2022-2023学年广东省广雅中学高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省广雅中学高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，z ＝1+i ，则z 2﹣|z |2＝（ ） A ．0

B ．2﹣2i

C ．2i ﹣2

D ．2i +2

2．已知集合M ＝{x |0＜ln （x +1）＜3}，N ＝{y |y ＝sin x ，x ∈M }，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣1，1]

B ．（﹣1，1]

C ．（0，1]

D ．[0，1]

3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝3，且S 8＝a 8，则a 19＝（ ） A ．﹣15

B ．﹣18

C ．﹣21

D ．﹣22

4．已知向量a →

，b →

满足a →

⋅b →

=−2，且b →

=(1，√3)，记c →

为a →

在b →

方向上的投影向量，则|b →

−c →

|=（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

5．小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（ ） A ．

1920

B ．1

20

C ．4

5

D ．1

5

6．已知双曲线C ：

x 2

a 2

−

y 2b 2

=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的

一条渐近线的垂线，垂足为D ，且|DF 2|＝2√2|OD |，则C 的离心率为（ ） A ．√2

B ．2

C ．√5

D ．3

7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ﹣1）关于（1，0）中心对称，f （x +1）是偶函数，且f(−3

2

)=1．则下列选项中说法正确的有（ ） A ．f （x ）为偶函数 B ．f （x ）周期为2 C ．f(9

2

)=1

D ．f （x ﹣2）是奇函数

8．已知实数x ，y 满足e x ＝ylnx +ylny ，则满足条件的y 的最小值为（ ） A ．1

B ．e

C ．2e

D ．e 2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知x ＞y ＞0，且x +y ＞1，则（ ） A ．x 2＞y 2

B ．x 2﹣x ＜y 2﹣y

C ．2x ＞2y

D ．lnx +lny ＞0

10．在平面直角坐标系xOy 中，点P （1，0）绕点O 逆时针旋转α后到达点Q （x 0，y 0），若cosα−√3sinα=

−22

13

，则x0可以取（）

A．1

26B．

7√3

26

C．−15√3

26

D．−2326

11．已知点P是圆C：x2+y2＝8上的动点，直线x+y＝4与x轴和y轴分别交于A，B两点，若△P AB为直角三角形，则点P的坐标可以是（）

A．（﹣2，﹣2）B．（﹣2，2）C．(1+√3，1−√3)D．(1−√3，1+√3)

12．如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为2√3，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB∥CD，AB＝6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）

A．若平面DMN交线段BB1于点R，则NR∥DM

B．若平面DMN过点B1，则直线MN过定点

C．△ABQ的周长为定值

D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则1

tan2α+

1

tan2β

的取值范围是[3

2

，9

2

]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的条件．

14．已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为．

15．在三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，AB=2√2，BD＝

2，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．

16．若数集S 的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S 的超子集．已知集合A n ={1，2，3，⋯，n}(n ∈N ∗，n ≥3)，记A n 的超子集的个数为a n ，则a 9＝ ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝AB ＝4，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，F 为AD 的中点． （1）证明：BD ⊥平面PEF ； （2）求三棱锥B ﹣PCE 的体积．

18．（12分）已知函数f(x)=2sinxcosx +√3(sin 2x −cos 2x)． （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；

（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，f(A)=√3，求△ABC 周长的最大值．

19．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n −1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）解关于n 的不等式：a 1C n 0+a 2C n 1+a 3C n 2+a 4C n 3+⋯+a n+1C n n

＜2023．

20．（12分）某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一支球队．假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负．

（1）若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少？ （2）若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响．若乙队每局比赛获胜的概率为1

3，设比赛结束时乙队

获胜的局数为X ，求X 的概率分布列与均值．

21．（12分）设点F 为抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点，过点F 且斜率为√5的直线与C 交于A ，B 两点