函数、方程与不等式的关系专题训练(含解析)

函数、方程与不等式的关系专题训练
一、 单选题
1．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若方程2(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取
值范围是（ ） A ．4
3
k <
B ．43
k >
C ．4
3k <
，且1k ≠ D ．43
k >，且1k ≠ 2．（2019·江门市第二中学高一月考）若12x x ，是方程2560x x -+=的两个根，则
12
11
+x x 的值为（ ） A ．1
-2
B ．13
-
C ．16
-
D ．
56
3．（2020·河北省鹿泉区第一中学高二月考）已知函数()2
1f x x x =+-，则函数()y f x =的零点的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．（2020·浙江省台州一中高三开学考试）若函数2()|2|f x x x a =--有三个零点，则实数a 的值的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．（2020·浙江省高三其他）已知关于x 的方程20(,)x ax b a b R ++=∈在[0,1]上有实数根，且
322a b -≤+≤-，则2+a b 的最大值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．
1
2
D ．1
6．（2020·浙江省高三其他）已知函数()2
1f x ax bx =++有两个零点1x ，2x ，则“1a ≥”是“122x x +≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．（2020·全国高三月考（文））已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，(1)f x +是奇函数，(1)g x +是偶函数，若()()y f x g x =⋅的图象与x 轴有5个交点，则()()y f x g x =⋅的零点之和为（ ）． A ．5-
B ．5
C ．10-
D ．10
8．（2019·涡阳县萃文中学高一月考）函数y =|x 2-1|与y =a 的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(0，+∞ )
B ．(-1，1)
C ．(0，1)
D ．(1，+∞)
9．（2018·浙江省杭州四中高三月考）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 在（0，1）内有两个零点，则3a b +的取值范围是（ ） A ．(4,0)-
B ．(5,0)-
C ．（0，4）
D ．（0，5）
10．（2020·贵州省高三其他（文））已知函数2
2,0,
(),0,x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩
若函数()(())g x f f x =恰有8个零点，则a 的值不可能为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．12
二、多选题
11．（2019·山东省高一期中）狄利克雷函数()f x 满足：当x 取有理数时，()1f x =；当x 取无理数时，()0f x =.则下列选项成立的是（ ） A ．()0f x ≥
B ．()1f x ≤
C ．3()0-=f x x 有1个实数根
D ．3()0-=f x x 有2个实数根
12．（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()2
2
11x f x x
-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
C ．()f x 在[]2,3上的最大值为
35
D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点
13．（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，
(())1g f x =-，1
(())2
g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（ ）
A ．a b c +=
B ．b c a +=
C ．b a c =
D ．2b c a +=
14．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()22
21,0
21,0
x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
三、填空题
15．（2019·合肥一六八中学高三其他（理））方程220ax bx ++=的一根在区间()0,1上，另一根在区间()1,2上，则2a b -的取值范围是 ．
16．（2020·北京大峪中学高二期中）设函数()2,02,0
x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f -=，()21f -=-，
则方程()f x x =的解的个数是______．
17．（2020·天津大钟庄高中高二月考）已知函数2
,0
(){21,0
x x f x x x x >=--+≤若函数()()2g x f x m =+有三
个零点，则实数m 的取值范围是 ． 四、双空题
18．（2019·浙江省嘉兴一中高三期中）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺.绳长，井深各几何？”其大意为：“用绳子测量井的深度，若将绳三等分，则绳比井的深度长四尺：若将绳四等分，则绳比井的深度长一尺.”则绳长________尺，井深________尺.
19．（2019·浙江省高二月考）已知函数()2
1,2
2,2
x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则()=f f ________，()2
y f x =-的零点有________．
20．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2
()(2)f x x x =+，则函数()f x 的零点是_______；不等式
()0f x ≤的解集为_______.
