第四讲对数函数与指数函数经典难题复习巩固

精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数
一、导入：名叫抛弃的水池
一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。

为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。

他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。

但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。

这使他更加困苦不堪。

有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。

” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。

” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。

”说完，就不见了。

这病人跳进了水池，泡在水中。

等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。

他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。

这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。

于是他就此发誓，要戒除一切恶习。

他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。

大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。

把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。

二、知识点回顾：
1．根式 (1)根式的概念
(2)两个重要公式．①n
a n ＝ ②(
n
a)n ＝ (注意a 必须使
n
a 有意义)．
2. 幂的有关概念
①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n
＞
1)；
②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．
3．指
数函数的图象与性质
4．对数的概念 (1)对数的定义
如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，
记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数
5．对数的性质、换底公式与运算法则
6.对数函数的定义、图象与性质
7．反函数
指数函数y ＝ax(a>0且a ≠1)与对数函数 (a>0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．
三、专题训练：
计算下列各式
(1) 1
33()
2
-×(－7
6)0＋1
48×42＋(32×3)6
(2)
a 3
5
b 2
·
35b 34
a 3
；
(3)
4133
2233
3
824a a b a ab b
-++÷(1－ 2 3b a
)×3
a.
[自主解答] (1)原式＝
1
3
3()2
-×1＋342
-
×142
＋(132×123
)6－
1
33()2
-＝2＋4×27＝110. (2) a 3
5
b 2·
35b
3
4
a 3
＝
33212a
-
·
321510b
-
＝
5
4a
＝a 4a.
(3)令
13a
＝m ，1
3b
＝n ，
则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷(1－2n
m )·m
＝m m 3－8n 3m 2＋2mn ＋4n 2·m 2
m －2n
＝m 3m －2n m 2＋2mn ＋4n 2m 2＋2mn ＋4n 2
m －2n ＝m 3＝a.
变式训练：计算下列各式
(1)1
38()
-－(－7
8)0＋[(－2)3]
43
-
＋16
43
-
＋|－
1
100
|12；
(2)
9
3
3
2
a
a
-÷
3
a －7
3
a 13；
(3)(－33
8)
23
-＋(1500
)12
-－10(5－2)－1＋(2－3)0.
解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3＋1
10
＝52－1＋116＋18＋110＝14380
. (2)原式＝
9
36
67136
6
a a
a a
--＝
973136666a
+--
＝a 0＝1.
(3)(3)原式＝(－1)
23
-×(338
)
23
-＋(1500
)12
-
－
10
5－2
＋1 ＝(278
)
23
-
＋(500)12－10(
5＋2)＋1
＝4
9＋105－105－20＋1 ＝－1679
.
画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？
[自主解答] 函数y ＝|3x －1|的图象是 由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折 到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k<0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0<k<1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．
思考：保持条件不变，讨论函数y ＝|3x －1|的单调性.
解：由例2所作图象可知，函数 y ＝|3x －1|在[0，＋∞)上为增函 数，在(－∞，0)上为减函数.
变式训练：
已知函数y ＝(1
3
)|x ＋1|.
(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；
考点二 指数函数的图象
(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得
y ＝(1
3
)|x ＋1|＝
⎩⎨
⎧
13x ＋1
，x ≥－13x ＋1
，x ＜－1.
，
其图象由两部分组成：
一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)―――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1
(x ≥－1)； 另一部分是：y ＝3x
(x ＜0)―――→向左平移1个单位
y ＝3x ＋1(x ＜－1)． 如图所示：
法二：①由y ＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(1
3)x 的图象，保留x ≥0
