2020-2021学年浙江省杭州市高一上学期期末模拟数学试题(解析版)

2020-2021学年浙江省杭州市高一上学期期末模拟数学试题
一、单选题
1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）
A ．{1}
B ．{4}
C ．{1,3}
D ．{1,4}
【答案】D
【分析】先根据集合定义求出集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】由题意{1,4,7,10}B =，所以{1,4}A B =，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【详解】由2
()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出
2()0a b a -<，如0a =，故选A.
【考点定位】
本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
3．设函数241,0
()log ,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则((1))f f 等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】A
【分析】根据函数241,0
()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，先求(1)f ，再求((1))f f .
【详解】因为函数241,0
()log ,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，
所以2(1)log 10f ==，
所以0
((1))(0)410f f f ==-=， 故选：A
4．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则
25
a b
+的最小值为（ ）
A B ．
C ．
2
D ．2
【答案】D
【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25a b +≥可求其最小值.
【详解】∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>，
∴
252a b +≥=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴
25
a b
+的最小值为2. 故选：D
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
5．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,
2⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
∪(2,＋∞) B ．[2,6)
C ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
∪[2,6)
D ．(0,6)
【答案】C
【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有
2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围.
【详解】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，
∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102
a <≤. 故选：C
【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.
6．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数3y x =
的图象
A ．向右平移
12
π
个单位长 B ．向右平移
4π
个单位长 C ．向左平移12
π
个单位长 D ．向左平移
4
π
个单位长 【答案】A
【分析】化简得到sin 3cos312y x x x π⎛
⎫=+=- ⎪⎝
⎭，根据平移法则得到答案.
【详解】sin 3cos33412y x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
故3y x =向右平移
12
π
个单位长可以得到sin 3cos3y x x =+的图像.
故选：A.
【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.
7．函数()
2
lg 106y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=
A ．
53
B ．
52
C ．52
-
D ．53
-
【答案】B
【分析】先由韦达定理得到tan tan 10
tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩
，再由两角和的正切公式得到结果.
【详解】因为2
lg(106)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以1x ，2x 是
方程21050x x ++=的两个根，根据韦达定理得到tan tan 10
tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨
=⎩
,再由两角和
的正切公式得到:tan tan 5tan()1tan tan 2
αβαβαβ++=
=-.
故选B.
【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.
8．若关于x 的不等式2
3||x a x -->至少有一个负实数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．133,4⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
B ．1313,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．()3,3-
D ．13,34⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【答案】D
【分析】将该不等式的问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a 的取值范围.
【详解】关于x 的不等式2
3||x a x -->等价于2
2
330x a x x ⎧-<-⎨->⎩
若不等式至少有一个实数解，则函数()
2
,33,3x y x ∈-=-与||y x a =-的图象有交点
在同一坐标系中，画出函数2
3y x =-与||y x a =-的图象，如下图所示
当||y x a =-的图象右边部分与2
3y x =-相切时，23y x a y x =-⎧⎨=-⎩
有唯一解，即
2
30x x a +--=有唯一解，则14(3)0a ∆=---=，解得13
4
a =-
当||y x a =-的图象左边部分过(0,3)时，求得3a = 则实数a 的取值范围是13,34⎛⎫
- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.
二、多选题
9．下列四个命题：其中不正确命题的是（ ）
A ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞上单调递增，则()f x 在R 上是增函数
B ．若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >
C ．当a b c >>时，则有bc ac >成立
D ．1y x =+和2(1)y x =+不表示同一个函数 【答案】D
【分析】结合单调性的概念，二次函数的图象，不等式的性质和函数的定义判断各选项，错误选项可举反例说明．
【详解】A 不正确，如1
,0
(),0
x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩满足题意，但在R 上不是增函数；
B 不正确，若0a <且280b a -<，()f x 的图象与x 轴也没有交点；
C 不正确，若5,2,0a b c ===满足a b c >>，但bc ac =；
D 正确，2(1)1y x x =+=+，值域为[0,)+∞，1y x =+值域是R ，不是同一函数． 故选：D ．
10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】ABD
【分析】根据a 的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项． 【详解】0a =时，()1f x =，图象为B ，
若0a <，则()1()sin()f x a ax =+--，此时0a ->． 因此不妨设0a >，1a >，则22T a
π
π=
<，max ()2f x >，图象可能为D ，
若01a <<，则
22T a
π
π=>，max ()2f x <，图象可能为A ． 故选：ABD ．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论． 11．如图，一半径为3的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系
()sin 2y A x ωϕ=++（0A >），则有（ ）
A ．15
2ωπ
=
B ．A =3
C ．215
πω=
D ．A =5
【答案】BC
【分析】根据()sin()f x A x k ωϕ=++的性质结合正弦函数的性质判断． 【详解】由已知水轮上的点P 到水面最大距离为2r +， 因为()sin 2y A x ωϕ=++的最大值为2A +， 所以3A r ==，
又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈，
4226015
ππ
ω⨯=
=． 故选：BC
12．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩
，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，
则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1
【答案】BCD
【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，
341
122
x x <<<<，即可知正确选项.
