4）试说出氢原子问题中的量跃迁的选择定则的内容。

四、（25分）一二维振子的哈密顿为
()0
220
ˆˆˆ1ˆˆˆ2ˆ2,x y H H H H p p H
xy μλ'=+=+'= λ为一小量。

（1） 用微扰论，求其基态的能量修正（至二级）及第一激发态的能量修正（至一级）。

（2） 如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。

（3） 相干态的定义是：
2
2
ˆ,n e
n H α
α∞
-
==为一谐振子之哈密顿量，试证明，相干态是测不准关系取最小值的状态。

五、（15分）质量为m 的粒子势能为2a
V r
=
的场的散射，在入射粒子能量极低的条件下，计算其微分散射截面。

（球贝塞尔函数()1sin 2,l x j x x x
π⎛
⎫- ⎪
⎝⎭→→∞）。

浙 江 大 学
2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题
一、（15分）（1）试确定在3K 温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长m λ。

（2）此时对应的光子能量为多少？
（3）光电效应中如何测定某金属板的脱出功？ 二、（20分）设氢原子处于状态 ()()(
)()()21103131
1,,,,22
r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ=
- （1） 问测量氢原子的能量所得的可能值及相应的几率为多少？
（2） 问测量氢原子的角动量平方所得的可能值及相应的几率为多少？ （3） 问测量氢原子的角动分量z L 所得的可能值及相应的几率为多少？
三、（20分）（1）一质量为m 的粒子处于势场()V x 中运动()0V x ∞⎧⎪
=⎨⎪∞⎩
00x x a x a <≤≤>
求该粒子的能级及对应的波函数。

（2）若一质量为m 粒子处于势场()00V V x ⎧=⎨
⎩ 0
x x a
><中运动，求束缚态能级所满足的方程。

（3）若一质量为m 粒子处于三维势场()V r 中运动，()00
V V r -⎧=⎨⎩
0r a
r a ≤≤>00V > 则若欲得二个束缚态，其势能值0V 至少应为多少？
四、（15分）（1）何谓厄密算符，试写出其定义，及判断算符ˆd
A
dx
=-是否厄密？ （2）计算对易子,n
x x p ⎡⎤⎣⎦的值。

（3）证明厄密算符的本征值为实数。

（4）试说明为何要力学量对应为厄密算符？ 下面两组试题（五、六与七、八）
五、（15分）证明对任何束缚态，粒子动量x p 的平均值为零。

六、（15分）如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 的表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。

七、（15分）一质量为m 的高能粒子被势场
()20 1.125r r V e e V x r a a
--⎛⎫
-=⨯-⨯
⎪⎝⎭
散射，0V 较小，k 为入射波矢。

八、（15分）试写出定态微扰论中对非简并态微扰的能量修正（至二级）。

浙 江 大 学
2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题 一、从下面四题中任选三题（15分）
（1） 试说明光电效应实验中的红限现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概
念？
（2） 如何人从Plank 公式中推出Stefan 公式？
（3） 你认为玻尔的量子理论理论有哪些成功之处？有哪些不成功之处？试举一例说
明。

（4） 你能从固体与分子的比热问题中得出量子力学的概念？ 二、（20分）设氢原子处于状态： ()()(
)()(
)()()21112110311
11,,,,,4r R r Y R r Y r Y ψθϕθϕθϕ
θϕ-=
+ （1） 测得该原子的能量的可能值为多少？相应的几率又为多少？
（2） 测得的角动量平方的可能值和相应几率为多少？ （3） 测得的角动量分量z L 的可能值和相应几率为多少？ 三、（20分）一质量为m 的粒子处于势场()V x 中运动，若
（1）()0V x ∞⎧=⎨⎩
x a x a >≤ 则该粒子的本征能量不多少？
（2）()(),0V x a x a δ=<为一已知常数，则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？
（3）()()0,0
,V x x V x x a δ⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩
，00V >，是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为
何？
（4）能量为E 的平行粒子束，以入射角θ射向平面0x =，在区域0,0,x V <=在区域00,.x V V >=-试人量子力学的观点，分析粒子束的反射及折射规律。

（用θ及
1
2
01V n E ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭表示反射几率R 及折射几率.D ）
四、（15分）
（1） 如何证明一个算符为厄密算符？算符ˆd
A
i x dx
=是否为厄密算符？ （2） 若[],,x x p i =计算对易子23
ˆˆ,x x p ⎡⎤⎣⎦。

（3） 证明厄密算符对应不同本征值的本征函数相互正交。

（4） 为何物理量要用厄密算符来表示？ 下面两组试题（五、六与七、八），任选一组解答。

五、（15分）在一维谐振子问题中，相互作用势为()()22121
2
V x m x x e ωω=
++
来表示，0,0,x x p ==问其位移x 的平均值与时间的关系如何？
六、（15分）如果有一二能级系统1,2其相应的能量分别为1,2E E ，哈密顿算符的矩阵元
为 12
ˆˆˆˆ11,22,1221H E b H E b H H a =+=+== 其中12,,,E E a b 为已知常数，满足一切近似条件，求修正能量至二级。

七、（15分）若有一质量为m 的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为μ，若势场为 ()00,,
0,0,V r a V x V a r a
-<⎧=>⎨
≥⎩为常数。

问
（1） 是用波恩近似不是用分波法比较合适？
（2） 试问相移l δ的正弦与散射势能及散射波函数的关系如何？ （3） 求出零能近似下的微分散射截面。

（4） 若不知道()V r 的具体形式，能否利用散射实验来确定()V r ？
八、（15分）试证固体物理中常用的托马斯求和规则：
(
)2
2
2n
n
E
E n x m
αα
-≥
=
∑其
中,
n α为系统的二个任意能态，,n E E α为任意二个能级，m 为粒子的质量。

浙 江 大 学
2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题 一、（35分） 1、 如果1ψ和2ψ是某一体系含时薛定谔方程的解
1） 它们的线性组合12a b ψψψ=+是否满足同样的含时薛定谔方程？ 2） 若令12,ψψψ'=，你认为ψ'是否满足同样的含时薛定谔方程？
2、 质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问窄势阱中粒子基
态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？ 3、 1）你是否认识这三个矩阵
1010,,10001o i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
在量子力学中它们叫什么？
3） 写出,ˆˆˆ,x y z L L L 之间的对易关系。

4） 计算ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,x y z y z x z x y
L L L L L L L L L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
二、（20分）有一个双势阱
()000012
V V x V V ⎧
⎪∞⎪-⎪⎪
=⎨⎪-⎪⎪⎪⎩
002233x x a
a x a a x a a x
<<<<<<<< 这里00V >，试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域的边界条件（不必具体求
解）。

三、（25分）处于均匀电场中带电谐振子的哈密顿量为
()()2
22
2211
ˆ22
x
y H
p p m x y eEx m
ω
=++++（其中 电场强度E 为常数）
（1） 求出其能级。

（2） 电场E 的大小会产生什么影响？
四、（20分）如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为0a 的球内所组成，那么其散射势可表示为
()200,0,ze r r a V r r R
r a
⎧-<⎪
=⎨⎪>⎩
其中2
02,a R ze =试用玻恩近似求微分截面。