信号与系统-第5章

第5 章
非周期信号实频域分析
本章内容
傅里叶变换
傅里叶变换的概念
典型非周期信号的频谱
傅里叶变换的性质
线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换
性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特
性，频域微分积分特性，调制特性
非周期信号作用下的系统分析
傅里叶变换非周期信号
f(
T F(jω)
∫
+∞
∞
−−=t
e
t f F t
d )()j (j ωωω
ωπ
ωd )j (21
)(j t
e
F t f ∫
+∞
=
傅里叶反变换
=
说明：
F
∫
∞
−2
12
2
d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞
∞
t t t f t t t f j F ωωω所以：
∫
∫
∞
∞
−∞∞
−−=
t
t t f t t t f d sin )(j d cos )(ωω
π2∫∞−π2
∞
−
∫
∫∞∞−+
=ω
ω
ϕ
ω
ω
π
d
)]
(
cos[
)
j(
2
1
t
F
ω
ω
ϕ
ω
ωd)]
(
sin[
)
j(
j
∫∞+
+t
F
典型非周期信号的频谱
矩形脉冲信号
单边指数信号
双边指数信号
直流信号
单位冲激信号
符号信号
矩形脉冲信号
02
τ−
τ
2
τE
矩形脉冲信号（续）
F
)
(ωj
单边指数信号
0t
单边指数信号（续）
1
双边指数信号
0t
双边指数信号（续）
直流信号
有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。

2202lim )j (ωαα
ωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。

π
2=1)(=t f )
(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件
ωω
αα
d 22
2∫
∞
∞−+)(d )(12
2αωα
ω∫
∞
∞−+=∞
∞
−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。

如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:
⎩⎨⎧∞+=0
直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：
单位冲激信号
=t fδ
)(t
)(
t
符号函数
⎩⎨
⎧<−>==0
10
1)sgn()(t t t t f 构造函数：
[=t
1
1
−0
可积条件
符号函数（续）
[] F
傅里叶变换对
e
αj
ω
+
本章内容
傅里叶变换
傅里叶变换的概念
典型非周期信号的频谱
傅里叶变换的性质
线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换
性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特
性，频域微分积分特性，调制特性
非周期信号作用下的系统分析
傅里叶变换的性质
线性性质
时移性质
频移性质
尺度变换性质
对称性
卷积定理
时域微分积分特性
频域微分积分特性
调制特性
线性性质
=
= [
[
解：
2
2
‖
例：已知f(t), 求F(jω
)
‖
-解： f (t) = f
1
(t) –g
2
(t)
f
1
(t) = 1 ↔2πδ(ω)
可知：g
2
(t) ↔2Sa(ω)
∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)
由g
τ
(t) ↔τSa(ωτ/2)
时移性质
=
[
解：
‖
例求F (j ω)。

解：f 1(t ) = g 6(t -5)f 2(t ) = g 2(t -5)
ωω-j56)e
6Sa(3)5(↔−t g ω
ω-j52)e
2Sa()5(↔−t g []ω
ωωω-j5e
)2Sa()6Sa(3)(j +=F 可知f (t ) = f 1(t )+ f 2(t )
频移性质
=
[
[
[F
时域例1
解：
)cos()()(0t t f t y ω=Q 2)
(00j j t t e
e t
f ωω−+=)]
(j [1
)](j [1)(ωωωωω++−=∴F F j Y )(t f )(t y )cos(0t ω
尺度变换性质
t
f↔
若
F
:ω
)
j(
)(
244
解：
对称性
[
[
[
对称性（续）
如果：f (t )为偶函数则：
)
()(t f t f =−特别的：
)
(π2)]j ([ωf t F
=
解：
2α
α↔
−t
e
解：
例4：解：
ωωπδεj 1
)()(+
↔
t )(2j 1
)(ωπεπδ−↔+
t
t )(2j 1
)(ωπεπδ↔−
−t t )
(j 1)(21ωεπδπ
↔⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡−−t t )
(2j 1
)(21ωεπδ↔
−t
t []。

求)(1
ωε−
时域卷积定理
时域卷积定理证明
τττωd d )()(j 21∫∫+∞∞−−+∞
∞−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=t e t f f t τ
ωτωτ
d )j ()(j 21−+∞∞
−∫
=
e
F f τ
τωωτ
d )()j (j 12−+∞∞
−∫
=e
f F )
j ()j (21ωωF F =（得证）
[]=)(*)(21t f t f t e t f f t d d )()(j 21ωτττ−+∞
∞−+∞
∞−∫∫⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
频域卷积定理
如果：
)()(ω
1
例：求的傅里叶变换
解：
根据频域卷积定理：
)
()(Sa 2ωπg t ↔已知：
2
sin )(⎟⎠
⎞
⎜
⎝⎛=t t t f )
(Sa )(Sa )(t t t f ⋅=[])()(2
22ωωπ
g g ∗=[])()(21
)(Sa )(Sa 22ωπωππg g t t ∗↔⋅
时域微分特性
如果：)
j ()(ωF t f ↔。