初中数学勾股定理复习

勾股定理复习
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
一、勾股定理：___________________________________
在Rt△ABC中，∠C=90°，则有________________
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c= ；若b=8，c=17，则a=_______；【变式1-1】如图1，等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则BC边上的高AD=_______.
【变式1-2】如图2：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米.
【变式1-3】一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度为.
【变式1-4】一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边平方为.
二、勾股定理逆定理_____________________________________ 【例2】下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15.
【变式2-1】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B.锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.
【变式2-2】在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 .
三、最短距离问题：主要运用的依据是______________________________
【例3】如右图，有一长70cm ，宽50cm ，高50cm 的长方体盒子，A 点处有一只蚂蚁，想吃到B 点处的食物，它爬行的最近距离是 厘米.
.
【变式3-1】如图,一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )
A.20cm;
B.10cm;
C.14cm;
D.无法确定.
四、本章注意事项
勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：
1、要注意正确使用勾股定理
例1 在Rt △ABC 中，∠B =Rt ∠，a=1
，b =，求c ．
2、要注意定理存在的条件
例2 在边长为整数的△ABC 中，AB >AC ，如果AC=4，BC =3，求AB 的长． 3、要注意原定理与逆定理的区别
π
例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且2
AD BD CD =•，求证：△ABC 为直角三角形．
4、要注意防止漏解
例4 在Rt △ABC 中，a =3，b =4，求c ． 5、要注意正逆合用
在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合．当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言． 例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB =13，AD =12，AC =15，BD =5，那么DC =_________．
6、要注意创造条件应用
例6 如图3，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、D F 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222EF AE BF =+
一.选择题
1. 在△中，若，则△ABC 是（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形 2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则△ABC 的度数为（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A ．三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C ．三边长之比为3：4：5
D.三内角之比为3：4：5
4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为
500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）
ABC 1,2,122+==-=n c n b n
a
A ．2900m
B ．
1200m
C ． 1300m
D ． 1700m
5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ）
A ．ab =h 2
B ．a 2+b 2=h 2
C ．
D ．
6．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，CD △AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC )2等于
( )
A.25
B.325
C.2197
D.405
7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D.
8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，
则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，△BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）
111a b h +=222111
a b h +
=a b c 、、()()22
22221,4,1a m b m c m =-==+()()2
2
2221,4,1a m b m c m =-==+()()2
2
2221,2,1a m b m c m =-==+()()2
2
22221,2,1a m b m c m =-==+
A ． 90
B ．
100 C ．
110 D ．
121
二.填空题
9. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．
10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落
在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝______．
11．已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______．
12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE =1cm ，P 为对角线BD 上
的任意一点，则AP +EP 的最小值是 cm ．
13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP =
BC ．如果用一根细线从点A 开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P ，那么所用细线最短需要 cm ．
1
4
14．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm ，40cm ，50cm 的木箱中，他能
放进去吗？答： （选填“能”或“不能”）．
15. 已知长方形OABC ，点A 、C 的坐标分别为OA =10，OC =4，点D 是OA 的中点，点P 在
BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．
16. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上的中线AD ＝6，△BAD ＝________.
三.解答题
17.如图所示，已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、AB 、AC 边上的点，且AE ＝AF ，BE ＝
BD ，CF ＝CD ，AB ＝4，AC ＝3，
，求：△ABC 的面积．
18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线P A 与腰垂直．
3
2
BD CD。