2020-2021深圳实验学校高中必修一数学上期中试卷带答案

2020-2021深圳实验学校高中必修一数学上期中试卷带答案
一、选择题
1．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =
( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
2．函数()2
3
12x f x x -⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
的零点所在的区间为（ ）
A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
3．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，
上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
5．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3
()1f x x =-；当11x -≤≤时，
()()f x f x -=-；当1
2x >
时，11()()22
f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2
6．设log 3a π=，0.32b =，21
log 3
c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
7．若函数()(),1
231,1
x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
8．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞
D ．(,1)(1,)-∞-+∞U
9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫
-=-=- ⎪⎝⎭
，，数
列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3
B ．2-
C ．3-
D ．2
10．已知0.80.8
20.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
11．函数()2log ,0,2,0,
x
x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2
384g x f
x f x =-+的零点个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．6
12．函数()2
45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞
B ．[]2,4
C ．[]0,4
D ．(]2,4
二、填空题
13．已知函数())ln
1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．
14．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x
f x =，
5
()(2019)2
f f -+的值是____.
15．已知1240x x a ++⋅>对一切(]
,1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．
16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 17．若
4
2
x π
π
<<
，则函数3
tan 2tan y x x =的最大值为 ．
18．1033
83log ()()1255
---+=__________．
19．设函数()()()2,1
{42, 1.
x a x f x x a x a x -<=--≥
①若1a =，则()f x 的最小值为 ；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
20．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．
三、解答题
21．计算下列各式的值：
（1）()
1
11
02
3
27102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）()22
1log 3lg5ln e 2
lg2lg5lg2-+++++⋅． 22．设()4f x x x
=-
（1）讨论()f x 的奇偶性;
（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.
23．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4
θ=
.
（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）
24．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单
位：千克）满足如下关系：()
253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪
=⎨<≤⎪+⎩
，肥料成本投入为10x 元，其
它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
25．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
26．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定
从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．
（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
判断函数()2
312x f x x -⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，
f （2）=3＞0，即可判断．
【详解】
∵函数()2
3
12x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
单调递增，
∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
3．D
解析：D 【解析】
试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为
，所以排除
选项；当
时，
有一零点，
设为
，当
时，
为减函数，当
时，
为增函数．故选D
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，
上是增函数，即可进行判断. 【详解】
函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.
又函数()f x 在区间(]1-∞-，
上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
-，即()()3212f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
故选：D. 【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.
5．D
解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22
f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期
函数,所以,又函数
是奇函数,所以
,故选
D ．
考点：函数的周期性和奇偶性．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得2
1
log 3
c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.
故答案为C 【点睛】
(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23
a >， 且在1x =处，有：()1
2311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤
， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 本题选择C 选项. 【点睛】
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】
本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．
9．A
解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1
122
,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：
()()
()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，
()()()()6
6
216300f a f f f =-+=-==，
则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】
0.8000.70.71a <=<=Q ，
22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，
b a
c ∴<<，故选B. 【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大
小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2
384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点
即方程()2
3
f x =
和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩
的图象如图所示：
由图可得方程()2
3
f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2
384g x f x f x =-+有5个零点,
故选：A . 【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】
∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．
且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，
∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．
二、填空题
13．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】 【分析】
发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】
因为()()))
()
22f x f x ln
x 1ln
x 1ln 122x x +-=+++=+-+=，
()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2 【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
14．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-
【解析】 【分析】
根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52
）＝f （﹣12）＝﹣f （1
2），结合解
析式求出f （1
2
）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】
解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，
则f （﹣
52
）＝f （﹣12）＝﹣f （1
2），
f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），
又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f
（﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝1
24＝2，则f （﹣52
）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】
本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．
15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立
解析：3,4∞⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】
1240x
x
a ++⋅>可化为212224
x
x x x a --+>-=--，
令2x
t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
则2a t t >--，
2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，
所以34
a >-
． 故答案为3,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.
16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填
解析：1
【解析】
当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填
1.
17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值
解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,4
2
x
x x π
π
∴∴Q
设2tan t x =
()()()2
2
21412
22
214224811
1
t t t
y t t t t -+-+∴=
=-=---
-≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立
考点：函数单调性与最值
18．【解析】
19．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与
解析：(1)-1，(2)1
12
a ≤<或2a ≥. 【解析】 【分析】 【详解】
①1a =时，()()()2,1
{42, 1.
x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且
()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2
为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当3
2
x =时，()f x 取得最小值为-1；
（2）①若函数()2x
g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，
则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以
211a a ≥<⇒
且1
12
a ≤<； ②若函数()2x
g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两
个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4
()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围
1
12
a ≤<或2a ≥.
