2024年中考福建专用数学一轮知识点训练复习4.6 五类基本尺规作图
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴∠B'PO＝90°，∴∠AC'B'＝∠B'PO＝90°，又∵∠PB'O＝∠C'B'A，
∴△PB'O∽△C'B'A，
∴，即，∴PO＝，∴OA＝
＝ .
11.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，
（1）已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出☉O，使☉O
经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）.
，∴△BAP≌△BAC（SAS），∴∠APB＝
∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠APB＝90°，∴BP与☉A相切；
②∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝5，CB＝12，∴AB
＝＝13，由旋转可知：AB'＝AB＝13，AP＝AC'＝AC＝5，B'C'＝
CB＝12，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，∴PB'＝AB'－AP＝13－5＝8，由①可知，∠APB＝90°，
图②
（3）求出阴影部分的面积；
解：（3）连接AO并延长交☉O于F，连接BF，
OB，如图③，PC是∠APB的平分线，∠APC＝
∠BPC，，AC＝BC，∠ABC＝∠BAC
＝30°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴∠FOB＝
180°－∠AOC－∠BOC＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠FAB＝∠FOC＝30°，∴∠FAB＝∠ABC＝
解析（2）图
6.如图，在△ABC中：（1）求作△ABC内心E；（要求：尺规作
图，不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）如图：
解析（1）图
（2）在（1）的条件下，∠C＝78°.求∠AEB的值.
解：（2）连接AE，如图：∵∠CAB＋∠CBA＋
∠ACB＝180°，∴∠CAB＋∠CBA＝180°－
∠ACB，∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BE平
在∠BCD的平分线上时，请根据题意通过尺规作图画出图
形，并求CA'的长.
解：根据题意通过尺规作图1如下；如图2所示，过点A'作
A'M⊥BC于点M.∵CA'是∠BCD的平分线，∠BCD＝90°，
∴△A'MC是等腰直角三角形，∴设CM＝A'M＝x，则BM＝7
－x，又由折叠的性质知AB＝A'B＝5，∴在Rt△A'MB中，由
AF的长度.
解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，要使△AEF∽△BFC，需，即，解得AF＝1或3；当∠AEF＝∠BCF
时，要使△AEF∽△BCF，需，即，解得AF
＝1；综上所述AF＝1或3.
（2）如图②，当m＝3.5时，用直尺和圆规在AB上作出所有
使△AEF与△BCF相似的点F.（不写作法，保留作图痕迹）
10.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC长为半径作☉A.
解析图（1）
（2）在（1）的条件下，若线段B'A与☉A交于点P，连接BP.
①求证：BP与☉A相切；②如果CA＝5，CB＝12，BP与B'C'交于点O，连接OA，求OA
的长.
解：（2）①根据旋转可知∠BAP＝∠BAC，AP＝AC，∵在△BAP和△BAC中，
CD⊥DE，∴DE∥OA；
解析（2）图
（3）若AB＝10，tan ∠DEO＝2，求☉O的半径.
解：（3）设圆O的半径为R，则OC＝OD＝
R，∵DE∥OA，∴∠DEO＝∠AOC，∵tan
∠DEO＝2，∴tan ∠AOC＝＝2，∴AC＝2OC＝2R，
∵∠ACB＝∠ADO＝90°，∠B＝∠B，
∴△BOD∽△BAC，
∴DB2＝48，∴DE＝＝4.
（1）尺规作图：将△ACB绕点A顺时针旋转得△AC'B'，使得
点C的对应点C'落在线段AB上（保留作图痕迹，不用写画
法）；
解：（1）AB与☉A的交点即为点C'，分别以A、C'
为圆心，以AB、BC的长为半径画弧，两弧交于点
B'，连接AB'、C'B'，则△AB'C'即为所求；
并说明理由）
解：如图，以点B为顶点，BD为边，在BD上方作∠PBD＝∠CAB，∵∠PBD＝∠CAB，
∴BP∥AC，∴直线BP即为所作.
解析图
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）请利用尺规作图，在AB边上找一点D，使得点D到点A、
点C的距离相等.
解：（1）作AC的垂直平分线交AB于点D，点D为所求；
解：（1）如图所示：
解析（1）图
（2）若☉O与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接
AO、DE，求证：DE∥OA.
