人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.5.1直线和圆的位置关系
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2.5.1直线与圆的位置关系
将月亮看作成一个圆， 海天交线看作一条直线，通 过月出的过程，你能感受到 直线与圆的位置关系吗？
直线与圆有两个（公共点）交点时， 叫做直线与圆相交； 直线叫做圆的割线
直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线与圆相切； 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
直线与圆没有公共点时， 叫做直线与圆相离；
代入直线方程，得两交点的坐标为 A2,3；B 2 3，0
求两点间的距离： AB 2 3 - 2 2 3 - 02 2 3
直线与圆的 位置关系
相交 相切 相离
两个交点 d<r ∆>0 一个 交 点 d=r ∆ =0 没有交点 d>r ∆ <0
弦长
AB 2 r2 d 2
AB xB xA 2 yB yA 2
3x y 2 3 3 0
①
x2 y2 4x 2y 1 0 ②
第二步：消元，消y，①式改写为 y 3x 2 3 3代入②式中；
化简得： x2 3 4 x 2 3 4 0
第三步：计算∆；
2
3 4 41 2 3 4 3 0
所以，直线与圆相交
解一元二次方程，得 x1 2；x2 2 3
点与圆的位置关系
(设|MA|=d，圆半径为r)
d=r 点在圆上
d<r 点在圆内
d>r 点在圆外
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
点到圆心的距离与半径 圆心到直线的距离与半径
探究：类比点与圆的位置关系，可得出直线与圆的位置关系 用d和r的大小关系来判断——几何法
回顾点到直线的距离公式： 点P(x0, y0)到直线l：Ax By C 0的
距离公式 d Ax0 By0 C A2 B2
位置关系
相交
相切
相离
d与r的关系 0 d r
dபைடு நூலகம்r
d r
图形
探究：类比直线与直线的位置关系，可得出直线与圆的位置关系 联立方程组消元后计算一元二次方程的 ∆ ——代数法
回顾一元二次方程计算 ∆ 的公式： b2 4ac
位置关系
相交
相切
相离
必做： 课本P92 例2， P93练习1,2,3
选做： 预习下一节课内容， 做第二章的思维导图
同学们辛苦啦！ 下课休息！
求直线l被圆C所截得的弦长.
方法1：（几何法）
过圆心C点作CD垂直AB，由勾股定理可得
d2
AB 2
r2
；
2
也就是垂径定理；可以求得 AB 2 r 2 d 2 10
方法2：（代数法）
解二元一次方程 y2 3y 0 ；解得 y1 0; y2 3 ; 带入直线的方程中，得到两个交点坐标为A(2,0),B(1,3);
方程组解的个数
2
1
0
交点的个数 ∆与0的关系
2
＞0
1
0
0
＜0
小贴士：判定圆与直线位置关系时，通常几何法更为简便
例题：已知直线l : 3x y 6 0与圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0, 判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解法1：几何法
第一步：将圆的方程化为标准方程 x2 ( y 1)2 5 ; 可以得出该圆的圆心为（0,1），半径为√5；
解法2：代数法
3x y 6 0
①
第一步：联立直线l与圆C的方程；
x2 y2 2y 4 0
②
第二步：消元，消去x，将①式化为 x y 6
3
化简得 y2 3y 0 ；
第三步：计算∆ ； - 32 - 4 1 0 9＞0
带入②式；
所以，直线与圆相交.
例题：已知直线l : 3x y 6 0与圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0,
d
3212 3 3 1
2
3
12
第三步：比较d与r的大小关系；d<r;
所以，直线与圆相交；
弦长： l 2 r 2 d 2 2 3
变式：已知直线l : 3x y 2 3 3 0,与圆C：x2 y2 4x 2y 1 0
判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆做截得的弦长.
解法2：（代数法） 第一步：联立方程组
第二步：计算圆心到直线的距离 d | 3 0 1- 6 | 5
32 12
10
第三步：比较d与r的大小；两边同时平方后比较大小；
d 2 5 2 5＜5 5 2 r2 10 2
所以，直线与圆相交.
