数学(理)卷·2014届四川省资阳市高二下学期期末质量检测(2013.07)

资阳市2012—2013学年度高中二年级第二学期期末质量检测
理 科 数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
3. 本试卷共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目的要求的．
1. 复数12z i =-的虚部和模分别是
（A) -2
（B ）2i -，5
（C ）-2，5
（D ）-2i
2. 命题“0x ∃∈R ，使得20x x ->”的否定是 （A ）x ∀∈R ，20x x -> （B ）x ∀∈R ，20x x -≤ （C ）0x ∃∉R ，使得20x x -< （D ）0x ∃∉R ，使得20x x -≤
3. 已知1(|)3P B A =，2
()5
P A =，则()P AB 等于( ) （A ）
56 （B ）910 （C ）2
15
（D ）
115
4. 已知条件p ：1a ≤，条件q ：||1a ≤，则p 是q 的( )
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极值点（ ）
（A ）1个
（B ）2个
（C ）3个
（D ）4个
6. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为来源:学科
]（A ）3×3!
（B ）(3!)4
（C ）9!
（D ）3×(3!)4
7. 如图，椭圆中心在坐标原点，点F 为左焦点，点B 为短轴的上顶点，点A 为长轴的
右顶点.当FB BA ⊥
时,椭圆被称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心
率e 等于
（A （B
（C （D 8. 下列随机变量ξ服从二项分布的是
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；
④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )．
（A ）②③ （B ）①④ （C ）③④ （D ）①③
9. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线
10.设函数()y f x =(x ∈R)的导函数为)(x f '，且)()(x f x f <'，则下列成立的是 （A ）2(2)(1)(0)e f ef f -<-<
（B ）2(1)(0)(2)ef f e f --<< （C ）2(1)(2)(0)ef e f f --<< （D ）2(2)(0)(1)e f f ef -<<-
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理 科 数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题: 本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把
答案直接填在题中横线上.
11. 计算
5
1
1i i i
-⋅+= . 12. 抛物线21
6
y x =-的焦点坐标为 .
13. 如右图所示，机器人亮亮从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有_____种.
14. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 .
15. 下列是有关直线与圆锥曲线的命题：
①过点（2，4）作直线与抛物线28y x =有且只有一个公共点，这样的直线有2条； ②过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有且仅有两条；
③过点（3，1）作直线与双曲线2
214
x y -=有且只有一个公共点，这样的直线有3条
④过双曲线22
12
y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于,A B 两点，若AB =4，则满足条件
的直线l 有3条；
⑤已知双曲线2
2
12
y x -=和点(1,1)A ，
过点A 能作一条直线l ，使它与双曲线交于,P Q 两点，且点A 恰为线段PQ 的中点.
其中说法正确的序号有 .(请写出所有正确的序号)
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分12分)
写出命题“若a b >，则22a b ->-”的否命题、逆命题、逆否命题、命题的否定，并判断真假.
17．(本小题满分12分)
在 2x
8
1)展开式中，求： （Ⅰ）展开式中的二项式系数之和及各项系数的和； （Ⅱ）展开式中含x 的一次幂的项．
18．(本小题满分12分)
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，
再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2
件二等品，其余为一等品．用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数.
（Ⅰ）求在抽检的6件产品中恰有一件二等品的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望值；
（Ⅲ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．
19．(本小题满分12分)已知函数32()f x x ax bx c =+++在
2
3
x =-与1x =处均取得极值
(Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(Ⅱ)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.
20．(本小题满分13分)
设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22
221(0)y x a b b
+=>>上的两点，已知O 为坐
标原点，椭圆的离心率e =短轴长为2，且1122(,),(,)
x y x y m n b a b a
== ，若0m n ⋅=
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
21．(本小题满分14分)
已知函数()x f x ae =和()ln ln g x x a =-的图象与坐标轴的交点分别是点,A B ，且以点,A B 为切点的切线互相平行.
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数1
()()F x g x x =+，求函数()F x 的极值;
（Ⅲ）对于函数()y f x =和()y g x =公共定义域中的任意实数0x ，我们把00|()()|f x g x -的值称为两函数在0x 处的偏差，求证：函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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理科数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1-5. ABCBC ；6-10. BADCD.
二、填空题: 本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案直接填在题中横线上.
11．1； 12．3
(0,)2
-； 13．80； 14. 60; 15. ①②④.