21．（2018·浙江省高考真题）已知λ∈R ，函数f (x )=2
4,43,x x x x x λ
λ-≥⎧⎨
-+<⎩
，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 五、解答题
22．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数
()2()23f x x ax a a R =-+-∈．
（1）若1a =时，求()f x 在区间1
[,3]2
上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围.
23．（2019·营口市第二高级中学高二月考（文））已知函数2
1()(0)ax f x a x b
+=≠+是奇函数，并且函数()
f x 的图像经过点(1,3). （1）求实数,a b 的值；
（2）若方程()f x m x =+在区间1[,3]2
上有两个不同的实根，试求实数m 的取值范围.
24．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）设()2243,3033,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪
=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩
,
（1）画出函数()f x 的图像； （2）求()f x 的单调增区间；
（3）集合{|M m R x =∈的方程()f x m =有三个不等实根},求?M =
25．（2020·南昌市八一中学高一开学考试）已知函数2
()21f x x ax =-+.
（1）若函数()f x 的增区间是(2,)-+∞，求实数a ；
（2）若函数()f x 在区间(1,1)-和(1,3)上分别各有一个零点，求实数a 的取值范围.
26.（2020·广东省湛江二十一中高二开学考试）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ．
（1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；
（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围，
27．（2020·浙江省高一开学考试）已知函数
()224f x x x x a x =+--，其中a R ∈．
（1）当1a =时，方程()f x b =恰有三个根，求实数b 的取值范围；
（2）若关于x 的不等式()1f x ≥-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求实数a 的取值范围．
二、 单选题
1．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若方程2(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取
值范围是（ ） A ．4
3
k <
B ．43
k >
C ．4
3k <
，且1k ≠ D ．43
k >，且1k ≠ 【答案】C 【解析】
由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得
()1041210k k -≠⎧⎨
∆=-->⎩
，解得4
3k <，且1k ≠. 故选:C.
2．（2019·江门市第二中学高一月考）若12x x ，是方程2560x x -+=的两个根，则
12
11
+x x 的值为（ ） A ．1
-2
B ．13
-
C ．16
-
D ．
56
【答案】D 【解析】
解方程2560x x -+=，即可求得12==3x x ，2，
代入可得：1211115=+=236
x x +， 故选：D.
3．（2020·河北省鹿泉区第一中学高二月考）已知函数()2
1f x x x =+-，则函数()y f x =的零点的个数
是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
函数()2
1f x x x =+-的零点个数即为y x =与2
1y x =-的交点个数
在同一坐标系内作出两函数图象如图所示：
由图象可知y x =与2
1y x =-有2个交点，
即函数()2
1f x x x =+-的零点有两个．
故选：B
4．（2020·浙江省台州一中高三开学考试）若函数2()|2|f x x x a =--有三个零点，则实数a 的值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C 【解析】
函数2()|2|f x x x a =--有三个零点⇔方程2
|2|x x a =-的有三个根⇔函数2y
x 与函数|2|
y x a =-有三个不同的交点， 作出函数2y
x 与|2|y x a =-的图象，如图所示，
（1）当0a =时，显然有三个交点，∴0a =成立，
（2）当2
a
x ≥
时，2y x a =-与2y x 相切时，则220x x a -+=，此时
4401a a ∆=-=⇒=，如图所示
（3）当2
a
x <
时，2y x a =-+与2y x 相切时，则220x x a +-=，此时
4401a a ∆=+=⇒=-，如图所示，
∴a 的值有3个，
故选：C.
5．（2020·浙江省高三其他）已知关于x 的方程2
0(,)x ax b a b R ++=∈在[0,1]上有实数根，且
322a b -≤+≤-，则2+a b 的最大值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．
1
2
D ．1
【答案】B 【解析】
由题意，关于x 的方程20x ax b ++=(),a b ∈R 在[0,1]上有实数根，即函数2()f x x =-与()g x ax b =+在
[0,1]x ∈上的图象有交点，作出函数()f x ，()g x 的大致图象如图所示.
