三角恒等变换 高考数学真题分类大全 专题07解析

专题7三角恒等变换
第一部分近3年高考真题
一、选择题
1．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于1
2
的个数的最大值是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβ
αβ+≤，
同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2
γα
γα+≤，
故3
sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤
，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12
.取6π
α=
，3πβ=，4
πγ=，则116161
sin cos ,sin cos ,sin cos 424242
αββγγα=<=>=>，故三式中大于1
2
的个数的最大值为2，故选：C.
法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，
而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222
αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12
.取6π
α=
，3πβ=，4
πγ=，则116161
sin cos ,sin cos ,sin cos 424242
αββγγα=
<=>=>，
故三式中大于1
2
的个数的最大值为2，故选：C.
2．
（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面
A B C '''
的高度差AA CC ''- 1.732≈）（
）
A ．346
B ．373
C ．446
D ．473
【答案】B
【解析】
过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，
故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100
''tan15CH C B ==︒
在'''A B C 中，由正弦定理得：
''''100100
sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒
，
而62
sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304
︒=︒-︒=︒︒-︒︒=
，
所以
10042''1)273
A B ⨯⨯
=
=≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．
3．（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π
4
)=7，则tan θ=（）
A ．–2
B ．–1
C ．1
D ．2
【答案】D
【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ
+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271t
t t
+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.
4．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛
⎫
++ ⎪⎝
⎭
，则πsin =6
θ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
（
）
A ．
12
B ．
3
C ．
23
D ．
2
【答案】B
【解析】由题意可得：13sin sin cos 122
θθθ+
+=，
则：
3sin 122θθ+=，1sin cos 223
θθ+=
，从而有：3
sin cos
cos sin 663
ππθθ+=
，
即sin 63
πθ⎛
⎫+= ⎪
⎝
⎭.故选：B.
5.已知α∈（0，π
2
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A ．15
B C ．
33
D ．
255
【答案】B
【解析】2sin 2cos 21α=α+ ，2
4sin cos 2cos .0,
,cos 02π⎛⎫
∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭
．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，221
5sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，
sin 5
α∴=
，故选B ．6.已知函数()2
2
2cos sin 2f x x x =-+，则（）
A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B
【解析】根据题意有()1cos2x 35
cos212cos2222
f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==，且最大值为()max 35
422
f x =
+=，故选B.7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，
，()2B b ，，且2
cos23
α=
，则a b -=（）
A ．
15
B ．
5
C ．
5
D ．1
【答案】B
【解析】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，
因为2
22
cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得2
15a =
，即5
5
a =，
所以25
a b a a -=-=，故选B.二、填空题
8．（2020·全国高考真题（文））若2
sin 3
x =-，则cos 2x =__________．【答案】
19
【解析】2
2
281cos 212sin 12(13
99
x x =-=-⨯-=-=.故答案为：
19
.9．（2020·江苏高考真题）已知2
sin ()4
πα+=2
3，则sin 2α的值是____.
【答案】
13
【解析】22221
sin (
))(1sin 2)4222
παααα+=+=+Q 121
(1sin 2)sin 2233
αα∴+=∴=故答案为：
1
3
10．（2020·北京高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】
2
π（2,2k k Z π
π+∈均可）
【解析】因为()()
()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=
+，
2=，解得sin 1ϕ=，故可取2
ϕπ
=
.故答案为：
2
π（2,2k k Z π
π+∈均可）.
11.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.
【答案】
10
.【解析】由()tan 1tan tan tan 2
tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-
++⎛
⎫+ ⎪
-⎝
⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1
tan 3
α=-
.sin 2sin 2cos cos 2sin
444πππααα⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭
)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫
+-=+ +⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭
，当tan 2α=
时，上式22
2212==22110
⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时，上式=2
2
11212233=21011
3⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
综上，sin 2.410
πα⎛
⎫+
= ⎪
⎝
⎭12.函数3π
()sin(23cos 2
f x x x =+-的最小值为___________．【答案】4-.【解析】
23()sin(23cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+
-=--=--+23172(cos )48
x =-++，1cos 1x -≤≤ ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，
故函数()f x 的最小值为4-．三、解答题
13．（2020·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.
