湖北省武汉二中广雅中学2018-2019学年八年级(下)段测数学试卷(五) 解析版

2018-2019学年湖北省武汉二中广雅中学八年级（下）段测数学试卷（五）
一．选择题（共10小题）
1．二次根式中，字母a的取值范围是（）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
2．下列运算正确的是（）
A．+＝B．﹣＝C．×＝3D．÷＝4 3．下列二次根式，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
4．四边形ABCD对角线互相垂直，顺次连接四边形ABCD四边中点所得到的四边形是（）A．一般的平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
6．正方形和矩形都具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
7．如图，等腰Rt△ACD，斜边AD＝4，分别以的边AD、AC、CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是（）
A．4B．4πC．2πD．
8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE ＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）
A．7B．8C．7D．7
9．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC、BC于点D，E两点．当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时（点D不与A、C重合），给出以下个结论：①CD＝BE；②AD2+BE2＝DE2；③四边形CDFE 不可能是正方形；④△DFE是等腰直角三角形；⑤S四边形CDEF＝S△ABC，上述结论正确的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
10．在面积为6的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB＝3，BC＝2，则CE+CF的值为（）
A．10+5B．2+
C．10+5或2+D．10+5或5﹣10
二．填空题（共6小题）
11．（2）2＝，＝，（）﹣1＝．
12．当x＝﹣1，代数式x2+2x+3的值是．
13．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝．
14．观察下列等式：①；②；③、…根据上述的规律，写出用n（n为正整数，且n≥2）表示的等式．
15．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF．点G，H
分别在边AB、CD上，且GH＝，GH交EF于M．若∠EMH＝45°，则EF的长为
16．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在BC边上，CP＞BP，点D为AC中点，AB边上有一点N，使△BPN的周长等于BC的长，若DP＝2，DN＝3，则AN2+CP2的值为．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）﹣+；
（2）2．
18．如图，在▱ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，连接CH和AG，求证：∠1＝∠2．
19．如图1，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC ＝2，BC＝．
（1）请在网格中画出△ABC．
（2）如图2，直接写出：
①AC＝，BC＝．
②△ABC的面积为．
③AB边上的高为．
20．已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+＝0．（1）求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且满足，求这个三角形的周长．
21．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°．点E、F分别是AB、CD上的点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A、D的对应点分别为C、G．
（1）求证：CE＝CF．
（2）求S△CEF．
22．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE 和CE交于E点，连接AE交CD于F．
（1）求证：EP＝AP；
（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．
23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，
（1）若AB＝6，AE＝CF，点E为AD的中点，连接AE，BF．
①如图1，求证：BE＝BF＝3；
②如图2，连接AC，分别交BE，BF于M，N，连接DM，DN，求四边形BMDN的面积．
（2）如图3，过点D作DH⊥BE，垂足为H，连接CH，若∠DCH＝22.5°，则的值为（直接写出结果）．
24．如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF＝DG＝1，DF＝2．
（1）AE＝，正方形ABCD的边长＝；
（2）如图2，将∠AED绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α＝30°，求菱形AB′C′D′的边长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．二次根式中，字母a的取值范围是（）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围．
【解答】解：根据题意得：a﹣1≥0，解得a≥1．故选C．
2．下列运算正确的是（）
A．+＝B．﹣＝C．×＝3D．÷＝4【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；
根据二次根式的乘法对C进行判断；
根据二次根式的除法对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝2﹣＝，所以B选项正确；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝＝2，所以D选项错误．
故选：B．
3．下列二次根式，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2，故A不是最简二次根式；
（B）原式＝，故B不是最简二次根式；
（D）原式＝2，故D不是最简二次根式；
故选：C．
4．四边形ABCD对角线互相垂直，顺次连接四边形ABCD四边中点所得到的四边形是（）A．一般的平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形．
【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD，EH∥FG∥BD，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：B．
5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
【解答】解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选：C．
6．正方形和矩形都具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
