组合数学第二章课后习题答案

证明：因为G=a +a x+a x +….
x :a =a a + a1a
x :a =a a + a a + a a
x :a =a a + a a + a a + a a
+) …
G-1-X= a +a x-1-X+(a a + a a ) x + (a a + a a + a a ) x +…
因为a =1，得a =1
x -2x-1=0解得：r =1+ r =1-
P(x)= +
A+B=0
-A(1- )-B(1+ )=1
得：A= , B=-
P(x)= ( - )=
P = [(1+ ) -(1- ) ]
P =0, P =1
2.15题（高亮）
解：
特征多项式K(x)= x -x+1
x -x+1=0解得：r = + i=cos +isin =e ,
2.21题（李拂晓）
以知 =C +d ，c和d为常数，n N,求 =5， =-2时的c和d及序列的递推关系。
解：
由题意可知， =c+d=5， =5c-4d=-2,
解得，c=2, d=3,则 =2 +3 ，由此可知，x1=5, x2=-4,为其特征方程的两个特征根，则可知其特征方程为：（x-5）(x+4)=0,即 -x-20=0,所以序列的递推关系为， - -20 =0
2.24题（李拂晓）
设 -2 + =5， =1， =2，求解这个递推关系。
解：
由题意可知，特征方程为： -2x+1=（x-1）（x-1）=0,所以1是二重特征根，令特解为，
=k ,代入递推关系得，
k -2k +k =5
解得，2k=5, k=5/2
故非齐次方程特解是: =5/2 ,
一般解： =5/2 +An+B
特征方程： -12x+36=0
(x-6)(x-6)=0
所以 =(An+B)
(6) -25 =0
特征方程： -25=0
(x+5)(x-5)=0
所以 =A +B
以上题中A,B均是待定常数。
2.20题（李拂晓）
已知 -2 - =0
1．求一般解；什么是一般解？
解：
特征方程： -2x-1=0
[x-(1+ )][x-(1- )]=0
则
相减得：
特征方程是：
两个特征根是：
因为 则（*）的解：
（*）的解可表示为：
其中 是（*）的特解，比较后得：
代入（*）得
即：
故
因为 则（*）的解：
其中 是（*）的特解，比较后得：
代入（*）得
即：
故
递推关系的一般解为：
(7)
对应的特征方程：
有两个特征根： ，其中
令非齐次递推关系的特解为
代入递推关系得：
求母函数的题要化简吗？
2.1题（陈兴）
求序列{ 0，1，8，27， }的母函数。
解：
由序列可得到
因为
设
设
由以上推理可知 =
所以可通过求得 得到序列的母函数：
2.2题（陈兴）
已知序列 ，求母函数
解：
=
因为
所以
所以 就是所求序列的母函数。
2.3题（陈兴）
已知母函数 ，求序列{ }。
解：
=
由 得
所以由两式相加得：对应序列{ }={11，39， }
（1）
解：
递推关系的特征方程为： 其两个特征根为0和4
右端项可以看成 ，m=0且p=0,令特解
代入递推关系：
解的k=5
故非其次方程特解是：
一般解： ，系数A由初始条件确定。
（2）
递推关系的特征方程为： ，其两个特征根为0和-6
右端可以看成 ，其中m=0且p=0,令特解
代入递推关系： ,解的k=
故非其次方程特解是：
则A（x）D（x）=(1-6x+8x )( + + +…)
= +( -6 ) +( -6 +8 ) +( -6 +8 ) +…
= +( -6 )
A（x）= = = +
= =
A = (4 - )，A = (2 - )
A（x）= (4 - ) + (2 - )
= [ ]
=
(b) -6 +8 =0
解：令A（x）= + + +…，D（x）=1+14x+49x
……
a = b
a = b + b
a = b + b + b
……
A(x)= b (1+x+ x +……)+ b x(1+x+ x +……)+ b x (1+x+ x +……) +……
=(1+x+ x +……)( b + b x+ b x +……)
= =
2.14题（高亮）
解:
特征多项式K(x)= x -2x-1
设
证明：
(1)
(2)
(3)因为 ，所以有
证明（1）
（2）
展开(1-x2)G=(1+x)/(1-2x+x2)
当 时有
(3)
=
=1
2.10题（顿绍坤）
证明(1)
(2)求H的表达式。
证明(1)设H的第K+1项为h ，则
h = = = ，
设G的前K+1项的和为G ，则G = = + +…+
而 + +…+
=1+ + +…+
又由 =B=1, =5/2+A+B=2,可知，A=-3/2, B=1.