解：（2）连接OD，CD，∵AB是圆O的切
线，∴OD⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB
＝∠ADO＝90°，又∵OC＝OD，AC＝AC，
∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL），∴AC＝AD，∠CAO＝∠DAO，∴OA⊥CD，∵CE是圆O的直径，∴∠CDE＝90°，即
30°，∴AF∥BC，∴S△ABC＝S△OBC，∴S阴影＝S△ABC＋S弓形BC＝S△OBC＋S弓形BC＝S扇形BOC，∴S＝S扇形BOC＝π
图③
（4）当PA的长为多少时，圆内接四边形PACB为一组对边平
行的四边形（直接写出结论不用说明理由）.
解：（4） ①如图④，当PA∥BC时，∠PAB＝
∠ABC，∵∠ABP＝90°，∴∠APB＝180°－90°－30°＝60°，∵AB＝2，∴sin 60°＝，∴AP＝4，
解析（2）图
（2）若AB＝10，BC＝6，求BD的长.
8.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三
角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形
的“自相似分割线”.如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC
＝108°，点D在边BC上，连接AD，若＝k，（1）在图中求作AD，使得AD是△ABC的自相似分割线；（要
∴，即，解得OB＝5，∴BC＝R＋5，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，即（2R）2＋（R＋5）2＝102，解得R＝3或R＝－5（不合题意，舍去），
∴☉O的半径为3.
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动
点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A'恰好落
图④
②如图⑤，当AC∥PB时，∴∠PBA＝∠BAC＝30°，
∵∠PAB＝90°，AB＝2，∴tan 30°＝，∴AP＝2，所以当PA长为2或4时，圆内接四边形PACB为一组
对边平行的四边形.
图⑤
14.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边
上一定点，且AE＝1.
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求
9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，且交
AC于点D.
（1）在斜边BC上求作点E，使DE⊥BD；（要求：尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）尺规作图如如：
（2）若AB＝6，BE＝8，求DE的长.
解：（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝
∠DBE，∵DE⊥BD，∴∠A＝∠BDE＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，即，
解：根据题意通过尺规作图1如下；如图2所示，过点A'作
A'M⊥BC于点M.∵CA'是∠BCD的平分线，∠BCD＝90°，
∴△A'MC是等腰直角三角形，∴设CM＝A'M＝x，则BM＝7
－x，又由折叠的性质知AB＝A'B＝5，∴在Rt△A'MB中，由
勾股定理得到：A'M2＋BM2＝A'B2，即x2＋（7－x）2＝25，
分∠CBA，∴∠EAB＝∠CAB，∠∠EAB＋∠EBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝（180°－∠ACB），
∵∠ACB＝78°，∴∠EAB＋∠EBA＝（180°－78°）＝51°，
∵∠AEB＝180°－（∠EAB＋∠EBA），∵∠AEB＝180°－51°＝129°.
7.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为直径.
解析（1）图
（2）在（1）的条件下证明：AB＝2CD.
解：（2）证明：连接CD，如图，由（1）得AD＝
CD，CE⊥AC，∠ADF＝∠CDF，∴DF∥CB，
∠CDF＝∠DCB，∠ADF＝∠B，∴∠DCB＝∠B，
∴DC＝DB，∴AB＝2DC.
解析（2）图
解析（1）图
5.如图，☉O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
解得：x＝3或x＝4，∵在等腰Rt△A'CM中，CA'＝A'M，
∴CA'＝3或4.故答案为：CA'的长为3或4.
或
13.如图，点P是☉O上一动点，弦AB＝2，PC是∠APB的平分
线，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠APC ＝∠BPC ＝∠BAC ＝30°，∴∠OBE＝∠OBC－∠ABC＝30°，由作图得OC⊥AB，
∴BE＝AB＝，∴OB＝＝2，
图①
解法2：过A点作AD⊥BA交☉O于D，连接BD（由作图得
AD⊥BA），如图②∴BD为☉O的直径， ∵∠BAC＝30°，∴∠BPC＝30°，∵PC是∠APB的平分线，∴∠APB＝60°，∴∠ADB＝60°，∵AB＝2，∴BD＝＝4，∴OB＝2，
第4章 三角形
4.6 五类基本尺规作图
1.在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是（ B ）
A.线段AC
B.线段BD
C.线段DC
D.线段DE
B
2.（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，
D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于
解：（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E'，连接CE'，交
AB于点F1；连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3.