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分12分)
解析：否命题： 若a b ≤，则22a b -≤-，真命题； ········································· ３分 逆命题： 若22a b ->-，则a b >，真命题； ····················································· 6分 逆否命题： 若22a b -≤-，则a b ≤，真命题； ····················································· 9分 命题的否定：若a b >，则22a b -≤-，假命题. ···················································· 12分
17．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）在展开式中的二项式系数之和为018888C C C +++= 82256= ··········· 3分
在展开式中，令x ＝１得，各项系数的和为8813
(1)()22+=． ··································· 6分
（Ⅱ）设在2x
8
1)展开式中的通项为1T r +， 则8321
81T ()(0,1,2,,8)2
r
r
r r C x r -+== ， ········································································ 8分
由题意得：
8312
r
-=，∴2r =
··············································································· 10分 ∴22381
T ()72
C x x ==． ····························································································· 12分
18．(本小题满分12分) 解析:（Ⅰ）在抽检的
6件产品中恰有一件二等品的概率为
21112
3
324422225555C C C C C 12P(1)C C C C 25
ξ==⋅⋅=＋ ····················································································· 3分
(Ⅱ)ξ可能的取值为0，1，2，3． ·············································································· 4分
2
23
42255C C 189P(0)C C 10050
ξ==⋅==；
211123324422225555C C C C C 12P(1)C C C C 25ξ==⋅⋅=＋； 11122
32442
22225555C C C C C 153P(2)C C C C 5010
ξ==⋅⋅==＋；
12
42
2255C C 1P(3)C C 25
ξ==⋅=．
······························································································· 7分 ξ的分布列为
ξ 0[来
1
2
3
P
950 1225 310[来 125
····································································································································· 8分
912316
()0123502510255
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= ·
·································································· 9分 (Ⅲ)所求的概率为15117
P(2)P(2)P(3).502550
ξξξ≥=====＋＋ ·
····························· 12分
19．(本小题满分12分)
解析:(Ⅰ)32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++
由'
2124()03
93f a b -=
-+=,'(1)320f a b =++=得1
,22
a b =-=- 经检验知，当1
,22
a b =-=-时，满足题意. ···························································· 4分
'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-,函数()f x 的单调区间如下表:
所以函数()f x 的递增区间是(,)3
-∞-，(1,)+∞,递减区间是2
(,1)3
-
·················· 8分 (Ⅱ)3
21()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-,当23x =-时,222()327
f c -=
+ 为极大值,而(2)2f c =+,则(2)2f c =+为最大值,要使2
(),[1,2]
f x c x <∈
-恒成立,
则只需要
(2)2c f c >=+,得c 12c <->或.
∴c 的取值范围是(,1)(2,)-∞-+∞ ········································································· 12分
20．(本小题满分13分)
解析：（Ⅰ）221,2,c b b e a c a =⇒===
=⇒==
所以椭圆的方程为2
214
y x += ·
···················································································· 5分 (Ⅱ)是，证明如下：
①当直线AB 的斜率不存在时，即1212,x x y y ==- 当0m n ⋅= ，得22
221111044
y x y x -=⇒= 又A （x 1,y 1
）在椭圆上，所以22
111141|||4x x x y +=⇒==所以1121111
||||||2||122
S x y y x y =-== ······································································· 7分
②当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y kx m =+，
222
22
(4)24014
y kx m k x kmx m y x =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 得到2121222
24
,44
km m x x x x k k --+==++ ··············································································· 9分 12121212()()0044
kx m kx m y y
x x x x +++=⇒+=代入整理，
得2224m k -=， ······································································································· 10分
1||2
S AB m ==
1= ·
·············································································· 12分 综上所述，所以三角形的面积为定值 ······································································ 13分
21．(本小题满分14分)
解析：（Ⅰ）1
'(),'(),x f x ae g x x
==
函数()y f x =的图象与坐标轴的交点为（0, a ）, 函数()y g x =的图象与坐标轴的交点为（a ，0），
由题意得1
'(0)'(),f g a a a ==即, 又0,1a a >∴= ··················································· 4分
（Ⅱ）∵1()()F x g x x =+，∴22111
'()x F x x x x
-=-=，
∴函数()F x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞， 所以函数()F x 极小值是(1)1F =，函数()F x 无极大值 ·············································· 8分
（Ⅲ）解：函数()y f x =和()y g x =的偏差为()|()()|ln ,(0,)x F x f x g x e x x =-=-∈+∞,
1
'()x F x e x
∴=-
设x t =为x 1F'(x)e 0x =-=的解，即1
t e t
=
则当(0,)x t ∈时，'()0F x <，当x (t,)∈+∞时，'()0,F x > ()F x ∴在（0，t ）内单调递减，在(,)t +∞上单调递增，
min 11
()()ln ln t t t F x F t e t e t e t
∴==-=-=+ ·
····························································· 10分
11
'(1)10,'()20,122
F e F t =->=<∴<< ，
故min 1
()2F x t t
=+>，
即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2 ························ 14分。