抛物线的简单几何性质(位置)
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（1）若P到焦点的距离为2,则P点坐标标为 __ _32_,__3___ .
7
(2) PM + PF 的最小值为____2____，此时P点
坐标标为 ___（__2，_2）___ .
整理ppt
8
练习：斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入抛物线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),
则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线的几何性质
整理ppt
1
一、温故知新
一、抛物线的定义
l
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N
定点F叫做抛物线的焦点.
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即: 若︳︳MMNF ︳︳ 1,则点M的轨迹是抛物线。
注意整：理pp定t 点不在定直线上2 。
一.抛物线的简单性质
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
整理ppt
13
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题6 : (1)A,O, B1三点共线;(2)B,O, A1三点共线; (3)设直线AO与准线交于B1,则BB1平行x轴; (4)设直线BO与准线交于A1,则AA1平行x轴;
解 : AB AF BF
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p
整理ppt
12
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题4 : 求证 : x1 x2
p2 4
, y1
y2
p2.
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)
(x2=2my (m≠0)),可避免讨论整理ppt
5
思考：设M x0 , y0 是抛物线y2 2 px上的任一点,
F是其焦点,求 | MF | .
y M
x KO F
整理ppt
6
二.抛物线的焦半径
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
整理ppt
11
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
解:
koA
y1 x1
y1 y12
2p y1 , koB1
y2 p
2 y2 , p
2p
2
而y1 y2
p2 , koA
2p p2
2 y2 p
koB1 ,
y2
A,O, B1三点共线.
同理可证( 2), (3), ( 4).
整理ppt
14
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x （p>0）F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
整理ppt
y ≤0 x∈R
B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
整理ppt
A x
10
三.抛物线的焦点弦
过抛物线焦点的弦叫焦点弦,设焦点弦端点
A x1, y1 , B x2 , y2 ,则
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
问题7 : 求证 :以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M ,过A, B, M分别作准线的垂线,
垂足分别为A1, B1, M1,则
MM1
AA1 BB1 2
AF
BF 2
AB 2
结论得证.
整理ppt
15
（三）直线与椭圆的位置关系
1)相离 2)相切 3)相交
O
x
直线与椭圆的位置关系的判断方法
抛物线上一点P x0, y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径.
(1) y2 2 px,
|
PF
|பைடு நூலகம்
x0
p; 2
(2) y2 2 px,
|
PF
|
- x0
p 2
(3)x2 2 py,
|
PF
|
y0
p 2
(4)x2 2 py,
p
|
PF | - y0
整理ppt
2
7
练习:
已知M (3, 2), P为抛物线y2 2x上一点, F为抛物线的焦点
y轴
4
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
原点，并且经过点M（２，2 2），求它的标准方程.
解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
整理ppt
9
练习：斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
代入抛物线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),
则x1 x2 6, x1 x2 1,
F KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
1.范围 : x 0, y R.
2.关于x轴对称, 我们把抛物线的对称轴叫做
抛物线的轴.
y
3.顶点 : 坐标原点.
4.离心率 : e 1.
x KO F
整理ppt
3
(二）抛物线标准方程及简单几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
7
(2) PM + PF 的最小值为____2____，此时P点
坐标标为 ___（__2，_2）___ .
整理ppt
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练习：斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入抛物线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),
则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线的几何性质
整理ppt
1
一、温故知新
一、抛物线的定义
l
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N
定点F叫做抛物线的焦点.
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即: 若︳︳MMNF ︳︳ 1,则点M的轨迹是抛物线。
注意整：理pp定t 点不在定直线上2 。
一.抛物线的简单性质
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
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例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题6 : (1)A,O, B1三点共线;(2)B,O, A1三点共线; (3)设直线AO与准线交于B1,则BB1平行x轴; (4)设直线BO与准线交于A1,则AA1平行x轴;
解 : AB AF BF
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p
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例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题4 : 求证 : x1 x2
p2 4
, y1
y2
p2.
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)
(x2=2my (m≠0)),可避免讨论整理ppt
5
思考：设M x0 , y0 是抛物线y2 2 px上的任一点,
F是其焦点,求 | MF | .
y M
x KO F
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二.抛物线的焦半径
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
整理ppt
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例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
解:
koA
y1 x1
y1 y12
2p y1 , koB1
y2 p
2 y2 , p
2p
2
而y1 y2
p2 , koA
2p p2
2 y2 p
koB1 ,
y2
A,O, B1三点共线.
同理可证( 2), (3), ( 4).
整理ppt
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例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x （p>0）F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
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y ≤0 x∈R
B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
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A x
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三.抛物线的焦点弦
过抛物线焦点的弦叫焦点弦,设焦点弦端点
A x1, y1 , B x2 , y2 ,则
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
问题7 : 求证 :以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M ,过A, B, M分别作准线的垂线,
垂足分别为A1, B1, M1,则
MM1
AA1 BB1 2
AF
BF 2
AB 2
结论得证.
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15
（三）直线与椭圆的位置关系
1)相离 2)相切 3)相交
O
x
直线与椭圆的位置关系的判断方法
抛物线上一点P x0, y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径.
(1) y2 2 px,
|
PF
|பைடு நூலகம்
x0
p; 2
(2) y2 2 px,
|
PF
|
- x0
p 2
(3)x2 2 py,
|
PF
|
y0
p 2
(4)x2 2 py,
p
|
PF | - y0
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2
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练习:
已知M (3, 2), P为抛物线y2 2x上一点, F为抛物线的焦点
y轴
4
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
原点，并且经过点M（２，2 2），求它的标准方程.
解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
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练习：斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
代入抛物线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),
则x1 x2 6, x1 x2 1,
F KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
1.范围 : x 0, y R.
2.关于x轴对称, 我们把抛物线的对称轴叫做
抛物线的轴.
y
3.顶点 : 坐标原点.
4.离心率 : e 1.
x KO F
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(二）抛物线标准方程及简单几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2