解析（2）图
∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠C＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△DBA∽△ABC，∴直线AD是△ABC的自相似分割线；∴，∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝72°，∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝72°，∴∠ADC＝∠DAC，∴DC＝AC＝1，∵BC＝BD＋DC＝BD＋1，∴，解得BD＝，BD＝（不合题意，舍去），∴k＝，故k的值是.
（1）用尺规作图作出☉O的圆心O；（保留作图痕迹即可）
解：（1）略
（2）求出☉O的半径；
解：（2）解法1：作OC⊥BA，垂直为E，交☉O
于C，（由作图得OC⊥AB），连接OB，如图①∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，∴∠OBC＝60°，∵PC是∠APB的平分线，∠BAC＝30°，
点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示.根据以上作
图，一定可以推得的结论是（ A ）
A.∠1＝∠2且CM＝DM
B.∠1＝∠3且CM＝DM
C.∠1＝∠2且OD＝DM
D.∠2＝∠3且OD＝DM
A
3.如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，请用尺规作图法，
过点B作直线BP，使得BP∥AC.（保留作图痕迹，不写作法，
求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
解：（1）如图所示，AD是△ABC的自相似分割线；
（2）在（1）的条件下，求k的值.
解：（2）∵AB＝AC＝1，∴△ABC是等腰三角形，∵∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝36°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴ △ABD是等腰三角形，
勾股定理得到：A'M2＋BM2＝A'B2，即x2＋（7－x）2＝25，
解得：x＝3或x＝4，∵在等腰Rt△A'CM中，CA'＝A'M，
∴CA'＝3或4.故答案为：CA'的长为3或4.
或
解析1图 解析2图
（1）在上求作点D，使得∠ABD＝∠CAD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，作∠ABC的角平分线，交弧AC于D，则，∴∠ABD＝∠CAD，点D就是所求作的图形.
解析（1）图
解析（2）连接AD，OD，过D作DF⊥AB于点F，∵AB是直径，∴∠C＝90°.∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵∠AOD＝2∠ABD＝∠ABC，∠DFB＝90°＝∠ACB，∴△DOF∽△ABC，∴，∴，∴DF＝4，OF＝3，∴BF＝BO＋OF＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝4.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的
交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
解：（1）如图，AE为所作；
解析（1）图
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长.
解：（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴，∴OE⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5－3＝2，在Rt△OCF中，CF＝，∴BC＝2CF＝2.
∴△PB'O∽△C'B'A，
∴，即，∴PO＝，∴OA＝
＝ .
11.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，
（1）已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出☉O，使☉O
经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）.
，∴△BAP≌△BAC（SAS），∴∠APB＝
∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠APB＝90°，∴BP与☉A相切；
②∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝5，CB＝12，∴AB
＝＝13，由旋转可知：AB'＝AB＝13，AP＝AC'＝AC＝5，B'C'＝
CB＝12，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，∴PB'＝AB'－AP＝13－5＝8，由①可知，∠APB＝90°，
图②
（3）求出阴影部分的面积；
解：（3）连接AO并延长交☉O于F，连接BF，
OB，如图③，PC是∠APB的平分线，∠APC＝
∠BPC，，AC＝BC，∠ABC＝∠BAC
＝30°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴∠FOB＝
180°－∠AOC－∠BOC＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠FAB＝∠FOC＝30°，∴∠FAB＝∠ABC＝
解析（2）图
6.如图，在△ABC中：（1）求作△ABC内心E；（要求：尺规作
图，不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）如图：
解析（1）图
（2）在（1）的条件下，∠C＝78°.求∠AEB的值.
解：（2）连接AE，如图：∵∠CAB＋∠CBA＋
∠ACB＝180°，∴∠CAB＋∠CBA＝180°－
∠ACB，∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BE平
在∠BCD的平分线上时，请根据题意通过尺规作图画出图
形，并求CA'的长.
解：根据题意通过尺规作图1如下；如图2所示，过点A'作
A'M⊥BC于点M.∵CA'是∠BCD的平分线，∠BCD＝90°，
∴△A'MC是等腰直角三角形，∴设CM＝A'M＝x，则BM＝7
－x，又由折叠的性质知AB＝A'B＝5，∴在Rt△A'MB中，由
AF的长度.
解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，要使△AEF∽△BFC，需，即，解得AF＝1或3；当∠AEF＝∠BCF
时，要使△AEF∽△BCF，需，即，解得AF
＝1；综上所述AF＝1或3.