所以
=5/2 -3/2n+1
2.25题（孙明柱）
设{an}序列的母函数为：
,但b0=a,b1=a1-a0, …,bn=an-an-1, …,求序列{bn}的母函数
解 2.26题（孙明柱）
设G=a0+a1x+a2x2+…,且a0=1,an=a0an-1+a1an-2+…+an-1a0,试证1+xG2=G.
G= 即为所求
(1－3x＋3x —x )=(1－x)
(1－3x＋3x —x )G
=(1－x) G
=(1－x)
=x+1
求解完毕。
①说明：可以由 =
2.12题（顿绍坤）
已知 a = , = ,求序列{ a }的母函数。
解:设序列{ a }的母函数为G(x),
则G(x)= a +a x+a x+…+a x + a x +…
r = - i= cos -isin = e
A(x)= +
A +A =1, A r + A r =0
解得：A =1，A =
a =A cos +A sin = cos + sin
a =1, a =1
2．16题（高亮）
证明序列 ， ， ，…， 的母函数为（1-x）
证明：
当m=0时，命题成立。
假设对于m-1，命题成立，即 =（1-x） ，
解：
特征方程： -6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
(2)
特征方程： +14x+49=0
(x+7)(x+7)=0
所以
（3） -9 =0
特征方程： - 9=0
（x-3）（x+3）=0
所以 =A +B
(4) -6 -7 =0
特征方程： -6x-7=0
(x-7)(x+1)=0
所以 =A +B
(5) -12 +36 =0
=1+ [3*2+4*3+…+(k+2)(k+1)]
=1+ (1+ 2 + 3 +…+k +3+6+…+3k+2+2+…+2)①=1+ [ k(k+1)(2k+1)+ +2k]
=1+ + +k
=
=
= h
H=
①{注释：均为k项，分别为平方数列，等差数列，常数列}
(2)由H=1+4x+10x +20 x +…+( ) x +…
2.4题（陈兴）
已知母函数 ，求序列{ }。
解：
=
则 =
2.5题（陈兴）
设 ，其中 是Fibonacci数。证明： ，n=2.3.4…..
求{ }的母函数。
解：
(1).已知 则 =
则
则
(2)． 为什么？
=
=
=
=
这他娘的对吗？
2.6题（陈兴）
求序列{1，0，2，0，3，0， }的母函数。
解：
序列 = = =
所以G-1-x= (a a + a a ) x + (a a + a a + a a ) x +…
=a0a1x +a a x + a a x + a a x + a a x +…
= a (a x + a x +…)+ a x(a x+a x …)+ a x ( a x +…)+…
= a a x +a a x +…+ a x(a x+a x +…)+ a x a x +…
2.22题（李拂晓）
以知 =c +d ，c和d为常数，n N,求{ }满足的递推关系。
解：
由题意可知， 的特征方程为，（x-3）（x+1）=0,即 -2x-3=0,所以递推关系为 -2 -3 =0
2.23题（李拂晓）
=（ + n） , 和 是常数，n N,求{ }满足的递推关系。
解：
由题意可知， 的特征方程为，（x+3）（x+3）=0,即 +6x+9=0,所以递推关系为 +6 +9 =0。
即： 解的k=4
故非其次方程特解是：
一般解： ,系数A由初始条件确定。
（5）
则
相减得：
特征方程是：
两个特征根是：
因为 则（*）的解：
（*）的解可表示为：
其中 是（*）的特解，比较后得：
代入（*）得
即：
故
因为 则（*）的解：
其中 是（*）的特解，比较后得：
代入（*）得
即：
故
递推关系的一般解为：
（6） （*）
= =
2.7题（顿绍坤）
设 =1/(1-x^2)^2
求
解
设 为什么等于这个？
所以
1）
2）
2.8题（顿绍坤）
求下列序列的母函数：
(1)1,0,1,0,1,0，…
(2)0,-1,0,-1,0,-1,…