（1）若a ，b ，求ABC 的面积；
（2）若sin A C =
2
2
，求C .
【答案】（1；（2）15︒.
【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，
2,c a ABC ∴==△
的面积1
sin 2
S ac B =
=；（2）30A C +=︒ ，
sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+
1
cos sin sin(30)222
C C C =+=+︒=
，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.
14.设常数R a ∈，函数()2
sin 22cos f x a x x =+．
（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；
（2）若π14f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求方程()1f x =[]ππ-，
上的解．【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-
或19π24x =或13π11π2424
x x 或==-.【解析】（1）∵()2
sin22cos f x a x x =+，∴()2
sin22cos f x a x x -=-+，
∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，
∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+，∴2sin20a x =，∴0a =；
（2）∵π14f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
∴2ππsin 2cos 1124a a ⎛⎫
+=+= ⎪⎝⎭，
∴a =
∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛
⎫=
+=++=++ ⎪⎝
⎭，
∵()1f x =
∴π2sin 2116x ⎛
⎫
+
+=- ⎪⎝
⎭
，
∴πsin 262
x ⎛⎫+=- ⎪
⎝
⎭，∴ππ22π64x k +
=-+，或π5
2π2πZ 64x k k +=+∈，，∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24
x k k =+∈，，∵[]
ππx ∈-，
，∴5π24x =-
或19π24x =或13π11π2424
x x 或==-15.已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5
cos()5
αβ+=-．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725
-
；（2）2
11-
【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3
αα=．
因为22sin cos 1αα+=，所以2
9cos 25α=，
因此，2
7cos22cos 125
αα=-=-．
（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．
又因为()5cos 5αβ+=-
，所以()25sin 5
αβ+==，
因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=
，所以2
2tan 24
tan21tan 7
ααα==--，因此，()()()()
tan2tan 2
tan tan 21+tan2tan 11
ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．
16.已知函数()2
sin cos f x x x x =+.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，求m 的最小值.
【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π
3
.
【解析】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛
⎫=
+=-+=-+ ⎪⎝
⎭，所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭.因为π,3x m ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦
.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，
即πsin 26x ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭在π,3m ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1.所以ππ262m -
≥，即π3
m ≥.所以m 的最小值为
π
3
.
17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；
（Ⅲ）求sin 24
A π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值．【答案】（Ⅰ）4C π=
；（Ⅱ）213sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭.
【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由22,5,13a b c ===2222
cos 22
2225a b c C ab +-===
⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以4C π
=
；（Ⅱ）在ABC 中，由4
C π
=，2,13a c ==2
22sin 2sin 13
a C
A c
=
==213
13
；（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由13sin 13A =，可得2cos 1sin A A =-=313
13
，进而2125
sin 22sin cos ,cos 22cos 11313
A A A A A ===-=，所以12252sin(2)sin 2cos cos2sin 444132132
A A A πππ+
=+=⨯+⨯=172
26.第二部分模拟训练
1．已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3
sin sin 5
B αα+=+，则()sin 300α+︒=（）
A ．
3
5
B ．45
-
C ．
45
D ．35
-【答案】D
【解析】解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由
()3sin 60sin 5αα︒+=+得，313
cos sin 225αα-=
，∴()3cos 305α︒+=，则()()()3
sin 300sin 27030cos 305
ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，
故选：D ．
2
．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=->在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（
）A ．1316,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣
⎭【答案】B
【解析】()2sin(),0cos 62f x x x x x ππ
ωωω=-≤≤-=，6626
x ππωππω∴-≤-≤-，1322635162623ωπππωωπππω⎧⎧-≥≥⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎩⎩
，则ω的取值范围是1316,33⎡⎫⎪⎢
⎣⎭.故选：B.
