【精品】2020届高考数学(理)刷题小卷练： 20含解析

11．已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
解析：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
二、非选择题
9．[2019·广西南宁联考]已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．
答案：(－∞，3)
解析：∵数列{an}是递减数列，∴an＋1<an(n∈N*)．∵an＝－n2＋λn对任意的正整数n恒成立，即－(n＋1)2＋λ(n＋1)<－n2＋λn，∴λ<2n＋1对于n∈N*恒成立．而2n＋1在n＝1时取得最小值3，∴λ<3，故答案为(－∞，3)．
一、选择题
1．[2019·福建闽侯模拟]若数列的前4项分别是 ，－ ， ，－ ，则此数列的一个通项公式为()
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由数列的前4项分别是 ，－ ， ，－ ，知奇数项为正数，偶数项为负数，从而第n项的绝对值等于 ，故数列的一个通项公式为an＝ .故选A.
2．[2019·山东济宁模拟]已知数列{an}满足an＝ 若对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，则实数a的取值范围为()
刷题增分练20数列的概念及表示
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一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－ ，－ ，－ ，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1， ， ， ，…，
答案：B
解析：A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an＝()
A．nB. n－1
C．n2D．2n－1
答案：A
解析：由an＝n(an＋1－an)，得 ＝ ，所以数列 为常数列，所以 ＝ ＝…＝ ＝1，所以an＝n，故选A.
7．[2019·咸阳模拟]我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
A．第20项B．第21项
C．第22项D．第23项
答案：D
解析：由 ＝3 ＝ ，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23.故选D.
4．[2019·湖南三市联考]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ ，若a4＝32，则a1的值为()
A. B.
C. D.
答案：A
解析：∵Sn＝ ，a4＝32，∴S4－S3＝ － ＝32，∴a1＝ ，选A.
(1)构造数列1， ， ， ，…， ；①
(2)将数列①的各项乘以 ，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：依题意可得新数列为 ， ， ，…， × ，所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＝ × ＝ .故选C.
答案：C
解析：∵a1＝1，an＋1＝－ ，∴a2＝－ ＝－ ，a3＝－ ＝－2，a4＝－ ＝1.由上述可知该数列为周期数列，其周期为3.又∵2 018＝3×672＋2，∴a2 018＝a2＝－ .故选C.
7．[2019·石家庄模拟]数列{an}：1，－ ， ，－ ，…的一个通项公式是()
A．wk.baidu.comn＝(－1)n＋1 (n∈N*)
10．[2019·河南四校联考]已知数列{an}满足a1＝ ，a1＋a2＋…＋an＝n2·an，则数列{an}的通项公式是________．
答案：an＝ (n∈N*)
解析：由题意知Sn＝n2·an，则当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2·an－1，两式相减得Sn－Sn－1＝n2·an－(n－1)2·an－1，即an＝n2·an－(n－1)2·an－1，整理得(n2－1)·an＝(n－1)2·an－1.∵n≥2，∴ ＝ ＝ ，∴ × ×…× × × ＝ × ×…× × × ，即 ＝ (n≥2)，∴an＝ (n≥2)．∵a1＝ 满足上式，故an＝ (n∈N*)．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n n，则数列{an}中的最大项为()
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解法一an＋1－an＝(n＋1) n＋1－n n＝ · n，
当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.
10．已知数列 ， ， ， ， ，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．
答案：
解析：由数列的前3项的规律可知 解得 故实数对(m，n)为 .
11．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a10＝________.
答案：90
解析：由an＋1＝an＋2n可得an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，……，an－an－1＝2(n－1)．将上述式子左右两边分别相加得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，又a1＝0，所以an＝n(n－1)．故a10＝90.
2．[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为()
A．11B．12
C．13D．14
答案：C
解析：观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是它的前两项的和，所以x＝5＋8＝13，故选C.
3．[2019·河南郑州模拟]已知数列1， ， ， ，…， ，则3 是这个数列的()
A．－2B．－1
C．0D．(－1)n
答案：A
解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝ ＝ ，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故选A.
二、非选择题
9．已知数列{an}中，an∈ ，an＋1＝ ＋ a ，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
答案：递增
解析：∵an＋1－an＝ a －an＋ ＝ (an－1)2－ ，又0<an< ，∴－1<an－1<－ ，∴ (an－1)2> ，即 (an－1)2－ >0，∴an＋1－an>0，即an＋1>an对一切正整数n都成立，故数列{an}是递增数列．
所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2× 2＝ .故选A.
解法二 ＝ ＝ ，
令 >1，解得n<2；令 ＝1，解得n＝2；令 <1，解得n>2.又an>0，
故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2× 2＝ .故选A.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
5．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－ ，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝()
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：∵a1＝1，a2＝－ ＝－ ，a3＝－ ＝－2，a4＝－ ＝1，…，∴数列{an}的周期为3，∴S2 018＝S2 016＋a2 017＋a2 018＝672× ＋1＋ ＝－ .
B．an＝(－1)n＋1 (n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1 (n∈N*)
D．an＝(－1)n＋1 (n∈N*)
答案：D
解析：(1)观察数列{an}各项，可写成： ，－ ， ，－ …所以通项公式可表示为(－1)n＋1· (n∈N*)．
8．[2019·宝鸡模拟]设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝ (n∈N*)，若数列{an}是常数列，则a＝()
A．(1,4) B．(2,5)
C．(1,6) D．(4,6)
答案：A
解析：因为对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以数列是递增数列，因此 解得1<a<4.故选A.
3．数列{an}中，对任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝ ，则a7等于()
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为am＋n＝am＋an，a1＝ ，所以a2＝2a1＝ ，a4＝2a2＝ ，a3＝a1＋a2＝ ，a7＝a3＋a4＝ .故选D.
5．[必修5P31例3改编]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (n≥2)，则a4＝()
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝ ，a4＝ .
6．[2019·内蒙古阿拉善左旗月考]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－ ，则a2 018等于()
A．1B．－1
C．－ D．－2
12．[2019·山东枣庄第三中学质检]已知数列{an}的前n项和Sn＝5n2＋2n＋1，则数列的通项公式为an＝________.
答案：
解析：当n＝1时，a1＝8；当n≥2时，Sn－1＝5(n－1)2＋2(n－1)＋1.所以an＝Sn－Sn－1＝10n－3，此式对n＝1不成立，故an＝
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4．[2019·全国名校大联考]若数列{an}满足a1＝2，a ＋a ＝2an＋1·an(n∈N*)，则数列{an}的前32项和为()
A．64 B．32
C．16 D．128
答案：A
解析：由a ＋a ＝2an＋1·an(n∈N*)，得(an＋1－an)2＝0，an＋1＝an.∵a1＝2，∴an＝2，∴数列{an}的前32项和S32＝2×32＝64.故选A.