考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.
20．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封
闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【
解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】
因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】
设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22
,,a b ab 必有两个相等元素．
若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．
若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】
集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．
三、解答题
21．（1）95
12
；（2）3. 【解析】 【分析】
(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式
1
131
132
32
2
3
2
2
3
2
256415415395
111892743323412
--
-
-
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=
--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
（或写成11
7
12
）． （2）原式
()()2log 3111113
lg522lg22lg55231322222
lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=．
【点睛】
本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算
能力.
22．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)分别确定函数的定义域和()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；
(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,通过讨论()()12f x f x -的符号决定()1f x 与()2f x 的大小，据此即可得到函数的单调性. 【详解】 (1)()4
f x x x
=-
的定义域为0x ≠,()()()44f x x x f x x x ⎛
⎫-=--
=--=- ⎪-⎝
⎭,()4f x x x ∴=-是奇函数. (2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,
()()()()()()121212122112121212124444441f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫
=-+=-+ ⎪
⎝
⎭
∵()1212,0,,x x x x ∈+∞<,1212
4
0,10x x x x ∴-+
， ()1212410x x x x ⎛⎫
∴-+< ⎪⎝
⎭， ()()12f x f x <.
∴Q ()f x 在()0,+∞上是增函数.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23．（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】
（1）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=3
4
x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即
可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】
解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－
3
4
x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02
2
27+24-4b 3+4
＝9，
解得b ＝24或b ＝
3
2
(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4
x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，
则半圆的圆心为H (r ，h )，半径为r . 方法一 设太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝0， 22
3r+4h-4b 3+4r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －
r
2
(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4
x ＋h ＋2r ， 令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452
， 由EG ≤
5
2
，得h ≤25－2r . 所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r (25－2r )＋32
×r 2 ＝－
52r 2＋50r ＝－5
2
(r －10)2＋250≤250. 当且仅当r ＝10时取等号． 所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大， 则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，
设过点G 的上述太阳光线为l 1， 则l 1所在直线方程为y －52＝－3
4
(x －30)， 即3x ＋4y －100＝0.
由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝
3r+4h-100
5
.
而点H (r ，h )在直线l 1的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即r ＝－
3r+4h-100
5
，从而h ＝25－2r . 又S ＝2rh ＋
12πr 2＝2r (25－2r )＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52
(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．
所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 【点睛】
本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．
24．（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x
⎧-+≤≤⎪
=⎨-<≤⎪
+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该
果树获得的最大利润是480元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】
（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-
()
2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯
-<≤⎪+⎩
27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得
()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫
-+≤≤⎧-+≤≤⎪
⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩
当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；
当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦ 78030480≤-⨯= 当且仅当
25
11x x
=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】
本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．（1）232100,020
160,20
x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得
年利润最大，最大年利润为156万元. 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可． 【详解】
（1）由题意得：当20x ≤时，(
)2
2
3310032100y x x
x x
x =---=-+-，
当20x >时，260100160y x x =--=-，
故232100,020160,20
x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；
（2）当020x <≤时，()2
23210016156y x x x =-+-=--+， 当16x =时，156max y =， 而当20x >时，160140x -<，
故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 【点睛】
本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题. 26．（1）当P ＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后 【解析】 【分析】
（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值； （2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论． 【详解】
设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q （P ﹣14）×
100﹣3600﹣2000，①
由销量图，易得Q ＝250,14P 20340,20P 262
p p -+⎧⎪
⎨-+<⎪⎩剟
„
代入①式得L ＝(250)(14)1005600,14P 20340(14)100560,20P 262P P P P -+-⨯-⎧⎪
⎨⎛⎫
-+-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩
剟„ （1）当14≤P ≤20时，
2(250)(14)1005600200780075600L P P p p =-+-⨯-=-+-，当P ＝19.5元，L max ＝
450元，
当20＜P ≤26时，23340(14)100560615656022L P P P p ⎛⎫
=-
+-⨯-=-+- ⎪⎝⎭
，当P ＝
613元时，L max ＝1250
3
元. 综上：月利润余额最大，为450元，
（2）设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450﹣50000﹣58000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫． 【点睛】
本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．。