【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：
∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即1
2
x =或2，
∴
341
122
x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴34
1x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.
三、填空题
13．已知()2
tan 3
πα-=-，则()()()cos 3sin cos 9sin απαπαα-++-+的值为_____________.
【答案】1
5
-
【分析】根据诱导公式化简已知与待求式，待求式分子分母同除以cos α即可求解.
【详解】
()2
tan 3
πα-=-,
2
tan 3
α∴=,
()()()cos 3sin cos 3sin 13tan 121cos 9sin cos 9sin 19tan 165
απααααπααααα-++---∴====--+-+-+-+
故答案为：1
5
-
【点睛】本题主要考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.
14．若函数2
21()f x x x =+与2()(,)ax bx a
g x a b R x
++=∈的图像有交点，
则222a b +
的最小值为_________. 【答案】
43
【分析】将问题转化为方程()()f x g x =有解,即2
1120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭有解,设()12x t t x
+
=≥,则220t at b ---=,
令c =,
则2
20t b --=,再将关于t
的方程2
20t b --=看成关于,c b
的直线方程220b t -+-=,则22c b +可视为直线上的点(),c b 到原点的距离的平方,进而求解即可
【详解】由题,令()()f x g x =,所以22
21ax bx a
x x x
+++=
,即22
210ax bx a
x x x
+++-=,
所以方程2
1120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭有解,
设()1
2x t t x
+
=≥,则220t at b ---=,
令c =,
则a =
,
所以220t b --=, 则22222a b c b +=+, 将关于t
的方程2
20t b --=看成关于,c b
的直线方程220b t -+-=, 则22c b +可视为直线上的点(),c b 到原点的距离的平方, 其最小值即为原点到直线的距离的平方, 所以
()(
)2
22
2
222
23222161601212t d t t t ⎛⎫
-===++-≥=++
,当且仅当22t =时等号成立,
因为2t ≥,所以当24t =时能取得最小值,此时2
43
d =
, 所以222a b +的最小值为
43
故答案为:
43
【点睛】本题考查函数与方程的应用,考查转换主元的思想,考查数形结合思想,将关于t 的方程看成关于,c b 的直线方程是解题关键
15．已知a >0，b >0，若469log log log ()a b a b ==+，则
b
a
=________.
【答案】
1
2
【分析】设469log log log ()a b a b m ==+=，可得2
b a b a
+=，构造方程即可求b a .
【详解】设469log log log ()a b a b m ==+=，则4,6,9m m m
a b a b ==+=，
∴22
366944m m m
m m b a b a
+====，
∴整理得2
()10a a
b
b
+
-=，又a >0，b >0，
∴
b a =
，
， 【点睛】关键点点睛：利用指对数的互化，结合已知条件构造方程求解. 16．设常数a R ∈，则方程1x
x a e +⋅=的解的个数组成的集合是A =_______. 【答案】{}1,2,3
【分析】根据条件可知||1x x a e +=即1
||x
x a e +=，利用数形结合思想画出1()x e 与||x a +的图象，由交点个数即可求出答案．
【详解】由题意得：11x
x x a e x a e +⋅=⇔+=，设()1x
f x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()g x x a =+，
在直角坐标系中分别画()f x ，()g x 的图象，如图所示：
所以方程解的个数可能为1个或2个或3个. 故答案为：{}1,2,3.
【点睛】本题运用等价转换，数形结合思想可求出方程解得个数，要求学生掌握指数函数图像和含绝对值的一次函数图像的画法，注意图像的翻折． 17．已知函数()sin()0,||
2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
，4π
x =-
为()f x 的零点，4
x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，则ω的所有可能取值组成的集合为___________. 【答案】{}1,3,5,9
【分析】先根据正弦函数的零点以及对称轴，判断ω为奇数，又由()f x 在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调，可得()12182
k k π
π
π
πωϕπ∴
+≤⋅
+<
++且
()5++1,2362
k k k Z ππππωϕπ<⋅+≤+∈，由此求得ω的范围，检验范围内的每一个奇数即可.