因为322a b -≤+≤-，所以3(2)2g -≤≤-.又1122222a b a b g ⎛⎫⎛⎫+=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以求2+a b 的最大值可以转化为求12g ⎛⎫
⎪⎝⎭
的最大值. 数形结合可知，当()y g x =的图象经过点(2,3)B -且和()y f x =的图象在[0,1]x ∈上相切时，12g ⎛⎫
⎪⎝⎭
大.易求得切点为(1,1)-，且()21g x x =-+，此时102g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 所以2+a b 的最大值为0. 故选：B.
6．（2020·浙江省高三其他）已知函数()2
1f x ax bx =++有两个零点1x ，2x ，则“1a ≥”是“122x x +≤”
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
由题意得0a ≠，且1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，故121
x x a
=
，所以2
1212121
2x x x x x x a ⎛+⎫==⋅≤ ⎪⎝⎭
，当且仅当12x x =时等号成立.若122x x +≤，则1a ≥，反之，若1a ≥，则121x x ⋅≤，当12x =，213
x =时，12213x x ⋅=<，但127
23x x +=>故“1a ≥”是
“122x x +≤”的必要不充分条件， 故选：B .
7．（2020·全国高三月考（文））已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，(1)f x +是奇函数，(1)g x +是偶函数，若()()y f x g x =⋅的图象与x 轴有5个交点，则()()y f x g x =⋅的零点之和为（ ）． A ．5- B ．5
C ．10-
D ．10
【答案】B 【解析】
由题意，(1)(1)f x f x -+=-+⇔(2)()f x f x -=-，又(2)()g x g x -=，
所以(2)(2)()()f x g x f x g x -⋅-=-，所以函数()()y f x g x =⋅的图象关于点(1,0)对称.
设()()y f x g x =⋅的零点为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，易知31x =，设12451x x x x <<<<，则
15242x x x x +=+=，所以123455x x x x x ++++=.
故选：B .
8．（2019·涡阳县萃文中学高一月考）函数y =|x 2-1|与y =a 的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(0，+∞ ) B ．(-1，1) C ．(0，1) D ．(1，+∞)
【答案】C 【解析】
作函数2
1y x =-图象，根据函数图像得实数a 的取值范围为（0，1），选C.
9．（2018·浙江省杭州四中高三月考）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 在（0，1）内有两个零点，则3a b +的取值范围是（ ） A ．(4,0)- B ．(5,0)-
C ．（0，4）
D ．（0，5）
【答案】B 【解析】
由函数2
()f x x ax b =++在（0，1）内有两个零点得2(0)0,
(1)10,40,
01,2f b f a b a b a =>⎧⎪=++>⎪⎪⎨->⎪
⎪<-<⎪⎩
即20,
10,40,20,
b a b a b a >⎧⎪++>⎪⎨->⎪⎪-<<⎩在平面直角坐标系aOb 内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包含边
界），
由图易得目标函数3z a b =+在点（0，0）处取得最大值max 3000z =⨯+=，在点(2,1)-处取得最小值
min 3(2)15z =⨯-+=-，
所以3z a b =+的取值范围为(5,0)-， 故选：B.
