_1.1.1 菱形的性质与判定 课件 +2023—2024学年北师大版数学九年级上册
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第一章 特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定（第1课时）
情境引入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四 边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行 四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线 互相平分.
菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴 交流.
做一做
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条
对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，两条 对称轴互相垂直. （2）菱形中有哪些相等的线段？ 菱形的四条边相等.
归纳小结
1. 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是菱形对角线所在 的直线. 两条对称轴互相垂直.
3. 菱形具有平行四边形的所有性质，应用菱形的性质可以进行 计算和推理.
作业布置
习题1.1 第1，2，3，4题.
图3
∴ BO AB2 AO2 52 42 3 .
∵ BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）.
∴ BD=6 cm.
课堂小结
1. 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四边形
两组对边
一组邻边相等
平行四边形
菱形
分别平行
2. 菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所 在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂 直平分.
∴ OA AB2 OB2 62 32 3 3 .
∴ AC=2OA= 6 3（菱形的对角线互相平分）.
随堂练习
如图3，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相 交于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求 BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）.
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+BO2=AB2,
∴ AB=BC=CD=AD.
已知：如图1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD
相交于点 O .
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
B
证明：（2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
A
O
C
D 图1
在等腰三角形ABD中，
图2
解：∵四边形ABCD是菱形，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
OB=OD=
1 2
BD=
12 ×6=3（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形.
图2
∴ AB=BD=6.
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 OB2 AB2 ,
∵OB=OD，∴ AO⊥BD，
即AC⊥BD.
归纳小结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
定理 菱形的四条边都相等. 定理 菱形的两条对角线互相垂直.
例题讲解
例1 如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对 角线AC的长.
2. 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.
新知探究
已知：如图1，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD
相交于点O .
B
求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
A
O
C
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
D
图1
∴ AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.
又∵ AB=AD，
1. 菱形的性质与判定（第1课时）
情境引入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四 边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行 四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线 互相平分.
菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴 交流.
做一做
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条
对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，两条 对称轴互相垂直. （2）菱形中有哪些相等的线段？ 菱形的四条边相等.
归纳小结
1. 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是菱形对角线所在 的直线. 两条对称轴互相垂直.
3. 菱形具有平行四边形的所有性质，应用菱形的性质可以进行 计算和推理.
作业布置
习题1.1 第1，2，3，4题.
图3
∴ BO AB2 AO2 52 42 3 .
∵ BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）.
∴ BD=6 cm.
课堂小结
1. 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四边形
两组对边
一组邻边相等
平行四边形
菱形
分别平行
2. 菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所 在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂 直平分.
∴ OA AB2 OB2 62 32 3 3 .
∴ AC=2OA= 6 3（菱形的对角线互相平分）.
随堂练习
如图3，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相 交于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求 BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）.
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+BO2=AB2,
∴ AB=BC=CD=AD.
已知：如图1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD
相交于点 O .
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
B
证明：（2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
A
O
C
D 图1
在等腰三角形ABD中，
图2
解：∵四边形ABCD是菱形，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
OB=OD=
1 2
BD=
12 ×6=3（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形.
图2
∴ AB=BD=6.
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 OB2 AB2 ,
∵OB=OD，∴ AO⊥BD，
即AC⊥BD.
归纳小结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
定理 菱形的四条边都相等. 定理 菱形的两条对角线互相垂直.
例题讲解
例1 如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对 角线AC的长.
2. 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.
新知探究
已知：如图1，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD
相交于点O .
B
求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
A
O
C
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
D
图1
∴ AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.
又∵ AB=AD，