的部分，当x<0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x|
的图象．
②将y ＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|
的图象，如图所示．
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．
已知函数f(x)＝
2431()3
ax x -+.
考点三
指数函数的性质
(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的取值围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f(x)＝
2431()3
x x --+， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝(13
)t
在R 上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax 2
－4x ＋3，y ＝(13
)h(x)
，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
⎩⎨⎧
a>0
12a －164a
＝－1，解得a ＝1
即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，要使y ＝(1
3
)h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只
能有a ＝0.因为若a ≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a 的取值围是a ＝0. 变式训练：已知g(x)＝－(14)x
＋4(1
2
)x
＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．
解：由g(x)＝－(14)x ＋4(12)x ＋5＝－(12)2x ＋4(1
2
)x ＋5.
∴函数的定义域为R ，令t ＝(1
2)x (t>0)．
∴g(t)＝－t 2＋4t ＋5＝－(t －2)2＋9. ∵t>0，∴g(t)＝－(t －2)2＋9≤9，
等号成立条件是t ＝2，
即g(x)≤9，等号成立条件是(1
2
)x ＝2，
即x ＝－1.
∴g(x)的值域是(－∞，9]． 由g(t)＝－(t －2)2＋9(t>0)， 而t ＝(1
2
)x 是减函数，
∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 由0<t ＝(1
2
)x ≤2，
可得x ≥－1，由t ＝(1
2
)x ≥2，可得x ≤－1.
∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增．
故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)．
【例4】(1)计算：lg5(lg8＋lg1 000)＋
(2
＋lg
6
＋lg0.06；
(2)化简：log 3
4
27
3
·log 5[21
log 102
4
－233)
－
2
7log 7
]；
(3)已知：lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y)，求
3
2
log x
y
的值． [自主解答] (1)原式＝lg5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1. (2)原式＝(log 3
4
27－1)·log 5(10－3－2)
＝(34－1)log 55＝－14.
(3)∵lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y) ∴xy ＝(2x －3y)2＝4x 2＋9y 2－12xy 即4x 2－13xy ＋9y 2＝0
∴(4x －9y)(x －y)＝0，即4x ＝9y ，x ＝y(舍去)，
∴
3
2
log
x y ＝3
2
log
9
4＝2.
变式训练：计算：(1)(log 3
2＋log 9
2)·(log 4
3＋log 8
3)；
(2)15(lg32＋log 416＋6lg 12)＋15lg 1
5
. 解：(1)原式＝(log 32＋12log 32)(12log 23＋1
3log 23)
＝(log 32＋log 32)(log 23＋log 23
3)
＝log 322·log 2(3·3
3)
＝log 33
2
2·log 256
3 ＝32·log 32·56·log 23＝5
4.
(2)原式＝15[lg32＋2＋lg(12)6＋lg 1
5]
＝15[2＋lg(32×164×15)]＝15(2＋lg 1
10) ＝15[2＋(－1)]＝15
.
【例5】比较下列各组数的大小．
(1)log 323与log 56
5；
(2)log 1.10.7与log 1.20.7； (3)已知
12log b<
1
2
log a<
1
2
log c ，比较2b,2a,2c 的大小关系．
[自主解答] (1)∵log 323<log 31＝0，而log 56
5>log 51＝0，
∴log 323<log 56
5
.
(2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴
1
log 0.71.1<1
log 0.71.2
，
由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.
法二：作出y ＝log1.1x 与y ＝log1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知 log1.10.7<log1.20.7.
(3)∵y ＝
12
log x 为减函数，
且
1
2
log b<
12
log a<12
log c ，
∴b>a>c.
而y ＝2x 是增函数， ∴2b >2a >2c .
变式训练：设a、b、c均为正数，且2a＝
1
2 log a
，(
1
2
)b＝
1
2
log b，(
1
2
)c＝log2c，则( ) A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
解析：如图：
∴a<b<c.
【
例6】已知f(x)＝log
a
x(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[
1
3
，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值围．
[自主解答] ∵f(x)＝log a x，
则y＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x∈[
1
3
，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f(