【详解】解：函数数()sin()0,||
2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+> ⎪⎝
⎭
，4
π
x =-
为()f x 的零点，4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴，
,4n n Z πωϕπ⎛⎫
∴-+=∈ ⎪⎝⎭
且,42n n Z ππωϕπ''⋅+=+∈，
相减可得()
,2
2
2
n n k k Z π
π
π
ωππ'⋅
=-+
=+
∈，
即21k ω=+，即ω为奇数， 又()f x 在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，
()12
182
k k πππ
πωϕπ∴
+≤⋅
+<
++①
且()5++1,2362
k k k Z πππ
πωϕπ<⋅
+≤+∈②， 由①②可得3
,1236
ωππω≤∴≤，故奇数ω的最大值为11， 当11ω=时，11,,||,424k k Z ππ
πϕπϕϕ-+=∈≤∴=-，
此时()sin 114f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上不单调，不满足题意； 当9ω=时，,,||,4
4
9
2
k k Z π
π
πϕπϕϕ-+=∈≤
∴=
，
此时()sin 9+4f x x π⎛
⎫= ⎪⎝
⎭在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；
当7ω=时，,,||,42
74
k k Z π
π
πϕπϕϕ-+=∈≤∴=-
，
此时()sin 74f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上不单调，不满足题意； 当5ω=时，,,||,44
52
k k Z π
π
πϕπϕϕ-+=∈≤∴=
，
此时()sin 5+
4f x x π⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，满足题意； 当3ω=时，,,||,42
3
4
k k Z π
π
πϕπϕϕ-+=∈≤∴=-
，
此时()sin 34f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增，满足题意； 当1ω=时，,,||,4
4
1
2
k k Z π
π
πϕπϕϕ-+=∈≤
∴=
，
此时()sin +4f x x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，满足题意；
则ω的所有可能取值组成的集合为{}1,3,5,9. 故答案为：{}1,3,5,9.
【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质，关键要求出ω的范围，并且要对范围内的数值进行检验，计算量较大，难度较大.
四、解答题
18．已知函数2()2cos 1f x x =-，x ∈R .
（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； （2）求函数f (x ) 的最小正周期； （3
）设()24g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，求g (x ) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域.
【答案】（1）
1
2
；（2）π；（3
）[2]； 【分析】（1）由二倍角公式得()cos 2f x x =，代入即可求6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）由（1）所得三角函数式即可求f (x ) 的最小正周期； （3）由已知有()2sin(2)3g x x π
=+
，0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有42333x πππ≤+≤即可求值域. 【详解】（1）2
()2cos 1cos 2f x x x =-= ∴1cos 632f ππ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
； （2）由（1）知：22||2
T ππ
πω=
==； （3
）由题意：()cos(
2)2sin 222sin(2)23
g x x x x x x π
π
=-=+=+，
∴在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有42333x πππ≤+≤ ，所以()g x
值域为[2]. 19．某厂每年生产某种产品x 万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年
固定成本为20万元，浮动成本220,025()1600
41200,25x x x k x x x x ⎧+<≤⎪
=⎨+->⎪
⎩
，.若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.
（1）设年利润为()f x （万元），试求()f x 与x 的关系式；
（2）年产量x 为多少万件时，该厂所获利润()f x 最大？并求出最大利润.
【答案】（1）22020,025
()1600
180,25x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪
=⎨--+>⎪⎩
；（2）产量40x =（万件）时，该厂所获利润()f x 最大为100万元．
【分析】（1）由销售收入减去成本可得利润； （2）分段求出()f x 的最大值，然后比较可得．
【详解】（1）由题意22020,025
()40()201600
180,25x x x f x x k x x x x ⎧-+-<≤⎪
=--=⎨--+>⎪⎩； 即22020,025
()1600
180,25x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪
=⎨--+>⎪⎩
； （2）025x <≤时，22
()2020(10)80f x x x x =-+-=--+，10x =时，
max ()80f x =，
当25x >时，1600
()()180f x x x
=-+
+在(25,40]是递增，在[40,)+∞上递减， 40x =时max ()100f x =，
综上，产量40x =（万件）时，该厂所获利润()f x 最大为100万元．
【点睛】本题考查函数模型的应用，根据所给函数模型求出函数解析式，然后由分段函数性质分段求出最大值，比较后得出函数 最大值．考查学生的应用能力． 20．已知函数2
1
()log 1
x f x x -=+,()31g x ax a =+-,()()()h x f x g x =+. (1)当1a =时,判断函数()h x 在(1,)+∞上的单调性及零点个数;
(2)若关于x 的方程2()log ()f x g x =有两个不相等实数根,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)在(1,)+∞上为增函数,一个;(2)1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. 【分析】（1）当1a =时，分别判断出()f x 和()g x 在()1,+∞上的单调性，由此判断出
()h x 在()1,+∞上的单调性.利用零点存在性定理，判断出()h x 在区间()1,+∞上的零点
个数.
（2）化简方程2()log ()f x g x =，分离出常数a ，结合二次函数的性质，求得a 的取值范围. 【详解】由
1
01
x x ->+，解得1x <-或1x >. （1）由于2
212()log log 111x f x x x -⎛
⎫==- ⎪++⎝⎭
，由于211y x =-+在()1,+∞上递增，根
据复合函数单调性可知，()f x 在()1,+∞上递增，当1a =时，()3g x x =在()1,+∞上递增，所以()h x 在()1,+∞上递增.由于()()221.1 3.3log 210,26log 30h h =-<=->，
()()1.120h h ⋅<，所以()h x 在区间()1,+∞上有1个零点.