10．（2020·贵州省高三其他（文））已知函数22,0,(),0,
x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩若函数()(())g x f f x =恰有8个零点，
则a 的值不可能为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．12
【答案】A 【解析】
易知，当0a ≤时，方程()0f x =只有1个实根， 从而()(())g x f f x =不可能有8个零点， 则0,a >()0f x =的实根为2,a -0,a . 令()f x t =，则(())()0f f x f t ==， 则2,0,t a a =-数形结合可知，
直线y a =与()f x 的图象有2个交点， 直线0y =与()f x 的图象有3个交点，
所以由题意可得直线2y a =-与()f x 的图象有3个交点，
则必有2
24
a a ->-，又0a >，
所以8a >. 故选：A 二、多选题
11．（2019·山东省高一期中）狄利克雷函数()f x 满足：当x 取有理数时，()1f x =；当x 取无理数时，()0f x =.则下列选项成立的是（ ） A ．()0f x ≥
B ．()1f x ≤
C ．3()0-=f x x 有1个实数根
D ．3()0-=f x x 有2个实数根
【答案】ABC 【解析】
因为()f x 的值域为{}0,1，故AB 成立
3()0-=f x x 只有一个根1，故C 成立
故选：ABC
12．（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()22
11x f x x
-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
C ．()f x 在[]2,3上的最大值为
3
5
D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点 【答案】ABCD 【解析】
因为()2
2
11x f x x -=+，所以其的定义域为R ，
A 选项，()22
22
1()1()1()1----===+-+x x f x f x x x
，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，2
22
21111()111⎛⎫- ⎪
-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x
，当[]2,3x ∈，2
1y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 23
21145
==-+
=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-g f ，()()0001=+=g f ，
即()1(0)0-⋅<g
g ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；
故选ABCD
13．（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，
(())1g f x =-，1
(())2
g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（ ）
A ．a b c +=
B ．b c a +=
C ．b a c =
D ．2b c a +=
【答案】AD 【解析】
由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =； 方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =； 方程1
(())2
g g x =-
，()g x 取到4个值，如图所示：
即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =. 根据选项，可得A ，D 成立. 故选：AD ．
14．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()22
21,0
21,0
x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
【答案】CD 【解析】
对于A 选项，当0x >时，0x -<，则 (
)
2
2
()()2()2() 11 f x x x x x f x -=--+-+-≠-+=- 所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =
所以函数221y x x =
++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并
且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增
即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <
则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x -<-<⇒--<⎡⎤⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 2
2
()()2(2 )11f x x x x x -=--+--+=-+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=
当0x <时，0x ->，则2
2
()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；
对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x x
m x m -=⇔
=
令函数()()g x f x x
=
，函数y m =
由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x
=
的图象有两个不同的交点
因为()0f x ≥时，)12,x ⎡∈-+∞⎣，()0f x
<时，()
,12x ∈-∞-
所以12,012,122)01
,12(x x x x x x x x x g x ⎧
++>⎪⎪
⎪
-++-≤<⎨⎪⎪--<-⎩
=⎪
当0x >时，设1
201x x ，()()()()121212121212
111x x x x g x g x x x x x x x ---=+
--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()
()()12121212
10
x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增
同理可证，函数()g x 在区间)12,0⎡-⎣上单调递减，在区间()
,12-∞-上单调递增
1
1241)1
(g ++==
函数()g x 图象如下图所示
由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x
=的图象有两个不同的交点
则实数m 的取值范围是()
()–,04,∞+∞，故D 正确；
故选：CD 三、填空题
15．（2019·合肥一六八中学高三其他（理））方程220ax bx ++=的一根在区间()0,1上，另一根在区间()1,2上，则2a b -
的取值范围是 ． 【答案】()5,+∞
【解析】由题意得，方程220ax bx ++=的一根在区间()0,1上，另一根在区间()1,2上，
令()2
2f x ax bx =++，则()()10
{20 0f f a <>>，即20{210 0
a b a b a ++<++>>，画出不等式组表示的平面区域，如图所示，
设2z a b =-，当2z a b =-经过点()1,3A -点时，目标函数由最小值，此时最小值为()min 2135z =⨯--=，所以2a b -的取值范围是()5,+∞．
16．（2020·北京大峪中学高二期中）设函数()2,0
2,0
x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f -=，()21f -=-，
则方程()f x x =的解的个数是______． 【答案】1 【解析】
()2,02,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，由()()()4021f f f ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩
，即164421b c c b c -+=⎧⎨-+=-⎩，解得43b c =⎧⎨=⎩， ()243,0
2,0
x x x f x x ⎧++≤∴=⎨>⎩.
