河南省漯河市高级-2021-2022学年高一下学期期末数学复习题

高一数学（理）期末备战试题3
一、单选题1．复数5
i 2
-的共轭复数是（）
A ．2i
+B ．2i
-+C ．2i
--D ．2i
-2．下列说法正确的是（）
A ．直四棱柱是正四棱柱
B ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
C ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥3．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机
构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（）
A ．2021年我国独角兽企业共有170家
B ．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家
C ．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半
D ．各行业独角兽企业数量的中位数为13
4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=-- ，，，，
若p q
∥，则角C 的大小为（
）
A ．
π6
B ．
π3
C ．
π2
D ．
2π3
5．在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.
（1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.
（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥βA ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a b
A B
=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（
）
A ．钝角三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3
cos 10C =，若92
CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2
B ．4
C D ．17
8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A ．
14
B ．
13
C ．1
2
D ．
2
3
9．已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=r
r r ，则|c |的可能取值有（
）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
10．已知在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，若PE ＝4，PF ＝PD ＝2，则点P 到平面DEF 的距离为（）
A 2
B ．42211
C D ．
311．我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法：今有望海
岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦
与表末三合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年，其大意为：测量望海岛PQ 的高度及海岛离岸距离，在海岸边立两根等高标杆,AB CD （,,PQ AB CD 共面，均垂直于地面），使目测点E 与P 、B 共线，目测点F 与P 、D 共线，测出AE CF AC 、、，即可求出岛高PQ 和EQ 的距离（如图）.若,,,AB CD r AE a CF b EF d =====，则PQ =（）
A ．
dr
b a
-B ．
dr b a
+C ．
dr a b
-D ．
()d a r b a
-+12．如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，点N ，M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段
CM 上一点．（
）
A ．AP BP +的最小为2
B ．若DP ⊥平面AB
C ，则4
CP CM
= C ．若DP ⊥平面ABC ，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为92
πD ．若F 为线段EN 的中点，且DP MF ∥，则25
MP MC =二、填空题
13．已知向量()2,3a =- ，()3,b m = ，且a b ⊥ ，则m =________.
14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+，3b =，则ABC 的周长的最大值是______.
15．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则
a
c
的取值范围是______．16．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ＝4，
BC =PB ＝PC ＝3，PA ⊥平面PBC ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积是________.三、解答题
17．根据要求完成下列问题：
(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围；
(2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．
18．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2,cos n a c C =- 与(),cos m b B =
共
线.(1)求B ：
(2)若
2BD D C =
，且1CD =，AD =，求ABC 的面积.
19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边
三角形，1
12
AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且
2CM MP = .
(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.
20．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功
举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组
[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已
知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
21．如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，
3AB AE ==.
(1)当2
BC =
时，求CD ；
(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围.
22．已知梯形ABCD 中，224CD CB BA ===，90ABC BCD ∠=∠= ，E 为线段CD 上一点（不在端点），沿线段AE 将ADE 折成AD E ' ，使得平面BD E '⊥平面ABC .
(1)当点E 为CD 的中点时，证明：平面AD E '⊥平面CD E '；
(2)若AD '与平面BD E '求平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角的余弦值.
高一数学（理）期末备战试题3参考答案
1．B2．B3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．D10．B11．A12．D
13．24．915
．22⎝⎭
16．43π
17．(1)1a =±(2)
312
（，）【解析】(1)设0x 是其实根，代入原方程变形为2
00021()i 0x ax a x ++-+=，
由复数相等的定义，得2000210
0x ax a x ⎧++=⎨+=⎩
，解得1a =±；
(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，
∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即22
20230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得3
12m <<，故实数m 的集合为3
(1,)2
.
18．(1)
3
π
【解析】(1)解：在ABC 中，A B C π++=，
因为向量n 与向量m
共线，则()2cos cos a c B b C -⋅=⋅，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B C -⋅=⋅，所以，()2sin cos sin sin A B B C A ⋅=+=，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，所以，1cos 2
B =
，因此，3B π=.
(2)解：2BD DC =
，且1CD =
，AD =，2BD ∴=，3BC =，
在ABD △中，由余弦定理有2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，
即2
7422cos
3
AB AB π
=+-⨯，即2230AB AB --=，0AB > ，解得3AB =，
所以，11sin 922ABC S AB BC B =
⋅⋅=⨯⨯△19．【解析】(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH .
