甘肃省兰州高二数学下学期期中试题 文

兰州一中2015-2016-2学期期中考试试题
高二数学（文科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项． 1.下面几种推理过程是演绎推理的是
A.某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超
过60人
B.根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质
C .平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分
D .在数列}{n a 中，*1121,,2n
n n
a a a n a +==
∈N +，计算23,,a a 由此归纳出}{n a 的通项公式 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是
A .假设三内角都不大于60度
B .假设三内角都大于60度
C .假设三内角至多有一个大于60度
D .假设三内角至多有两个大于60度
3.右图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在
A . “集合的概念”的下位
B . “集合的表示”的下位
C . “基本关系”的下位
D . “基本运算”的下位
4.曲线123
+-=x x y 在点)0,1(处的切线方程为
A . 1y x =-
B . 1y x =-+
C . 22y x =-
D . 22y x =-+ 5.下表为某班5位同学身高x （单位：cm ）与体重y （单位kg ）的数据，
若两个变量间的回归直线方程为 1.16y x a =+，则a 的值为
A .-121.04
B .123.2
C .21
D .-45.12
6.已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半
径为r ，则三角形的面积为
a s (2
1
=
r c b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R ,类比三角形的面积可得四面体的体积为
A . R s s s s V )(214321+++=
B . R s s s s V )(3
1
4321+++= C . R s s s s V )(4
1
4321+++=
D . R s s s s V )(4321+++= 7.若正实数b a ,满足1=+b a ，则
A .
b
a 1
1+有最大值4 B . ab 有最小值4
1
C . b a +有最大值2
D . 2
2b a +有最小值2
2
8.如果执行右面的程序框图，那么输出的S =
A . 2450
B . 2500
C . 2550
D . 2652
9.定义运算：()
()
x x y x y y x y ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，例如344⊗=，则231()(cos sin )24a a -⊗+-的最大值为
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
10.若函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(′
x f ，且函数)(′)-1(=x f x y 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A . 函数)(x f 有极大值(2)f -，无极小值
B . 函数)(x f 有极小值(1)f ，无极大值
C . 函数)(x f 有极大值(2)f -和极小值)1(f
D . 函数)(x f 有极大值)1(f 和极小值(2)f -
兰州一中2015-2016-2学期期中考试
高二数学（文科）答题卡
一、 选择题（每小题4分，共40分）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 11.i 是虚数单位，2
3
9i 2i 3i 9i +++
+= .（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）
12.设1,0a b c >><给出下列三个结论： ①
b
c
a c >；②c c
b a <；③)(log )(log
c b c a a b ->-；④ln()ln()a c b c ->-. 其中所有正确命题的序号是 .
13.已知函数2
()ln f x x x ax =+-在(0,1)上是增函数,则a 的取值范围是 . 14.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有
),1(N n n n ∈>个点，每个图形总的点数记为n a ，则_____6=a ； 233445
20152016
9999
________a a a a a a a a ++++
=.
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
2=n 3=n 4=n
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分10分) 已知复数
()()
2
1213
i i z i +--=
-，若212z az b i ++=+，
(1)求||z ； (2)求实数,a b 的值.
16.(本小题满分10分)
(1)解不等式255x x -+-<；
(2)如果关于x 的不等式25x x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围.
17.(本小题满分12分)
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
已知在全部105人中随机抽取一人为优秀的概率为
7
. (1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据,若按97.5%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到8或9号的概率.
参考公式和数据: )
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
18.(本小题满分12分) 已知函数ln ()x
f x x
=
． (1)设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；
(2)设()() ()g x f x kx k R =-∈，若函数()g x 在区间21[,e ]e
上有两个零点,求k 的取值范围.
兰州一中2015-2016-2学期期中考试
高二数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
11. 45i + 12. ①②③ 13. (,-∞ 14. 15；
2014
2015
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分10分)
解：（1）22224133
i i i
z i i i -+-+===---，
2=∴z (5)
分
（2）把z =1-i 代入212z az b i ++=+，即()()2
1112i a i b i -+-+=+， 得()212a b a i i +-+=+
所以1
(2)2
a b a +=⎧⎨
-+=⎩, 解得4;5a b =-=
所以实数a ,b 的值分别为-4，5 …………………………….10分
16.(本小题满分10分)
解：（1）由绝对值不等式的几何意义易得原不等式的解集为(1,6).…………………….5分 （2）令25y x x =-+-,而min 3y =,所以3a >. …………………….10分 17.(本小题满分12分) 解：（1）
(4)
分
（2）根据列联表的数据，得到02.5109.675
305055)45203010(1052
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
K ， 因此有97.5%的把握认为成绩与班级有关系. …………………………….8分
（3）设“抽到10或11号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 (x ，y )，所有基本事件有（1,1）、（1,2）、（1,3）、…（6,6），共36个．事件A 包含的 基本事件有(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2) 、(3,6)、(4,5)、(5,4) 、(6,3)共9个，
91
()364
P A ∴=
=. ………………….12分 18.(本小题满分12分) 解:（1）设2()ln ()(0)f x x
h x x x x
=
=>，则312ln ()(0)x h x x x -'=
>
令()3
12ln 0x
h x x -'=
=，解得：x = 当x 在(0,)+∞上变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：
由上表可知，当x =()h x 取得最大值
1
2e
由已知对任意的0x >，()
()f x k h x x
>=恒成立 所以，k 得取值范围是1
(
,)2e
+∞. …………………………….6分
（2）令()0g x =得：2()ln f x x
k x x
=
=
由（1）知，2
ln ()x h x x
=
在1
[e 上是增函数，在2]上是减函数.
且21()e e h =-，12e h =，242
(e )e h =
当4
21
e 2e
k <≤时，函数()g x 在21[,e ]e 上有2个零点. ……………………………12分。