2023年天津市高考数学真题试卷及答案

2023年天津高考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则￿∁￿￿￿￿∪￿（ ）A ．{}
1,3,5B ．{}
1,3C ．{}
1,2,4D ．{}
1,2,4,52．“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c
>>D ．b a c
>>4．函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．
()25e e 2x x
x --+B ．
25sin 1
x x +C ．
(
)
25e e 2
x x
x -++D ．
25cos 1
x x +5．已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．sin 2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭B ．cos 2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭C ．sin 4x π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D ．cos 4x π⎛⎫
⎪
⎝⎭
6．已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则4a 的值为（ ）
A ．3
B ．18
C ．54
D ．152
7．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（ ）
A ．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B ．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C ．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D ．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.82458．在三棱锥-P ABC 中，线段PC 上的点M 满足1
3
PM PC =
，线段PB 上的点N 满足2
3
PN PB =
，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（ ）A ．
19
B ．
29
C ．
13
D ．
49
9．双曲线22
22(0,0)x y a b a b ->>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 作其中一条渐近线的垂线，
垂足为P ．已知22PF =，直线1PF ，则双曲线的方程为（ ）
A ．22
1
84
x y -=B ．22
1
48
x y -=C ．22
1
42
x y -=D ．22
1
24
x y -=二、填空题
10．已知i 是虚数单位，化简
514i
23i
++的结果为_________．11．在6
312x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．
12．过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________．
三、双空题
13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．14．在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b
表示为_________；若13
BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为
_________．四、填空题
15．若函数()22
21f x ax x x ax =---+有且仅有两个零点，则a 的取值范围为
_________．
五、解答题
16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -．
17．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.
(1)求证：1A N //平面1C MA ；
(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；(3)求点C 到平面1C MA 的距离．
18．设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知
123,1A F A F ==．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．19．已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．(1)求{}n a 的通项公式和
1
21
2n n i
i a --=∑．
(2)已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，
（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121k
k k b -<<+；
（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．
20．已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭．
(1)求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率；(2)当0x >时，证明：()1f x >；(3)证明：
()()51ln !ln 162n n n n ⎛
⎫<-++≤ ⎪⎝
⎭．
2023年天津高考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则￿∁￿￿￿￿∪￿（ ）A ．{}1,3,5B ．{}
1,3C ．{}
1,2,4D ．{}
1,2,4,5【答案】A
【详解】由￿∁￿￿￿￿={3,5}，而{1,3}A =，所以￿∁￿￿￿￿∪￿={1,3,5}.故选：A 2．“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选：B
3．若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】D
【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D
4．函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．
()25e e 2x x
x --+B ．
25sin 1
x x +C ．
(
)
25e e 2
x x
x -++D ．
25cos 1
x x +
5．已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．sin 2
x π
⎛⎫
⎪⎝⎭B ．cos 2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭C ．sin
4x π⎛⎫ ⎪
D ．cos 4x π⎛⎫
⎪
6．已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则4a 的值为（ ）A ．3B ．18C ．54D ．152
【答案】C
【详解】由题意分析可得：当1n =时，2122a a =+，即1122a q a =+， ①
当2n =时，()31222a a a =++，即()2
11122a q a a q =++， ②
联立①②可得12,3a q ==，则34154a a q ==.故选：C.
7．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（ ）
A ．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B ．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C ．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D ．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B 错误，C 正确；由于0.8245r =是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D 错误故选：C
8．在三棱锥-P ABC 中，线段PC 上的点M 满足1
3
PM PC =，线段PB 上的点N 满足
2
3
PN PB =
，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（ ）A ．
19
B ．
29
C ．
13
D ．
49
因为￿￿￿￿'￿⊥平面PAC ，￿￿￿￿'又因为平面￿￿￿￿￿'￿∩平面￿￿￿=￿￿￿￿￿'￿⊥平面￿￿￿，且￿￿￿￿'￿//￿在PCC '△中，因为￿￿￿￿'￿⊥￿￿,￿￿￿￿￿￿￿=￿￿￿￿￿'￿￿￿￿￿9．双曲线22
22(0,0)x y a b a b ->>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 作其中一条渐近线的垂线，
垂足为P ．已知22PF =，直线1PF ，则双曲线的方程为（ ）
A ．22
1
84
x y -=B ．22
1
48
x y -=C ．22
1
42
x y -=D ．22
1
24
x y -=因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222
bc bc
PF c
a b =
=
+设2POF θ∠=,则tan PF θ=
二、填空题
10．已知i 是虚数单位，化简514i
23i
++的结果为_________．11．在6
312x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．
12．过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________
．
三、双空题
13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
14．在ABC 中，60A
∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设
,AB a AC b == ，则AE 可用,a b 表示为_________；若13
BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．
42
24四、填空题
15．若函数()2221f x ax x x ax =---+有且仅有两个零点，则a 的取值范围为
_________．
【答案】()()()
,00,11,∞∞-⋃⋃+【详解】（1）当210x ax -+≥时，()0f x =⇔()()21210a x a x -+--=，
即()()1110a x x --+=⎡⎤⎣⎦，
若1a =时，=1x -，此时210x ax -+≥成立；
五、解答题
16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ．
(1)求sin B 的值；
(2)求c 的值；
(3)求()sin B C -．
17．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.
(1)求证：1A N //平面1C MA ；
(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；
(3)求点C 到平面1C MA 的距离．
）
.由,M N 分别是,BC BA 的中点，11A C //AC ，于是MN //11A C ，由//1MC ，
1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作3MF
过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作垂足为R .
由题干数据可得，11C A C C ==2
1232522C Q ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，辅助线同方法一.
18．设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．由题意得31
a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得a
19．已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．
(1)求{}n a 的通项公式和121
2n n i
i a --=∑．(2)已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，
（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121k k k b -<<+；
（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．
【答案】(1)21n a n =+，1121
234n n n i i a --=-=⋅∑；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2n n b =，前n 项和为122n +-.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2a d ==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n 项和公式计算
20．已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
．(1)求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率；
(2)当0x >时，证明：()1f x >；
(3)证明：()()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪．
试卷21。