易错点04 一元二次不等式及一元二次方程-备战2023年高考数学易错题(新高考专用)(原卷版)

专题04 一元二次不等式、一元二次不等式
易错知识
1．解分式不等式时要注意分母不能为零；
2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零； 3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭； 4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；
5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；
易错分析
一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错
1．不等式2x ＋1≤1的解集是________．
【错解】由
2x ＋1≤1得2
x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1
≥0，得(x －1)(x ＋1)≥0，得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |xx ≤－1或x ≥1}．
【错因】 【正解】
二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
2.若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－2,2]
D ．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足
一元二次不等式、一元二次不等式
分式不等式忽视分母不为零
解一元二次不等式忽视二次项系数的正负
一元二次方程根的分布条件列举不全
一元二次不等式恒成立忽视区间的开闭
解一元二次不等式忽视两根的大小关系
⎩
⎪⎨⎪⎧
2－m ＞0，(4－2m )2－4×4(2－m )＜0，解得－2＜m ＜2.综上知实数m 的取值范围是(－2,2)， 选A ．
【错因】 【正解】
提示：当不等式中最高项的系数含有参数时，要对其分情况讨论，不是见参就讨论，比如下面
这个题目是不用讨论的。

例：若关于x 的不等式x 2－2ax ＋18>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．
解析：由题意有4a 2－4×18<0，可得－32<a <3 2. 实数a 的取值范围为(－32，32)。

三、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
3．不等式(x －2)(3－2x )≥0的解集为( )
A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞
B.⎣⎡⎦⎤32，2 C ．{x |x ≤3
2
或x ≥2}．
D ．⎝
⎛⎦⎤－∞，3
2 【错解】由(x －2)(3－2x )≥0解得x ≤32或x ≥2，故不等式的解集为⎣⎡⎦⎤
32，2.选C 【错因】 【正解】
四、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
4．当1≤x ≤3时，关于x 的不等式ax 2＋x －1<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1
4]
B.⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
4 C.⎝⎛⎭
⎫－1
4，＋∞ D ．⎝⎛⎭
⎫－1
2，＋∞ 【错解】当1≤x ≤3时，由ax 2
＋x －1<0恒成立可得，a <⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 恒成立，令f (x )＝⎝⎛⎭⎫1x 2－1x ＝⎝⎛⎭
⎫1x －122
－14，则当x ＝2时，f (x )min ＝－14，所以a ≤－1
4,选A 。

【错因】 【正解】
5．若不等式x 2－tx ＋1<0对一切x ∈(1,2)恒成立，则实数t 的取值范围为( )
A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．[1，＋∞)
D ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞
【错解】因为不等式x 2
－tx ＋1<0对一切x ∈(1,2)恒成立，所以t >x 2＋1x ＝x ＋1
x 在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y ＝x ＋1x 在区间(1,2)上单调递增，且当x ＝2时，y ＝2＋12＝5
2，所以x ＋1x <52，故实数t 的取值范围是t >5
2.选B. 【错因】 【正解】
五、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
6． 若方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是________． 【错解】设方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根为12,x x 则122,2x x >>，
则12120
44
x x x x ∆>⎧⎪
+>⎨⎪>⎩，即2(2)4(5)02454m m m m ⎧--->⎪->⎨⎪->⎩，即21621m m m ⎧>⎪->⎨⎪>⎩
解得m<－4，故m 的取值范围是(－∞，－4)．
【错因】 【正解】
六、解一元二次不等式时忽视两根大小而致错
7．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．
【错解】原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0(a >0).解得1
a
<x <1， 则该不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1a
<x <1. 【错因】 【正解】
【提示】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
易错题通关
1．若a <0，则关于x 的不等式(ax －1)(x －2)>0的解集为( )
A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
2<x <1a B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
1a <x <2 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1a 或x >2
D ．⎩⎨⎧⎭⎬
⎫x ⎪⎪
x <2或x >1a 2．若对于任意的x ∈[0,2]，不等式x 2－2x ＋a >0恒成立，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
3．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞
D ．(,0][1,)-∞⋃+∞
4．若关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -++-≥的解集不为空集，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．6
(2,]5
-
B ．{}
2.x a x a ≤≤-
C ．6(,2)[,)5
-∞-⋃+∞
D ．6(,2][,)5
-∞-⋃+∞
5．已知方程22(1)4320k x kx k +++-=有两个负实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．()22113⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭
，
， B ．()21--，
C ．213⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．[)22113⎛⎤
--⋃ ⎥⎝⎦
，
， 6．已知函数2()22f x ax x =-+，若当14x ≤≤时，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1(,)2-+∞
B ．1[,)2
-+∞
C ．1(,)2
+∞
D ．1[,)2
+∞
7．在R 上定义运算:a b ad bc c d ⎛⎫=-
⎪⎝⎭ ，若不等式1211
x a a x --⎛⎫
≥ ⎪+⎝⎭ 对任意实数x 恒成立，
则实数a 的最大值为（ ）
A ．1
2
-
B ．32
-
C ．
12
D ．
32
8．已知关于x 的不等式mx 2＋mx ＋m <1对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫4
3，＋∞ B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭
⎫4
3，＋∞ D ．(－∞，0) 9．已知函数f (x )在R 上为增函数，若不等式f (－4x ＋a )≥f (－3－x 2)对∀x ∈(0,3]恒成立，则a 的取值范围为( )
A ．[－1，＋∞)
B ．(3，＋∞)
C ．[0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
10．已知函数f (x )在R 上为增函数，若不等式f (－4x ＋a )≥f (－3－x 2)对∀x ∈(0,3]恒成立，则a 的取值范围为( )
A ．[－1，＋∞)
B ．(3，＋∞)
C ．[0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
11. 若关于x 的不等式mx 2－(2m ＋1)x ＋m －1≥0的解集为空集，则实数m 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
8 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫1
4，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12
，－14 D ．(0，＋∞)
12．设函数2()6f x mx mx m =--+，若对于[]1,3x ∈，()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．6
7
m >
B ．67
m <
C ．67
m ≤
D ．67
m ≥
13．设集合()(){}
240,2101x A x
B x x a x a x -⎧⎫
=≤=---<⎨⎬+⎩⎭
，若A B =∅，则实数a 的
取值范围是____________；
14．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，若a ∈[4,6]，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是___________． 15．解关于x 的不等式：()2
220ax a x +--≥．（a R ∈且0a ≠）．
16. 解关于x 的不等式x 2－(3a ＋1)x ＋2a (a ＋1)>0. 17．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)解不等式f (x )<(m ＋1)x －3.
18．已知函数()()2
21f x ax a x b =-++-.
（1）若2a =-，9b =，求函数()
()0f x y x x
=
<的最小值； （2）若1b =-，解关于x 的不等式()0f x ≥. 19．已知函数()()()2
24f x x a x a R =-++∈．
（1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；
（2）若对任意的[]
0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．。