2023年天津市高考数学真题试卷及答案
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2023年天津高考数学真题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===,则∁∪( )A .{}
1,3,5B .{}
1,3C .{}
1,2,4D .{}
1,2,4,52.“22a b =”是“222a b ab +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件
D .既不充分又不必要条件
3.若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( )A .c a b >>B .c b a >>C .a b c
>>D .b a c
>>4.函数()f x 的图象如下图所示,则()f x 的解析式可能为( )
A .
()25e e 2x x
x --+B .
25sin 1
x x +C .
(
)
25e e 2
x x
x -++D .
25cos 1
x x +5.已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =,一个周期为4,则()f x 的解析式可能为( )
A .sin 2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭B .cos 2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭C .sin 4x π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D .cos 4x π⎛⎫
⎪
⎝⎭
6.已知{}n a 为等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,122n n a S +=+,则4a 的值为( )
A .3
B .18
C .54
D .152
7.调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数0.8245r =,下列说法正确的是( )
A .花瓣长度和花萼长度没有相关性
B .花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C .花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D .若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.82458.在三棱锥-P ABC 中,线段PC 上的点M 满足1
3
PM PC =
,线段PB 上的点N 满足2
3
PN PB =
,则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为( )A .
19
B .
29
C .
13
D .
49
9.双曲线22
22(0,0)x y a b a b ->>的左、右焦点分别为12F F 、.过2F 作其中一条渐近线的垂线,
垂足为P .已知22PF =,直线1PF ,则双曲线的方程为( )
A .22
1
84
x y -=B .22
1
48
x y -=C .22
1
42
x y -=D .22
1
24
x y -=二、填空题
10.已知i 是虚数单位,化简
514i
23i
++的结果为_________.11.在6
312x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中,2x 项的系数为_________.
12.过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切,交曲线22(0)y px p =>于点P ,若8OP =,则p 的值为_________.
三、双空题
13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为_________;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为_________.14.在ABC 中,60A ∠= ,1BC =,点D 为AB 的中点,点E 为CD 的中点,若设,AB a AC b == ,则AE 可用,a b
表示为_________;若13
BF BC = ,则AE AF ⋅ 的最大值为
_________.四、填空题
15.若函数()22
21f x ax x x ax =---+有且仅有两个零点,则a 的取值范围为
_________.
五、解答题
16.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分別是,,a b c .已知2,120a b A ==∠= .(1)求sin B 的值;(2)求c 的值;(3)求()sin B C -.
17.三棱台111ABC A B C -中,若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====,,M N 分别是,BC BA 中点.
(1)求证:1A N //平面1C MA ;
(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值;(3)求点C 到平面1C MA 的距离.
18.设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为12,A A ,右焦点为F ,已知
123,1A F A F ==.
(1)求椭圆方程及其离心率;
(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合),直线2A P 交y 轴于点Q ,若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍,求直线2A P 的方程.19.已知{}n a 是等差数列,255316,4a a a a +=-=.(1)求{}n a 的通项公式和
1
21
2n n i
i a --=∑.
(2)已知{}n b 为等比数列,对于任意*N k ∈,若1221k k n -≤≤-,则1k n k b a b +<<,
(Ⅰ)当2k ≥时,求证:2121k
k k b -<<+;
(Ⅱ)求{}n b 的通项公式及其前n 项和.
20.已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭.
(1)求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率;(2)当0x >时,证明:()1f x >;(3)证明:
()()51ln !ln 162n n n n ⎛
⎫<-++≤ ⎪⎝
⎭.
2023年天津高考数学真题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===,则∁∪( )A .{}1,3,5B .{}
1,3C .{}
1,2,4D .{}
1,2,4,5【答案】A
【详解】由∁={3,5},而{1,3}A =,所以∁∪={1,3,5}.故选:A 2.“22a b =”是“222a b ab +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】由22a b =,则a b =±,当0a b =-≠时222a b ab +=不成立,充分性不成立;由222a b ab +=,则2()0a b -=,即a b =,显然22a b =成立,必要性成立;所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选:B
3.若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( )A .c a b >>B .c b a >>C .a b c >>D .b a c >>【答案】D
【详解】由 1.01x y =在R 上递增,则0.50.61.01 1.01a b =<=,由0.5y x =在[0,)+∞上递增,则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选:D
4.函数()f x 的图象如下图所示,则()f x 的解析式可能为( )
A .
()25e e 2x x
x --+B .
25sin 1
x x +C .
(
)
25e e 2
x x
x -++D .