（2）如图②，当m＝3.5时，用直尺和圆规在AB上作出所有
使△AEF与△BCF相似的点F.（不写作法，保留作图痕迹）
10.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC长为半径作☉A.
解析图（1）
（2）在（1）的条件下，若线段B'A与☉A交于点P，连接BP.
①求证：BP与☉A相切；②如果CA＝5，CB＝12，BP与B'C'交于点O，连接OA，求OA
的长.
解：（2）①根据旋转可知∠BAP＝∠BAC，AP＝AC，∵在△BAP和△BAC中，
CD⊥DE，∴DE∥OA；
解析（2）图
（3）若AB＝10，tan ∠DEO＝2，求☉O的半径.
解：（3）设圆O的半径为R，则OC＝OD＝
R，∵DE∥OA，∴∠DEO＝∠AOC，∵tan
∠DEO＝2，∴tan ∠AOC＝＝2，∴AC＝2OC＝2R，
∵∠ACB＝∠ADO＝90°，∠B＝∠B，
∴△BOD∽△BAC，
∴DB2＝48，∴DE＝＝4.
（1）尺规作图：将△ACB绕点A顺时针旋转得△AC'B'，使得
点C的对应点C'落在线段AB上（保留作图痕迹，不用写画
法）；
解：（1）AB与☉A的交点即为点C'，分别以A、C'
为圆心，以AB、BC的长为半径画弧，两弧交于点
B'，连接AB'、C'B'，则△AB'C'即为所求；
并说明理由）
解：如图，以点B为顶点，BD为边，在BD上方作∠PBD＝∠CAB，∵∠PBD＝∠CAB，
∴BP∥AC，∴直线BP即为所作.
解析图
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）请利用尺规作图，在AB边上找一点D，使得点D到点A、
点C的距离相等.
解：（1）作AC的垂直平分线交AB于点D，点D为所求；
解：（1）如图所示：
解析（1）图
（2）若☉O与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接
AO、DE，求证：DE∥OA.
解：（2）连接OD，CD，∵AB是圆O的切
线，∴OD⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB
＝∠ADO＝90°，又∵OC＝OD，AC＝AC，
∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL），∴AC＝AD，∠CAO＝∠DAO，∴OA⊥CD，∵CE是圆O的直径，∴∠CDE＝90°，即
30°，∴AF∥BC，∴S△ABC＝S△OBC，∴S阴影＝S△ABC＋S弓形BC＝S△OBC＋S弓形BC＝S扇形BOC，∴S＝S扇形BOC＝π
图③
（4）当PA的长为多少时，圆内接四边形PACB为一组对边平
行的四边形（直接写出结论不用说明理由）.
解：（4） ①如图④，当PA∥BC时，∠PAB＝
∠ABC，∵∠ABP＝90°，∴∠APB＝180°－90°－30°＝60°，∵AB＝2，∴sin 60°＝，∴AP＝4，
解析（2）图
（2）若AB＝10，BC＝6，求BD的长.
8.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三
角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形
的“自相似分割线”.如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC
＝108°，点D在边BC上，连接AD，若＝k，（1）在图中求作AD，使得AD是△ABC的自相似分割线；（要
∴，即，解得OB＝5，∴BC＝R＋5，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，即（2R）2＋（R＋5）2＝102，解得R＝3或R＝－5（不合题意，舍去），
∴☉O的半径为3.
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动
点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A'恰好落
图④
②如图⑤，当AC∥PB时，∴∠PBA＝∠BAC＝30°，
∵∠PAB＝90°，AB＝2，∴tan 30°＝，∴AP＝2，所以当PA长为2或4时，圆内接四边形PACB为一组
对边平行的四边形.
图⑤
14.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边
上一定点，且AE＝1.
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求
9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，且交
AC于点D.
（1）在斜边BC上求作点E，使DE⊥BD；（要求：尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）尺规作图如如：
（2）若AB＝6，BE＝8，求DE的长.
解：（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝
∠DBE，∵DE⊥BD，∴∠A＝∠BDE＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，即，
解：根据题意通过尺规作图1如下；如图2所示，过点A'作
A'M⊥BC于点M.∵CA'是∠BCD的平分线，∠BCD＝90°，
∴△A'MC是等腰直角三角形，∴设CM＝A'M＝x，则BM＝7
－x，又由折叠的性质知AB＝A'B＝5，∴在Rt△A'MB中，由
勾股定理得到：A'M2＋BM2＝A'B2，即x2＋（7－x）2＝25，
分∠CBA，∴∠EAB＝∠CAB，∠∠EAB＋∠EBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝（180°－∠ACB），
∵∠ACB＝78°，∴∠EAB＋∠EBA＝（180°－78°）＝51°，
∵∠AEB＝180°－（∠EAB＋∠EBA），∵∠AEB＝180°－51°＝129°.
