变化率与导数(教学设计)

3.1变化率与导数（教学设计）（2）
3．1．2导数的概念
教学目标：
1、知识与技能：
通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：
①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。

②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点
重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
教学过程：
一、创设情景，引入新课：
1、回顾上节课留下的思考题：
在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关
系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在
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t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：
大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

为什么会产生这样的情况呢？
二、师生互动、新课讲解：
问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？
问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算
(2)(2)
h t h
t
+∆-
=
∆
v的值？
学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，
问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？
让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)
lim 13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？
运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()
lim t h t t h t t
∆→+∆-∆
（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？
类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()lim
v r v v r v v
∆→+∆-∆
（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？
导数的概念：
从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:
000
0()()lim
lim x x f x x f x f
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'
|x x y =，即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率
（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000
()()
()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-
例1：求函数y =3x 2
在x =1处的导数.
分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2
再求
6f x x
∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆
解：222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 例2：求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x
∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆
例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

如果在第x h 时候，原油温度（单位：c ︒
）为y=2()715(08)f x x x x =-+≤≤ （1）计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h 和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

步骤：
①启发学生根据导数定义，再分别求出(2)f '和(6)f '
②既然我们得到了第2h 和第6h 的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？ ③大家是否能用同样方法来解决问题二？
③ 师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，
0(2)()f x f x f x x
+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)
3x x x x
+∆-+∆+--⨯+==∆-∆
所以00
(2)lim
lim (3)3x x f
f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆
同理可得:(6)5f '=
在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h
的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．
注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 备注：
（1）函数f(x)在x=x 0处的导数即为函数y=f(x)在x=x 0年的瞬时变化率； （2）瞬时变化率是平均变化率的极限；
（3）x ∆=x-x 0，当∆x →0时，x →x 0，所以0000()()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
（4）由定义知：求f(x)在x 0年的导数的步骤为： 1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)
2)算比值：
()()
y f x x f x x x
∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0lim x y
x
∆→∆∆
例4、求下列函数在相应位置的导数
（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x （3）3)(=x f ，2=x 分析：根据导数的定义。

解：
（1）因为：x x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(=x
x x f x f ∆--+∆+=∆-∆+121)2()2()2(22 =
222+∆=∆∆+∆x x
x
x 所以 f’(2)=2)2(lim 0
=+∆→∆x x
（2）因为：
x
x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(=x f x f ∆-∆+)2()2(=x x ∆+⨯--∆+1221)2(2
=2
所以：f ’(2)=22lim 0
=→∆x
（3）因为：
x
x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(=x f x f ∆-∆+)2()2(=
03
3=∆-x 所以：f ’(2)=00lim 0
=→∆x
让学生对导数的概念有进一步的理解，此概念较抽象，学生要熟练掌握它较难，因为通过这例子能使
学生更好地理解导数的概念。

三、课堂小结、巩固反思： 1、瞬时速度的概念 2、导数的概念
3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般 四、布置作业： A 组：
1、（课本P79习题3.1A 组 NO ：2）
2、（课本P79习题3.1A 组 NO ：3）
3、（课本P79习题3.1A 组 NO ：4） B 组：
1、（课本P79习题3.1B 组 NO ：1）
2、若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f 解：
1）因为：x x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(x
x x f x f ∆---∆+=∆-∆+=2
2)12()12()2()2( =
x x
x x ∆+=∆∆+∆222
所以：f ’(2)= 2)2(lim 0
=∆+→∆x x
2）因为f(2)=1。