二轮复习12空间中的平行与垂直

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专题四 第2讲
典范研究 安徽，文19 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1 例2： 2012· 中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意 一点．
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专题四 第2讲
(1)证明：BD⊥EC1； (2)如果AB＝2，AE＝ 2，OE⊥EC1，求AA1的长．
专题四 第2讲
典范研究 四川高考下列命题正确的是( 例1：2012· )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直 线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则 这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两 个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
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专题四 第2讲
考向一
空间位置关系的判定 命题指数：★★★★
精彩看点 空间线面关系的考查主要是考查线线、线面、面面三者的 平行、垂直关系，其中推理论证的关键是要结合空间想象力进 行推证，防止考虑不全导致推断片面，题目难度不大，以容易 题和中档题为主.
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专题四 第2讲
考点6：二面角的求法 ①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法． 垂线法是最重要的方法，具体步骤如下： ①弄清该二面角及它的棱． ②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直 线(往往先找垂面再找垂线)．
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专题四 第2讲
[解析]
由面面垂直的性质定理可得，α⊥β，α∩β＝m，b
⊂β，b⊥m⇒b⊥α.又∵a⊂α，∴a⊥b，但反之则不成立．
[答案]
A
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专题四 第2讲
4.
2012· 大纲全国，文16 已知正方体ABCD－A1B1C1D1
(3)公理3
∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.
三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面． ②过两条平行直线有且只有一个平面． ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．
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专题四 第2讲
(4)公理4 ∵a∥c，b∥c，∴a∥b. (5)等角定理 ∵OA∥O1A1，OB∥O1B1， ∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180° .
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专题四 第2讲
考点3：直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理 ∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α. (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. (3)面面垂直的判定定理 ∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β. (4)面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.
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专题四 第2讲
[思路探究] 本题主要考查立体几何中的线面位置关系， 考查学生的空间想象能力．解决此类题目的关键是熟练应用线 线、线面、面面垂直和平行的判定定理及性质定理．
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专题四 第2讲
[自主空间] 对于A，位于某一个平面内的两条相交直线与 该平面所成的角均为零，因此选项A不正确；对于B，当平面α ⊥平面β，α∩β＝l时，在平面α内作直线m⊥l，n⊥l，垂足分别 为A、B，分别在直线m、n上取AD＝AE＝BF，显然此时点D， E，F到平面β的距离相等，但此时α∩β＝l，因此选项B不正 确；对于C，由定理“如果一条直线平行于两个相交平面，那 么这条直线平行于这两个平面的交线”得知，选项C正确；对
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专题四 第2讲
核心考点整合
感悟真题落实考点
(对应学生用书P045)题四 第2讲
考题为证 1. ( ) A. 若l∥α，l∥β，则α∥β B. 若l∥α，l⊥β，则α⊥β C. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β 2012· 浙江，文5 设l是直线，α，β是两个不同的平面
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专题四 第2讲
1 ∴S△OAB＝ ×2 3×2 3×sin60° ＝3 3. 2
[答案]
3 3
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专题四 第2讲
核心考点 考点1：点、线、面的位置关系 (1)公理1 (2)公理2 面． ∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α. ∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平
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专题四 第2讲
[解析]
对于A，m、n可能异面，对于B，直线在平面内也
成立，对于D，线在平面内、与平面平行、相交均可能存在．
[答案] C
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专题四 第2讲
考向二
直线、平面的平行与垂直 命题指数：★★★★★
精彩看点 空间几何中的平行、垂直关系的证明一般是考查线线、线 面、面面的平行和垂直关系的证明，其中由“线线平行”证明 “线面平行”，“线线垂直”证明“线面垂直”是考查的热 点，而面面垂直主要由线面垂直得出，也时常作为一个考查要 点.