当0x ≤时，由()f x x =，可得2330x x ++=，
30∆=-<，此时方程()f x x =无解；
当0x >时，由()f x x =，可得2x =，合乎题意. 综上所述，()f x x =的解的个数是1. 故答案为：1.
17．（2020·天津大钟庄高中高二月考）已知函数2
,0
(){21,0
x x f x x x x >=--+≤若函数()()2g x f x m =+有三
个零点，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】1
(1,]2
-- 【解析】
画出函数f(x)图像如上图所示，而函数()()2g x f x m =+有三个零点，即()20f x m +=有三个根，所以
()2f x m =-有三个根，也就是说函数()y f x =与函数2y m =-的图像有三个交点，利用数形结合的方法
可知：122m ≤-<，解得112
m ≤-<-
.
四、双空题
18．（2019·浙江省嘉兴一中高三期中）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺.绳长，井深各几何？”其大意为：“用绳子测量井的深度，若将绳三等分，则绳比井的深度长四尺：若将绳四等分，则绳比井的深度长一尺.”则绳长________尺，井深________尺. 【答案】36 8 【解析】
设绳长为x 尺，井深为h 尺，依题意有：
3(4)4(1)x h x h =+⎧⎨=+⎩，解得36
8
x h =⎧⎨
=⎩， 所以绳长为36尺，井深为8尺. 故答案为：36；8.
19．（2019·浙江省高二月考）已知函数()2
1,2
2,2x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩
，则()=f f ________，()2
y f x =-的零点有________．
【答案】1+ 1个 【解析】
由函数()21,2
2,2x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩
，得1f
=
，
所以，()))
2
1121f
f f ==
-=+
当2x ≤时，由()2120y f x x =-=+-=，解得1x =； 当2x >时，由()2
2220y f x x =-=--=，解得2x =±（舍）. 所以，()2y f x =-的零点有1个.
故答案为：1+1个.
20．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2
()(2)f x x x =+，则函数()f x 的零点是_______；不等式
()0f x ≤的解集为_______.
【答案】2-,0 (]
{}--20∞⋃，
【解析】
解：令2
(2)0x x +=，即0x =或20x +=，即0x =或2x =-， 即函数()f x 的零点是-2,0，
解不等式()0f x ≤，即2
(2)0x x +≤，即0x =或20x +≤，即0x =或2x -≤，
即不等式()0f x ≤的解集为(]
{}--20∞⋃，， 故答案为(1).2-，0 (2).(]
{}--20∞⋃，
.
21．（2018·浙江省高考真题）已知λ∈R ，函数f (x )=2
4,43,x x x x x λ
λ
-≥⎧⎨
-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)+∞
【解析】 由题意得240x x ≥⎧⎨
-<⎩或22430x x x <⎧
⎨-+<⎩
，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是
(1,4),
当4λ>时，()40f x x =->，此时2
()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4
λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2
()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的
取值范围为(1,3](4,)+∞.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 五、解答题
22．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数
()2()23f x x ax a a R =-+-∈．
（1）若1a =时，求()f x 在区间1
[,3]2
上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围. 【答案】（1） max 5y =；min 1y = ；（2）3a > 【解析】
（1）当1a =时，函数的对称轴为11[,3]2
x =∈，
∴
min ()(1)1f x f ==，15
(),(3)524
f f ==， ∴max ()5f x =。

（2）由题意得(0)0f <，∴30a -<，解得：3a >。

23．（2019·营口市第二高级中学高二月考（文））已知函数2
1()(0)ax f x a x b
+=≠+是奇函数，并且函数()f x 的图像经过点(1,3).
（1）求实数,a b 的值；
（2）若方程()f x m x =+在区间1
[,3]2上有两个不同的实根，试求实数m 的取值范围.