25cos 1
x x +
5.已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =,一个周期为4,则()f x 的解析式可能为( )
A .sin 2
x π
⎛⎫
⎪⎝⎭B .cos 2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭C .sin
4x π⎛⎫ ⎪
D .cos 4x π⎛⎫
⎪
6.已知{}n a 为等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,122n n a S +=+,则4a 的值为( )A .3B .18C .54D .152
【答案】C
【详解】由题意分析可得:当1n =时,2122a a =+,即1122a q a =+, ①
当2n =时,()31222a a a =++,即()2
11122a q a a q =++, ②
联立①②可得12,3a q ==,则34154a a q ==.故选:C.
7.调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数0.8245r =,下列说法正确的是( )
A .花瓣长度和花萼长度没有相关性
B .花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C .花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D .若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C
【详解】根据散点的集中程度可知,花瓣长度和花萼长度有相关性,A 错误
散点的分布是从左下到右上,从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性,B 错误,C 正确;由于0.8245r =是全部数据的相关系数,取出来一部分数据,相关性可能变强,可能变弱,即取出的数据的相关系数不一定是0.8245,D 错误故选:C
8.在三棱锥-P ABC 中,线段PC 上的点M 满足1
3
PM PC =,线段PB 上的点N 满足
2
3
PN PB =
,则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为( )A .
19
B .
29
C .
13
D .
49
因为'⊥平面PAC ,'又因为平面'∩平面='⊥平面,且'//在PCC '△中,因为'⊥,='9.双曲线22
22(0,0)x y a b a b ->>的左、右焦点分别为12F F 、.过2F 作其中一条渐近线的垂线,
垂足为P .已知22PF =,直线1PF ,则双曲线的方程为( )
A .22
1
84
x y -=B .22
1
48
x y -=C .22
1
42
x y -=D .22
1
24
x y -=因为()2,0F c ,不妨设渐近线方程为所以222
bc bc
PF c
a b =
=
+设2POF θ∠=,则tan PF θ=
二、填空题
10.已知i 是虚数单位,化简514i
23i
++的结果为_________.11.在6
312x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为_________.
12.过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切,交曲线22(0)y px p =>于点P ,若8OP =,则p 的值为_________
.
三、双空题
13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为_________;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为_________.
14.在ABC 中,60A
∠= ,1BC =,点D 为AB 的中点,点E 为CD 的中点,若设
,AB a AC b == ,则AE 可用,a b 表示为_________;若13
BF BC = ,则AE AF ⋅ 的最大值为_________.
42
24四、填空题
15.若函数()2221f x ax x x ax =---+有且仅有两个零点,则a 的取值范围为
_________.
【答案】()()()
,00,11,∞∞-⋃⋃+【详解】(1)当210x ax -+≥时,()0f x =⇔()()21210a x a x -+--=,
即()()1110a x x --+=⎡⎤⎣⎦,
若1a =时,=1x -,此时210x ax -+≥成立;
五、解答题
16.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分別是,,a b c .已知2,120a b A ==∠= .
(1)求sin B 的值;
(2)求c 的值;
(3)求()sin B C -.
17.三棱台111ABC A B C -中,若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====,,M N 分别是,BC BA 中点.
(1)求证:1A N //平面1C MA ;
(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值;
(3)求点C 到平面1C MA 的距离.
)
.由,M N 分别是,BC BA 的中点,11A C //AC ,于是MN //11A C ,由//1MC ,
1C MA ,1MC ⊂平面1C MA ,于是ME AC ⊥,垂足为E ,过E 作3MF
过1C 作1C P AC ⊥,垂足为P ,作垂足为R .
由题干数据可得,11C A C C ==2
1232522C Q ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,辅助线同方法一.
18.设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为12,A A ,右焦点为F ,已知123,1A F A F ==.(1)求椭圆方程及其离心率;
(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合),直线2A P 交y 轴于点Q ,若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍,求直线2A P 的方程.由题意得31
a c a c +=⎧⎨-=⎩,解得a
19.已知{}n a 是等差数列,255316,4a a a a +=-=.
(1)求{}n a 的通项公式和121
2n n i
i a --=∑.(2)已知{}n b 为等比数列,对于任意*N k ∈,若1221k k n -≤≤-,则1k n k b a b +<<,
(Ⅰ)当2k ≥时,求证:2121k k k b -<<+;
(Ⅱ)求{}n b 的通项公式及其前n 项和.
【答案】(1)21n a n =+,1121
234n n n i i a --=-=⋅∑;
(2)(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)2n n b =,前n 项和为122n +-.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程,解方程可得13,2a d ==,据此可求得数列的通项公式,然后确定所给的求和公式里面的首项和项数,结合等差数列前n 项和公式计算
20.已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
.(1)求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率;
(2)当0x >时,证明:()1f x >;
(3)证明:()()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪.
试卷21。