1
3
)|≤1，即－1≤log a
1
3
≤1，即log a a－1≤log a
1
3
≤log a a，
亦当a>1时，得a－1≤
1
3
≤a，即a≥3；
考点六对数函数图象与性质的应用
当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤1
3.
综上所述，a 的取值围是(0，1
3
]∪[3，＋∞)．
变式训练：(2010·潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x ＋1)，将y ＝f(x)的图象向左平移1个单位，
再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象． (1)求g(x)的定义域；
(2)令F(x)＝f(x －1)－g(x)，求F(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝log 2(x ＋1)――――――――→向左平移1个单位 y ＝log 2(x ＋2)――――――→纵坐标伸长
到原来的2倍y ＝2log 2(x ＋2)， 即g(x)＝2log 2(x ＋2)，∴x ＋2>0. ∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)．
(2)∵F(x)＝f(x －1)－g(x)＝log 2x －2log 2(x ＋2) ＝log 2
x
x ＋2
2(x>0)＝log 2x
x 2
＋4x ＋4
＝log 21x ＋4x ＋4
≤log 21
8＝－3，
∴当x ＝2时，F(x)max ＝－3.
【例7】(2011·成都模拟)设f(x)＝12
log
1－ax
x －1为奇函数，a<0. (1)求a 的值；
(2)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f(x)>(12
)x
＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．
[自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)， ∴
1
2
log
1＋ax
－1－x ＝－
1
2
log 1－ax
x －1
＝1
2
log
x －1
1－ax ， ∴
1＋ax －x －1＝x －1
1－ax
，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x ＋1)(x －1)，
∴a ＝－1或a ＝1(舍去)．
考点七
与对数函数有关的综合问题
(2)由(1)可知f(x)＝
1
2
log x ＋1
x －1
＝1
2
log (1＋2x －1
)，
∵f(x)>(1
2)x ＋m 恒成立，x ∈[3,4]，
∴m<f(x)－(1
2)x ，x ∈[3,4]．
令g(x)＝f(x)－(1
2
)x ＝
1
2
log (1＋
2x －1)－(1
2
)x ，x ∈[3,4]． ∵函数f(x)＝
1
2
log (1＋2x －1)与y ＝－(12
)x
在x ∈[3,4]上均为增函数，∴g(x)在[3,4]上为增函数，
∴g(x)min ＝g(3)＝－98，∴m<－9
8.
思考： 若f(x)的值域为[1，＋∞)，求x 的取值范围．
解：由例题知， f(x)＝
1
2
log x ＋1
x －1
又∵f(x)的值域为[1，＋∞) ∴0<x ＋1x －1≤12
∴－3≤x<－1.
即x 的取值范围为[－3，－1)．
变式训练：已知函数y ＝loga2(x2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．
解：因为μ(x)＝x 2－2ax －3在(－∞，a]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，
要使y ＝log a2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0<a 2<1，
即0<a<1或－1<a<0，且有⎩⎨⎧
μ－2≥0，a ≥－2，
得a ≥－1
4.
综上，得－1
4
≤a<0或0<a<1.
五、巩固练习：
一、选择题
1．(2011·济南模拟)定义运算a ⊗b ＝⎩⎨
⎧
a a ≤b
b a >b
，则函数f (x )＝1⊗2x 的图象大致为( )
解析：由a ⊗b ＝⎩⎨
⎧
a a ≤b
b a >b
得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎨
⎧
2x x ≤0，1
x >0.
答案：A
2．(2010·辽宁高考)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b
＝2，则m ＝( )
A.10 B ．10 C ．20
D ．100
解析：a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入已知得log m 2＋log m 5＝2， 即log m 10＝2，所以m ＝10. 答案：A
3．(2010·全国卷Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝12
5-，则( )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3＜ln 2＝b ，又c ＝125-
＝15＜12
，a ＝log 32＞log 33＝12，因此c ＜a ＜b .
4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x
＋b 的大致图象是( )
解析：由图可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )是单调递减函数，所以0<a <1，又因为f (x )＝log a (x ＋b )的图象与x 轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b <1，根据上述参数a ，b 的特点，函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致如B 项所示．
答案：B
5．(2011·石家庄模拟)已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．[2，＋∞)
D ．[4，＋∞)
解析：法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝4
2
x ，令t ＝2x
(t >0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4>0，故满足
⎩⎨
⎧
a 2>0，Δ＝a 2
－16≥0，
得a ≥4.
法二：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，a ＝2x ＋4