【答案】（1）20a b ==，（2）5
(2,]2m ∈
【解析】
（1）因为函数()f x 的图像经过点(1,3)，所以13321a
a b b +=∴=++ 因为函数2
1()ax f x x b +=+是奇函数， 所以22
11()()0ax ax f x f x x b x b b x b x b ++-=-∴=-∴-+=--∴=-++
因此 2.a =
（2）因为()f x m x =+，所以2
121
x m x m x x x +=+∴=+，
当13x <≤时，1
y x x =+单调递增，10
(2,]3y ∈ 当1
12x ≤≤时，1y x x =+单调递减，5
2,]2y ∈[
因此若方程()f x m x =+在区间1[,3]2上有两个不同的实根，则5
(2,]2m ∈
24．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）设()2243,30
33,0165,16
x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩,
（1）画出函数()f x 的图像；
（2）求()f x 的单调增区间；
（3）集合{|M m R x =∈的方程()f x m =有三个不等实根},求?M =
【答案】（1）图见解析（2） []2,0-及[]1,3； （3）{|3m m =或}10m -<<.
【解析】
(1)由()2243,3033,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩
可画出图像：
(2)由(1)中图像可知,()f x 在区间[]2,0-及[]1,3上单调递增.
(3)由(1)中图像可知,()()()2
224231f -=-+-+=-,.
故当方程()f x m =有三个不等实根时,3m =或10m -<<.
故{|3M m m ==或}10m -<<.
25．（2020·南昌市八一中学高一开学考试）已知函数2()21f x x ax =-+. （1）若函数()f x 的增区间是(2,)-+∞，求实数a ；
（2）若函数()f x 在区间(1,1)-和(1,3)上分别各有一个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）2a =-；（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
（1）二次函数2()21f x x ax =-+，对称轴x a =，由题意2a =- （2）(1)01210(1)01210(3)09610f a f a f a ⎧->++>⎧⎪⎪<⇒-+<⎨⎨⎪⎪>-+>⎩⎩
所以：51,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
26.（2020·广东省湛江二十一中高二开学考试）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）
＝x 2﹣2x ．
（1）求f （0）及f （f （1））的值；
（2）求函数f （x ）的解析式；
（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围，
【答案】（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,0
2,0x x x f x x
x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0）
【解析】
（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ；
则f （0）＝0，
f （1）＝1﹣2＝﹣1，
又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1，
则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1；
（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，
则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，
又由函数f （x ）为偶函数，
则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ，
则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，
∴()222,0
2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩
（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，
则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，
而y ＝f （x ）的图象如图：
分析可得﹣1＜m ＜0；
故m 的取值范围是（﹣1，0）．
27．（2020·浙江省高一开学考试）已知函数()224f x x x x a x =+--，其中a R ∈． （1）当1a =时，方程()f x b =恰有三个根，求实数b 的取值范围；
（2）若关于x 的不等式()1f x ≥-在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()3,1-；（2）(,32⎤-∞-⎦或11
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
（1）当1a =时，()22236,1
2142,1x x x f x x x x x x x x ⎧-≥=+--=⎨--<⎩，
可得()f x 图象如下图所示：
方程()f x b =恰有三个根等价于()f x 与y b =恰有三个不同的交点，
由图象可知：当31b -<<时，()f x 与y b =恰有三个不同的交点，
∴实数b 的取值范围为()3,1-；
（2）当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≥-等价于11122222x x a x x x ⎛⎫
-≥-+-=-++ ⎪⎝⎭，
当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，152,2x x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1132,124x x ⎛⎫⎡⎤∴-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即11202x x ⎛⎫
-++> ⎪⎝⎭， 1122x a x x ⎛
⎫
∴-≥-++ ⎪⎝⎭或1122x a x x ⎛⎫
-≤+- ⎪⎝⎭，
11322a x x ⎛⎫∴≤+- ⎪⎝⎭或1122a x x ⎛
⎫
≥-+ ⎪⎝⎭. 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
时，min 13333x x ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，max 113222
x x ⎛
⎫-=-= ⎪⎝⎭，
2a ∴≤或11
4a ≥，即实数a
的取值范围为(2⎤-∞⎦或11
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。