3．将函数(
)sin 22f x x x =+的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()g x ，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（
）A ．12π
B ．6π
C ．4π
D ．512
π
【答案】A
【解析】
函数sin 222sin(2)3
y x x x π==+，
将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3y x πϕ=++
，因为函数是偶函数，∴2()()32212
k k k Z k Z ππππϕπϕ+=+∈∴=+∈．当0k =时，12
πϕ=
．故选：A 4．设ABC 的内角A ，B ，C 满足2A C B +=，则函数()2sin()cos sin2f x x B x x =+-图象的对称轴方程是（）
A ．ππ,32k x k =
+∈Z B ．ππ,122k x k =
+∈Z C ．5ππ,122k x k =+∈Z D ．ππ,62k x k =+∈Z 【答案】C 【解析】因为()A C B π-+=，2A+C =B ，所以3
B π=，()2sin cos sin 23f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(sin )cos sin 2x x x x
=+-
1
sin 2cos 2222
x x =-++
sin 232x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
.由232
x kx ππ-=+，k ∈Z ，得5122k x ππ=+，k ∈Z .故选：C.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.
（1）求角A ；
（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.
【答案】（1）A 3
π=；（2）【解析】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C -= ，
由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，
化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=，
三角形中sin 0B ≠，解得cos A 12=
，()0,A π∈，∴A 3
π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
a =
5b c +=，
()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，
所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯432
⨯=6．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且直线x A =为函数
()222sin f x x x =+
图象的一条对称轴.
（1）求A ；
（2）若4a =，求ABC 面积的最大值.
【答案】（1）3
A π=；（2）
【解析】（1）()222sin 2cos 212sin 216πx x x x x f x ⎛⎫=
+=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴直线x A =
为函数()f x 图像的一条对称轴，∴262ππA kπ-=+(k ∈Z )，即132πA kπ=+(k ∈Z )，又02
A π<<，∴当0k =时，3
A π=
.（2）∵3A π=，4a =，∴由余弦定理得，2222162cos
23πb c bc b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当b=c=4时等号成立
∴1113sin sin 1622322
ABC πbc A bc S ==≤⨯⨯=△
故ABC 面积的最大值为
7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠= .
（1）求边BC 的长﹔
（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=
，求sin DAC ∠的值.
【答案】（1）3BC =；（2）25
.
【解析】在ABC 中，因为b =，c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，
得25222
a a =+-⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）
所以3BC =.
（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C
=，
得sin 45sin C
= .
所以sin 5C =
在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5
ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC ∠为钝角.
而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，
所以C ∠为锐角
故25cos 5
C ==因为4cos 5ADC ∠=-，
所以35sin ADC ∠===，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，
sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠
3254525555525
=⨯-⨯=
8．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.
（1）求()f x 的最小正周期和值域；
（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（2）17
10k ≥.
【解析】解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++3cos213133sin 212sin 22222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝
⎭∴()f x 的为最小正周期22T ππ=
=，值域为15(),22f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
；（2）记()f x t =，则15,22
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，
知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立，∵0t >∴222t t t k t
-=-≥.∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增max 55417()22510
g t g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭∴k 的取值范围是1710k ≥
9．已知函数2
()2cos 12x f x x =-+．
（Ⅰ）若()6f παα⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，求tan α的值；
（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12
倍得函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
得的值域．
【答案】（Ⅰ）9
-；（Ⅱ）[]1,2-.
【解析】解：（Ⅰ）2()2cos 12x f x x =
-+cos 2sin
6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
因为()6f παα⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 6παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
即31sin cos 22ααα-=，所以cos αα-=，所以3tan 9
α=-；（Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的
12倍得到函数()g x 的图象，所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
，因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭，所以1()2
g x -≤≤故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]1,2-.
10．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的
12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间.
【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2π；
（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12
倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，再向左移动
6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36
k x k k πππ-≤≤π+∈Z .函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。