(3)1,-1,1,-1,1,-1,…
解：
(1)
(2)
(3)
此题为什么不等于1/(x+1)？
2.9题（顿绍坤）
解：令A（x）= + + +…，D（x）=1-9x
则A（x）D（x）=(1-9x )( + + +…)
= + +( -9 ) +…
= +
A（x）= = +
= =
A = + ，A = -
A（x）= ( + ) +( - )
= [ ]
=
2.19题（李拂晓）
用特征值法求习题2.18的解。
（1） -6 +8 =0
所以 =A +B
A,B均是待定常数。
2.求满足 =0， =1的特解。特解？
解：
根据1题求出的一般解，把 =0， =1代入 =A +B 中，有 =A+B=0， =A(1+ )+B(1- )=1,
解得A= /4,B=- /4,
所以 = /4 - /4 。
3．求满足 = =2的特解。
解：
原理同2题，把 = =2代入 =A +B 中，有 =A+B=2， =A(1+ )+B(1- )=2,解得A=1,B=1,所以， = + 。
a = =1+2 +3 +…+n +(n+1)
G(x)=1+(1+2 )x+(1+2 +3 )x +…+(1+2 +3 +…+n +(n+1) ) x +…
=1+x+ x +…x +…
+2 x(1+x+ x +…x +…)
+3 x (1+x+ x +…x +…)+
+(n+1) x (1+x+ x +…x +…)+
=1+ + x +…+ +…
对其3次积分得
=
对此积分式3次求导得
H=((( )))’’’
求解完毕
2.11题（顿绍坤）
a =(n+1) ,G= =1+4x+…(n+1) x +…,证明(1-3x+3x -x )G是一个多项式,并求母函数G。
解: G= = =
G = + + ①
G =xG+ +
G(1－x)=
一般解： ，系数A由初始条件确定。
（3）
递推关系的特征方程为： ,其两个特征根为0和4
右端可以看成 ，m=1，p=0,令特解
代入递推关系：
即 解的k=1
故非其次方程特解是：
一般解： ，系数A由初始条件确定。
（4）
递推关系的特征方程为： ，其两个特征根为0和-6
右端可以看成 ，m=1，p=0，令特解
代入递推关系：
则G (X)= = +
=X G (X)+（1-x）
(1-X) G (X)=（1-x） ，
G (X)= =（1-x） 归纳法！
2.17题（高亮）G=1/（1-x）^2
2.18题（高亮）
(a)An-6An-1+8An-2=0
(a) -6 +8 =0
解：令A（x）= + + +…，D（x）=1-6x+8x
=a a x+a a x +a a x +…+a x(a x+a x …)+ a x a x +…-x
=-x+(a x+a x +…)(a +a x +…)=-X+X(a +a x +…) (a +a x +…)
所以：G-1-X=-X+(a +a x +…) x
G-1=G x
2．27题（孙明柱）
求下列递推关系的一般解：
非递推关系的一般解为：
,系数A由初始条件确定。
(8)
对应的特征方程:
有两个特征根： ,
令非齐次递推关系的特解为：
代入递推关系得：
非递推关系的一般解为：
,系数A由初始条件确定。
(9)
对应的特征方程:
则A（x）D（x）=(1+14x+49x )( + + +…)
= +( +14 ) +( +14 +49 ) +( +14 +49 ) +…
= +( +14 )
A（x）= = = +
= =
A = (14 + )，A =- (7 + )
A（x）= (14 + ) - (7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ )
= [ ]
=
(c) -9 =0
= (1+x+ x +…x +…)(1+2 x+3 x +…+n x + (n+1) x +…)
=
=
G=
G= 即为序列{ a }的母函数。
求解完毕。
2.13题（高亮）
解：
B(x)=1 +2 x+3 x +……
1: a =1 b =1
x: a =1 +2 b =2
x : a =1 +2 +3 b =3