2x ≥4.
二、填空题 6．2327
－
3
2log 2
×log 21
8
＋2lg(3＋5＋
3－5)的结果为________． 解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋
3－5)2＝18＋lg 10＝19.
答案：19
7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2
，则a 的值是________．
解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝3
2
.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上
单调递减，故a －a 2
＝a
2，得a ＝12.故a ＝12或3
2
.
8．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．
曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；
(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ， 设0≤x 1<x 2≤1，
因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，
所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2.
10．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值； (2)已知2lg
x －y
2
＝lg x ＋lg y ，求
x
y
的值． 解：(1)由log a 2＝m ，log a 3＝n 得a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝22×3＝12. (2)由已知得lg(
x －y 2
)2
＝lg(xy )，
∴(
x －y 2
)2
＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，
∴(x y )2－6·x
y
＋1＝0，
∴x y
＝3±2 2.
∵⎩
⎨⎧
x －y >0，x >0，y >0，
∴x y >1，从而x y
＝3＋22，
x
y
＝1＋ 2.
六、拓展训练: 1、(2010·安徽高考)设a ＝2
53()
5
，b ＝
352()5，c ＝252
()5
，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )
A ．a ＞c ＞b
B ．a ＞b ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
[规范解答] 构造指数函数y ＝(25)x (x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝(25
)x
(x ∈R)与y
＝(35)x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有(35)x ＞(25
)x
，故
253()5
＞2
5
2()5
，∴a ＞c ，故a ＞c ＞b. 2、(2010·天津高考)设函数f(x)＝2
12log
,
0,log (),0.
x x x x >⎧⎪
⎨-<⎪⎩
若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0,1)
[规范解答] 由题意可得
2120
log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或12
20,
log ()log a a a >⎧⎪
⎨->⎪⎩ 解之得a>1或－1<a<0.
七、反思总结：
当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）
1．(2011·桐乡模拟)函数y ＝ax ＋2012＋2012(a>0，a ≠1)的图象恒过定点________． 解析：令x ＋2012＝0，则x ＝－2012，此时y ＝a0＋2012＝1＋2012＝2013 ∴恒过定点(－2012,2013)． 答案：(－2012,2013)
2．若a>0，a ≠1，x>y>0，n ∈N ，则下列各式：
①(log a x)n ＝nlog a x ；②(log a x)n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1x ；④n
log a x ＝1n log a x ；
⑤log a x n ＝log a n
x ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .
其中正确的个数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx ，y ＝dx 的图象，则a ，b ，c ，
d 的大小关系是 ( )
A ．a<b<1<c<d
B ．a<b<1<d<c
C ．b<a<1<c<d
D ．b<a<1<d<c
解析：由指数函数y ＝a x
(a>0且a ≠1)的单调性及函数y ＝a x
与y ＝(1a
)x
间的关系可知b<a<1<d<c.
4．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )
A ．f (b x )≤f (c x )
B ．f (b x )≥f (c x )
C ．f (b x )>f (c x )
D ．大小关系随x 的不同而不同 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (x )的对称轴为直线x ＝1， 由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.
∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )． 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．
5．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足
⎩⎨
⎧
m >0，Δ＝－4
2
－4m m －3≥0
或m ＝0.解得0≤m ≤4.
答案：[0,4]
6．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x
；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.
解析：∵3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝2
3log 31()2
+
＝18×2
log 3
1()2＝18×1
2
1log 31()2＝18×13＝1
24
. 答案：1
24。