由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，
12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PM
HC MC
=，
∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABC D.
以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,0D -，()
0,0,3P ，1230,,
33M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，()1,0,0B ，()0,1,0C ，1231,,33BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z = ，则1230330n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-++
=⎪⎨⎪⋅=--=⎩
，取x ＝1得231,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m = .设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则10
cos 5m n m n
θ⋅==⋅ .
∴二面角M －BD －C 的余弦值为
10
5
.20．(1)0.005,0.025a b ==；(2)估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7；(3)25
.【解析】
(1)()(
)20.0450.020101
0.0450.020100.7a b a ⎧+++⨯=⎪⎨
++⨯=⎪⎩，解得：0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，所以0.005,0.025a b ==；(2)500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；
前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+⨯=<，前三组志愿者的频率为
()0.0050.0250.045100.750.6++⨯=>，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得：71.7x ≈，故第60%分位数为71.7
(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a b c d ,,,，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有
()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组
的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为
42
105
=21．(1)
332
；(2))
3,33⎡⎣.120//9012030
60DEB CBE ∠=∠=︒，
所以在ABE △中3AB AE ==，
由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=，∴33BE =，
过C 点作CM BE ⊥于M ，可得33
cos604
BM BC =⋅︒=，∴33
22
CD BE BM =-=；(2)由193sin12024
ABE S AB AE =
⋅⋅⋅︒= ，又五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦，∴153273,44BCDE S ⎡⎫
∈⎪⎢⎪⎣⎭
，设BC x =，则()()
113
3333222
BCDE S BE CD CM x x
=
⨯+⨯=⨯+-⨯，整理得2156327x x ≤-<，解得333x ≤<或3353x <≤，又2330DC BE BM x =-=->，即33x <，∴BC 的取值范围是)
3,33⎡⎣.
22．【解析】(1)当点E 为CD 的中点时，由题得AE CD ⊥，故AE ED ⊥'，AE EC ⊥， ED EC E ⋂='且都在平面CD E '中，故AE ⊥平面 CD E '.又AE ⊂平面AD E '，故平面AD E '⊥平面CD E
'(2)如图过A 作AO BE ⊥交BE 于点O ，连D O '，则平面 BD E '⊥平面 ABC ，
平面 BD E '⋂平面 ABC BE =，AO BE ⊥，AO ⊂平面 ABC ，故AO ⊥平面
BD E
'所以D O '是直线AD '在平面BD E '上的投影
直线AD '与平面BD E '所成角即为直线AD '与直线D O '所成角，即为
AD O
∠'10
sin 5
AD O ∠'∴=
，又22AD AD =='，∴在Rt AD O ' 中，45230,55
AO D O '==，
∴在Rt ABO 中，25sin 5ABO ∠=，则tan tan 2
BEC ABO ∠∠==251,
5
CE BO ∴==
5BE ∴=，35
5
EO =352303
55
5cos cos 3
D EB D EO ∠∠''∴==
2BD ∴'=，则BD BE
'⊥所以平面 BD E '⊥平面ABC ，平面BD E 'I 平面ABC BE =，BD BE '⊥，BD '⊂平面BD E '，故BD '⊥平面ABC 法1：由上易证AB ⊥平面,BCD CE '⊥平面BCD '所以BCD ' 是AED '△的投影三角形
设平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角为θ
则
2
cos 3BCD AED S S θ''== 法2：分别取AD AB '､的中点M N ､，连接,,MN EM EN 易证平面EMN ∥平面CD B
'所以平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角即为二面角A EM N --所成角由上可得AN ⊥平面EMN ，且可得EMN 中，1,5,2
MN EM EN ===AEM △中，2,5,5
AM EM AE ===过N 作NH EM ⊥交EM 于点H ，连AH 由AN ⊥平面EMN ，且NH ⊂面EMN
所以AN EM ⊥又NH EM ⊥，可证EM ⊥面AHN 所以AH EM
⊥所以AHN ∠为二面角A EM N --的平面角在Rt AHN 中，2535
,1,55
HN AN AH =
==所以
2
cos 3
HN AH θ=
=。