锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)

c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
.0<sinA<1，0<cosA<1,且无单位.
cos A
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB
=cos(90°－A),cosA=sinB=sin(90°－A).
tanA·tanB=1
随堂练习
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则
sin A的值是（ A ）
A.
B.
C.
D.
B
【解析】由正弦的定义可得 ,
探究新知
核心知识点二： 正弦、余弦和正切的相互转化
例2.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,
求AB,sinB.
B
A
C
你发现了什么？ 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
探究新知
归纳总结 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sin
A
A的对边 斜边
=
a c
cos
B
B的邻边 斜边
B1
∴ A1C1 = B1 A1 ，B1C1 = B1 A1 .
B2
A1C2 B2 A1 B2C2 B2 A1
∴ A1C1 = A1C2 ，B1C1 = B2C2 . B1 A1 B2 A1 B1 A1 B2 A1
C1 C2
A1
探究新知
（3）由于B2是梯子A1B1上任意一点，所以，如果 改变B2在梯子A1B1上的位置，上述结论仍成立.
提示：先利用余弦求出AC的长度，再 利用勾股定理，求出AB的长度即可.
随堂练习
4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则 cosB的值为（ B）
A.
B.
C.
D.
解析：先构建一个直角三角形，利用勾股定 理求出AB的长度，再求解即可.
4 4D
随堂练习
5．如图①是一张Rt△ABC 纸片，如果用两张相同的这
新课标 北师大版 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系 1.1.2锐角三角函数（第2课时）
学习目标
1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三 角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和 梯子倾斜程度的关系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜 边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
随堂练习
7.在△ABC中，∠C=90°，sin A 4 ，BC=20，
5
求△ABC的周长和面积.
解:在Rt △ABC中,
sin A
BC ， AB
A
则AB BC 20 5 25.
sin A
4
C
B
由勾股定理可得:AC=15，
∴S△ABC =15×20÷2=150， C△ABC =20+25+15=60.
∴点B的坐标为(4，3)．
H
A
随堂练习
(2)∵OA＝10，OH＝4， ∴AH＝6． ∵在Rt△AHB中，BH=3， AB BH 2 AH 2 = 32 62 =3 5, cosBAO AH 6 2 5 .
AB 3 5 5
B
H
A
课堂小结
正弦和 余弦
B
对
正弦
边a
C B
余弦
aபைடு நூலகம்
C
锐角三角函数
随堂练习
8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标
为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
3 5
(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．
解：(1)如图所示，作BH⊥OA，
垂足为H．在Rt△OHB中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝ 3 ,
5
B
∴BH=3，OH＝4，
A1
探究新知
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即
sin A＝
A的对边 斜边
BC . AB
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即
cos A＝
A的邻边 斜边
AC . AB
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的 三角函数.当锐角A变化时，相应的正弦、 余弦和正切值也随之变化.
情境导入
在直角三角形中锐角的大小和它的对边与邻边的比值有
密切关系：在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的正切,记作tan A,
即 tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
情境导入
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定 时,你能找出哪些边之间的比值也确 定吗?
B1 倾斜角确定，
倾斜角的对边与斜边的比值，
B2
倾斜角的邻边与斜边的比值
也随之确定.
C1 C2
A1
探究新知
（4）改变梯子A1B1的倾斜角，也就是改变虚 线的位置，可知：
B1
当倾斜角变大时，对边与斜边的比会变大；
邻边与斜边的比会变小；
B2
当倾斜角变小时，对边与斜边的比会变小；
邻边与斜边的比会变大
C1 C2
A
C
.
随堂练习
2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( C )
A.
B. 2 C.
D.
【解析】由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，
随堂练习
3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，
AD=CD，
，BC=10，则AB的值是（C ）
A．9 B．8 C．6 D．3
种纸片恰好能拼成一个等边三角形，如图②，那么在
Rt△ABC中，sin B的值是（B）
A
A.
B.
C. 1 D.
B
C
图①
图②
随堂练习
6.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA = sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A= ∠B; (3)若tanA ·tanB=1，则∠A与∠B的关系是__互__余__
4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个 锐角相等. 6.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
探究新知
梯子的倾斜程度三角函数的关系： 梯子越陡，倾斜角越大，sin越大，cos越小，tan越大 梯子越缓，倾斜角越小，sin越小，cos越大，tan越小
A
A
探究新知
例1、如图，在Rt△ABC中,∠B=90°, AC=200，sin A=0.6 .
求BC的长.
C
解：在Rt△ABC中,
┌
A
B
请你求出cosA , tanA , sinC , cosC和tanC的值.你敢应战吗?
cosA= ， tanA= ， sinC= ， cosC= ， tanC= .