例题：已知直线l : 3x y 6 0与圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0, 判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
求两点间的距离：AB 1- 22 3 - 02 10
变式：已知直线l : 3x y 2 3 3 0,与圆C：x2 y2 4x 2y 1 0
判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
解法1：（几何法）
第一步：圆C的圆心为（2,1）；半径为2
第二步：圆心到直线的距离
将月亮看作成一个圆， 海天交线看作一条直线，通 过月出的过程，你能感受到 直线与圆的位置关系吗？
直线与圆有两个（公共点）交点时， 叫做直线与圆相交； 直线叫做圆的割线
直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线与圆相切； 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
直线与圆没有公共点时， 叫做直线与圆相离；
代入直线方程，得两交点的坐标为 A2,3；B 2 3，0
求两点间的距离： AB 2 3 - 2 2 3 - 02 2 3
直线与圆的 位置关系
相交 相切 相离
两个交点 d<r ∆>0 一个 交 点 d=r ∆ =0 没有交点 d>r ∆ <0
弦长
AB 2 r2 d 2
AB xB xA 2 yB yA 2
3x y 2 3 3 0
①
x2 y2 4x 2y 1 0 ②
第二步：消元，消y，①式改写为 y 3x 2 3 3代入②式中；
化简得： x2 3 4 x 2 3 4 0
第三步：计算∆；
2
3 4 41 2 3 4 3 0
所以，直线与圆相交
解一元二次方程，得 x1 2；x2 2 3
点与圆的位置关系
(设|MA|=d，圆半径为r)
d=r 点在圆上
d<r 点在圆内
d>r 点在圆外
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
点到圆心的距离与半径 圆心到直线的距离与半径
探究：类比点与圆的位置关系，可得出直线与圆的位置关系 用d和r的大小关系来判断——几何法
回顾点到直线的距离公式： 点P(x0, y0)到直线l：Ax By C 0的
距离公式 d Ax0 By0 C A2 B2
位置关系
相交
相切
相离
d与r的关系 0 d r
dபைடு நூலகம்r
d r
图形
探究：类比直线与直线的位置关系，可得出直线与圆的位置关系 联立方程组消元后计算一元二次方程的 ∆ ——代数法
回顾一元二次方程计算 ∆ 的公式： b2 4ac
位置关系
相交
相切
相离
必做： 课本P92 例2， P93练习1,2,3
选做： 预习下一节课内容， 做第二章的思维导图
同学们辛苦啦！ 下课休息！
求直线l被圆C所截得的弦长.
方法1：（几何法）
过圆心C点作CD垂直AB，由勾股定理可得
d2
AB 2
r2
；
2
也就是垂径定理；可以求得 AB 2 r 2 d 2 10
方法2：（代数法）
解二元一次方程 y2 3y 0 ；解得 y1 0; y2 3 ; 带入直线的方程中，得到两个交点坐标为A(2,0),B(1,3);
方程组解的个数
2
1
0
交点的个数 ∆与0的关系
2
＞0
1
0
0
＜0
小贴士：判定圆与直线位置关系时，通常几何法更为简便
例题：已知直线l : 3x y 6 0与圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0, 判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解法1：几何法
第一步：将圆的方程化为标准方程 x2 ( y 1)2 5 ; 可以得出该圆的圆心为（0,1），半径为√5；
解法2：代数法
3x y 6 0
①
第一步：联立直线l与圆C的方程；
x2 y2 2y 4 0
②
第二步：消元，消去x，将①式化为 x y 6
3
化简得 y2 3y 0 ；
第三步：计算∆ ； - 32 - 4 1 0 9＞0
带入②式；
所以，直线与圆相交.
例题：已知直线l : 3x y 6 0与圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0,
d
3212 3 3 1
2
3
12
第三步：比较d与r的大小关系；d<r;
所以，直线与圆相交；
弦长： l 2 r 2 d 2 2 3
变式：已知直线l : 3x y 2 3 3 0,与圆C：x2 y2 4x 2y 1 0
判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆做截得的弦长.
解法2：（代数法） 第一步：联立方程组
第二步：计算圆心到直线的距离 d | 3 0 1- 6 | 5
32 12
10
第三步：比较d与r的大小；两边同时平方后比较大小；
d 2 5 2 5＜5 5 2 r2 10 2
所以，直线与圆相交.
例题：已知直线l : 3x y 6 0与圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0, 判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
求两点间的距离：AB 1- 22 3 - 02 10
变式：已知直线l : 3x y 2 3 3 0,与圆C：x2 y2 4x 2y 1 0
判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
解法1：（几何法）
第一步：圆C的圆心为（2,1）；半径为2
第二步：圆心到直线的距离