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专题四 第2讲
a a 2 2 ＋2 ＋a ＋22－a2 3 ＝ . a a 5 2 2 2 2 a ＋2 a ＋2
a cos∠AEA1＝ 2
2
3 [答案] 5
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专题四 第2讲
考点4：异面直线所成角的求法 先通过作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这 个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所 求．
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专题四 第2讲
考点5：直线与平面所成角的求法 先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与 垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就 是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．
中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成 角的余弦值为________．
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专题四 第2讲
[解析] 设正方体的棱长为a.连接A1E，可知D1F∥A1E，
∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的 角，在△AEA1中，
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第二部分
专题知识大突破
专题四
立体几何
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专题四 第2讲
第2讲 空间中的平行与垂直
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专题四 第2讲
核心考点整合
热点考向聚焦
一线命题猜想
考技特别讲堂练
适考素能特训
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专题四 第2讲
影像考纲
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专题四 第2讲
[解析]
A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，
C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l⊂β，D选项由α⊥β，l∥α 不能确定l与β的位置关系．
[答案] B
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专题四 第2讲
2. ( )
2011· 浙江，文4 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则
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专题四 第2讲
于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面 ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，但此时平面ABB1A1与平面 BCC1B1相交，因此D不正确．综上所述，选C.
[答案] C
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专题四 第2讲
③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连 接垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的 平面角． ④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．
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专题四 第2讲
热点考向聚焦
深度透析解密高考
(对应学生用书 P046)
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专题四 第2讲
现场演练 洛阳市统考 已知α、β是两个不同的平面，m、n是 1. 2012· 两条不重合的直线，下列命题中正确的是( A. 若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α C. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D. 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β )
不同寻常的一本书，不可不读呦！
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专题四 第2讲
影像考纲
1. 空间位置关系的判定 2. 直线、平面的平行与垂直 3. 折叠中的位置关系问题
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专题四 第2讲
考情分析
一线特级教师的教导，不可不听呦！ 1．空间线面平行、垂直关系的判断与命题或充要条件相结 合，主要以选择题、填空题的形式进行考查； 2. 空间线面平行、垂直关系的证明与几何体的体积、表面 积的求解或空间角、距离的求解相结合综合命题，也是历年高 考命题的一大热点，主要以解答题的形式进行考查.
专题四 第2讲
方法点拨：
对于与空间平行、垂直关系有关的命题的判
断，只需从中找到一个错误的或正确的即可，此时应借助特殊 的几何体，尤其是长方体、正方体等，根据其几何特征举出反 例来否定某些结论；对于正确的结论，一定要根据空间平行与 垂直的判定定理、性质定理进行简单的逻辑证明，注意检查定 理中的条件是否完备，同时牢记一些典型的错误说法，以帮助 解题.
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专题四 第2讲
[思路探究]
(1)在长方体中欲证线线垂直，先证线面垂
直．(2)求长方体中线段的长度，根据已知线段的长度及三个直 角三角形的边与边之间的联系即可求解．
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[自主空间]
(1)连接AC，A1C1.
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考点2：直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理 ∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α. (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b. (3)面面平行的判定定理 ∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.
[答案]
B
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专题四 第2讲
安徽，理6 设平面α与平面β相交于直线m，直线a 3. 2012· 在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥ b”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
专题四 第2讲
辽宁，文16 已知点P，A，B，C，D是球O表面上 5. 2012· 的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2 3的正方形． 若PA＝2 6，则△OAB的面积为________．
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专题四 第2讲
[解析]
如图所示，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC.
由底面是正方形知，BD⊥AC. 因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD. 又由AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C. 再由EC1⊂平面AA1C1C知，BD⊥EC1.
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专题四 第2讲
故可知PC为球O直径，则PC的中点为O，取AC的中点为 O′， 1 则OO′＝ PA＝ 6， 2 又∵AC＝ 2 32＋2 32＝2 6，PA＝2 6， ∴PC＝ 2 62＋2 62＝4 3， ∴球半径R＝2 3，故OC＝OA＝OB＝2 3， 又∵AB＝2 3，∴△OAB为等边三角形．
A. α内的所有直线与l异面 B. α内不存在与l平行的直线 C. α内存在唯一的直线与l平行 D. α内的直线与l都相交
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专题四 第2讲
[解析]
由题意知不妨设直线l∩α＝M，对A，过M点的α内
的直线与l不异面，A错误；对B，假设存在与l平行的直线m， 则由m∥l得l∥α，这与l∩α＝M矛盾，故B正确；C显然错误； 对D，α内也存在与l异面的直线，故D错误． 综上知选B.