7.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为直径.
解析（1）图
（2）在（1）的条件下证明：AB＝2CD.
解：（2）证明：连接CD，如图，由（1）得AD＝
CD，CE⊥AC，∠ADF＝∠CDF，∴DF∥CB，
∠CDF＝∠DCB，∠ADF＝∠B，∴∠DCB＝∠B，
∴DC＝DB，∴AB＝2DC.
解析（2）图
解析（1）图
5.如图，☉O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
解得：x＝3或x＝4，∵在等腰Rt△A'CM中，CA'＝A'M，
∴CA'＝3或4.故答案为：CA'的长为3或4.
或
13.如图，点P是☉O上一动点，弦AB＝2，PC是∠APB的平分
线，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠APC ＝∠BPC ＝∠BAC ＝30°，∴∠OBE＝∠OBC－∠ABC＝30°，由作图得OC⊥AB，
∴BE＝AB＝，∴OB＝＝2，
图①
解法2：过A点作AD⊥BA交☉O于D，连接BD（由作图得
AD⊥BA），如图②∴BD为☉O的直径， ∵∠BAC＝30°，∴∠BPC＝30°，∵PC是∠APB的平分线，∴∠APB＝60°，∴∠ADB＝60°，∵AB＝2，∴BD＝＝4，∴OB＝2，
第4章 三角形
4.6 五类基本尺规作图
1.在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是（ B ）
A.线段AC
B.线段BD
C.线段DC
D.线段DE
B
2.（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，
D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于
解：（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E'，连接CE'，交
AB于点F1；连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3.
解析（2）图
∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠C＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△DBA∽△ABC，∴直线AD是△ABC的自相似分割线；∴，∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝72°，∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝72°，∴∠ADC＝∠DAC，∴DC＝AC＝1，∵BC＝BD＋DC＝BD＋1，∴，解得BD＝，BD＝（不合题意，舍去），∴k＝，故k的值是.
（1）用尺规作图作出☉O的圆心O；（保留作图痕迹即可）
解：（1）略
（2）求出☉O的半径；
解：（2）解法1：作OC⊥BA，垂直为E，交☉O
于C，（由作图得OC⊥AB），连接OB，如图①∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，∴∠OBC＝60°，∵PC是∠APB的平分线，∠BAC＝30°，
点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示.根据以上作
图，一定可以推得的结论是（ A ）
A.∠1＝∠2且CM＝DM
B.∠1＝∠3且CM＝DM
C.∠1＝∠2且OD＝DM
D.∠2＝∠3且OD＝DM
A
3.如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，请用尺规作图法，
过点B作直线BP，使得BP∥AC.（保留作图痕迹，不写作法，
求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
解：（1）如图所示，AD是△ABC的自相似分割线；
（2）在（1）的条件下，求k的值.
解：（2）∵AB＝AC＝1，∴△ABC是等腰三角形，∵∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝36°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴ △ABD是等腰三角形，
勾股定理得到：A'M2＋BM2＝A'B2，即x2＋（7－x）2＝25，
解得：x＝3或x＝4，∵在等腰Rt△A'CM中，CA'＝A'M，
∴CA'＝3或4.故答案为：CA'的长为3或4.
或
解析1图 解析2图
（1）在上求作点D，使得∠ABD＝∠CAD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，作∠ABC的角平分线，交弧AC于D，则，∴∠ABD＝∠CAD，点D就是所求作的图形.
解析（1）图
解析（2）连接AD，OD，过D作DF⊥AB于点F，∵AB是直径，∴∠C＝90°.∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵∠AOD＝2∠ABD＝∠ABC，∠DFB＝90°＝∠ACB，∴△DOF∽△ABC，∴，∴，∴DF＝4，OF＝3，∴BF＝BO＋OF＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝4.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的
交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
解：（1）如图，AE为所作；
解析（1）图
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长.
解：（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴，∴OE⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5－3＝2，在Rt△OCF中，CF＝，∴BC＝2CF＝2.