（2）方程2()log ()f x g x =可化为()2
21
log log 311
x ax a x -=+-+，即1311x ax a x -=+-+，化简得()()2
311x x a
-=-+，（1x <-或1x >），画出()()311y x x =-+（1x <-或1x >）的图像如下图所示，要使()()2
311x x a
-=-+有
两个解，则需24a -
>，解得102a -<<.所以实数a 的取值范围是1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查根据方程解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（
已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值；
（II ）若006(),[,]542
f x x ππ
=
∈,求0cos2x 的值. 【答案】（1）周期为π，最大值为2，最小值为-1 （2）
34310
- 【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为
()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再利用周期2T πω=可得最小正周期,由0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
找出26x π+对
应范围,利用正弦函数图像可得值域;（
2） 先利用求出0cos 26x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
,再由角的关系展开后代入可得值.
试题解析:（1）
所以 又
所以
由函数图像知.
（2）解：由题意
而 所以
所以
所以 =.
【解析】三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式
22．定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，已知当[]4,0x ∈-时，()()143x x
a R f a
x =
+∈．
（1）求()f x 在[]0,4上的解析式； （2）若[]2,1x ∈--时，不等式()11
23
x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()34x
x
f x =-；（2）17,2⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
. 【分析】（1）由已知可得()00=f ，求出1a =-，从而可得[]4,0x ∈-时，
()1143=
-x x f x ，当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，则有()114343
---=-=-x x
x x
f x ，再结合奇函数的可求得结果；
（2）由()1123x x m f x -≤-，可化为1121222323x x
x x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后构造函数
()12223x x
g x ⎛⎫⎛⎫
=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，利用其单调性求出()g x 在[]2,1x ∈--的最大值即可
【详解】（1）因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，[]4,0x ∈-时，()143x x
a
f x =+，
所以()00
10043=
+=a f ，解得1a =-，所以[]4,0x ∈-时，()11
43
=-x x f x ． 当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，所以()11
4343
---=
-=-x x x x f x ， 又()()f x f x -=-，所以()43x
x
f x -=-，()34x
x
f x =-， 所以()f x 在[]0,4上的解析式为()34x
x
f x =-．
（2）由（1）知，[]2,1x ∈--时，()1143=-x x
f x ， 所以()1123x x m f x -≤
-可化为11114323
x x x x m --≤-， 整理得1121222323x
x
x x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令()12223x x
g x ⎛⎫⎛⎫
=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，根据指数函数单调性可得，
12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与23x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭都是减函数，所以()g x 也是减函数．
因为[]2,1x ∈--时，不等式()1
1
23x x m f x -≤
-恒成立，
等价于()m g x ≥在[]2,1x ∈--上恒成立， 所以，只需()()max 91724242
m g x g ≥=-=+⨯
=， 所以实数m 的取值范围是17,2⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
． 【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，属于中档题
23．如图，在半径为3，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .
（1）按下列要求写出函数的关系式： ①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值. 【答案】（1）①2233302y x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝
⎭.②2
3sin cos 303y πθθθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭；
（2）选择②6
π
θ=
3
. 【分析】（1）①根据PN ＝QM =x 3，圆心角为60°，分别求得
tan 60
QM
OM =
，23ON x =-MN 求解；②根据∠POB ＝θ，结合半径为
360°
，求得3,3PN ON θθ==，再由tan 60
PN
OM =，进而得到MN 求解.
（2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化3326y πθ⎛⎫
=+
⎪
⎝
⎭，
利用直线函数的性质求解. 【详解】（1）①因为PN ＝QM =x ， 所以3
tan 60QM OM x =
=，
而ON =
所以MN ON OM x =-=，
所以2y x =. 因为点P 在扇形的弧上，
所以30602
x <<=，
所以2302y x x ⎛⎫=<< ⎪⎝
⎭ ②因为∠POB ＝θ，
所以,PN ON θθ==，
而sin tan 60
PN
OM θ=
=，
所以sin MN ON OM θθ=-=-，
所以)
sin y θ
θθ=-.
因为点P 在扇形的弧上， 所以π0
θ
3
，
所以)
2sin 3sin cos 03y πθ
θθθθθθ⎛
⎫=-=-<< ⎪⎝
⎭.
（2）选择②2
33sin cos sin 22y θθθθ==
3sin 222θθ=
+，
26πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 因为π0
θ
3
，
所以
526
6
6
π
π
πθ<+
<
，
当6
π
θ=
时，函数取得最大值
2
. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为
2π
ω
，
y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π
ω
. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。