沪科版八年级下册数学教学课件 第16章 二次根式 二次根式 16-1 第1课时 二次根式的概念

②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
(5) xy x, y异号; (6) a2 1; (7) 3 5.
分析：是否含二次根号 是
被开方数是 不是非负数
是
二次根式
否否
不是二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负 数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是 二次根式.
∴无论x为何实数，x2 2x 3在实数范围内都无意义.
归纳 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进 行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0；
条件： B≥0；
第16章
八年级数学下（HK） 教学课件
二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
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讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
导入新课
情景引入 里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的 印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1 2
x 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
二 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0. 问题2 二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，
x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜ 1 ，
2
即当x≥2或x＜
1 2
时，
x 2 有意义．
当a＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0 时，a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就是说，当 a≥0时，a ≥0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
例4 已知y= x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得 x 3≥0，
3 x≥0，
∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=3×3+2×8=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5．
b 3 a 2a 6 4
解：由题意得 ∴a=3，
3 a≥0， 2a 6≥0，
5
问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， h 的算术平方根． 5
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
二次根式的 双重非负性
典例精析
例3 若 a 2 b 3 (c 4)2 0，求a -b+c的值.
解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. ∴a-b+c=2-3+4=3.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为 零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及 二次根式.
你们是根据 哪些特征猜 出的呢？
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足 道也.”
----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
(1) x2 2x 1;
(2) x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
∴当x=1时，x2 2x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
解：根据题意得
x 1≥0, 1 x≥0,
∴x=1.
∵y＜ x 1 1 x 1 ,
2
∴y＜
1 2
，
∴ 1 y 1 y 1 .
y 1 y 1
能力提升： 7.先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
x
x≥0，或 1≥0，
x
x≤0， 1≤0，
例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2) x 3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
...
N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：
A
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 A 1 有意义的条件：
B
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的个数有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
(1) a 1 ;
(2) 2a 3;
(3) a ;
(4) 2 . 5a
(1) a-1 0, a 1.
(2) 2a 3 0, a 3 . 2
(3) a 0, a 0.
(4) 5 a 0, a 5.
m2
5.(1)若二次根式 m2 m 2 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积
为6m2，则它的宽为___3__m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为 ___h5__．
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件 上面问题中，得到的结果分别是：2，S， 3，h．
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2
（A） D.x≤2
3.当x=__-1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为___0___．
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， 则m-9≥0，即m≥9.
6.若x，y是实数，且y＜
x 1
1
x
1 2
,求
1 y y 1
的值.
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
归纳 若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0， 可得a=0.
练一练 已知|3x-y-1|和 2x y 4 互为相反数，求x+4y的平 方根．
解：由题意得 |3x-y-1| 2x y 4=0 ∴3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3.
用 a (a 0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 ___2__m；若面积为S m2，则边长为___S__m．
图
图
2x 1
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
二次根式
在有意义条 件下求字母 的取值范围
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
二次根式的 双重非负性
二次根式 a中,a≥0且 a ≥0