【分析】分别根据正方形、矩形、菱形的性质进行判断即可．
【解答】解：
正方形的对角线互相垂直、平分、相等且平分一组对角，
矩形的对角线相等且平分，
菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，
∴正方形和矩形都具有而菱形不一定具有的是对角线相等，
故选：B．
7．如图，等腰Rt△ACD，斜边AD＝4，分别以的边AD、AC、CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是（）
A．4B．4πC．2πD．
【分析】由勾股定理可得AC2+CD2＝AD2，然后确定出S半圆ACD＝S半圆AEC+S半圆CFD，从而得证．
【解答】解：∵△ACD是直角三角形，
∴AC2+CD2＝AD2，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD＝•AD2，S半圆AEC＝•AC2，S半圆CFD＝•CD2，
∴S半圆ACD＝S半圆AEC+S半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和＝Rt△ACD的面积＝×2×4＝4．故选：A．
8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE ＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）
A．7B．8C．7D．7
【分析】由正方形的性质得出∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD ＝AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE＝∠CDF，证出∠ABE＝∠DAG＝∠CDF ＝∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE＝DG，BE＝AG，同理：AE＝DG＝CF ＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，得出EG＝GF＝FH＝EF＝7，证出四边形EGFH是
正方形，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAE+∠DAG＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF，
同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，
即∠DGA＝90°，
同理：∠CHB＝90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE＝DG，BE＝AG，
同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，
∴EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7，
∵∠GEH＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF＝EG＝7；
故选：C．
9．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC、BC于点D，E两点．当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时（点D不与A、C重合），给出以下个结论：①CD＝BE；②AD2+BE2＝DE2；③四边形CDFE 不可能是正方形；④△DFE是等腰直角三角形；⑤S四边形CDEF＝S△ABC，上述结论正确的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】连接CF，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝90°．点F 是AB中点，先证明△AFD≌△CFE，则AD＝CE，DF＝EF，于是可对①②④⑤进行判断；由于FD⊥AC时，四边形CDFE为矩形，利用FE＝FD可判断四边形CDFE是正方形，则可对③进行判断．
【解答】解：连接CF，如图，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°．点F是AB中点，
∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠A＝∠BCF＝45°，
∵∠AFD+∠CFD＝90°，∠CFD+∠CFE＝90°，
∴∠AFD＝∠CFE，
∴△AFD≌△CFE（ASA），
∴AD＝CE，DF＝EF，
∴CD＝BE，所以①正确；
在Rt△CDE中，CE2+CD2＝DE2，
∴AD2+BE2＝DE2；所以②正确；
当FD⊥AC时，四边形CDFE为矩形，
而FE＝FD，则此时四边形CDFE是正方形，所以③错误；
∵DF＝EF，∠DFE＝90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以④正确；
∵S四边形CDEF＝S△CDF+S△CEF，
而△AFD≌△CFE，
∴S四边形CDEF＝S△CDF+S△ADF＝S△ACF，
∴S四边形CDEF＝S△ABC，所以⑤正确．
故选：C．
10．在面积为6的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB＝3，BC＝2，则CE+CF的值为（）
A．10+5B．2+
C．10+5或2+D．10+5或5﹣10
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝6，
∴AE＝3，AF＝2．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，把AB＝3，AE＝3代入求出BE＝6＞2，
即E在BC延长线上．同理DF＝4＜3，即F在DC上（如图1），
∴CE＝6﹣2，CF＝3﹣4，即CE+CF＝2+．
②如图2中：∵AB＝3，AE＝3，
在△ABE中，由勾股定理得：BE＝6，
同理DF＝4，
∴CE＝6+2，CF＝3+4，
∴CE+CF＝10+5．
∴综上可得：CE+CF＝2+或10+5．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．（2）2＝20，＝，（）﹣1＝．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：（2）2＝20，＝，（）﹣1＝＝．
故答案为：20，，．
12．当x＝﹣1，代数式x2+2x+3的值是25．
【分析】将所求式子进行配方处理，再将已知条件代入即可．
【解答】解：x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∵x＝﹣1，
∴x2+2x+3＝（x+1）2+2＝23+2＝25，
故答案为25．
13．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝112.5°．
【分析】由于CE＝AC，∠ACB＝45°，可根据外角定理求得∠E的值，同样根据外角定理∠AFC＝∠FCE+∠E，从而求得∠AFC．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠CAF，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵∠AFC是△CFE的外角，
∴∠AFC＝∠FCE+∠E＝112.5°，
故答案为：112.5°．
14．观察下列等式：①；②；③、…根据上述的规律，写出用n（n为正整数，且n≥2）表示的等式（n≥2且n
为整数）．
【分析】观察可发现整数部分与分子相同，分母为整数的平方减1，据此可解．
【解答】解：观察可发现整数部分与分子相同，分母为整数的平方减1，
∴用n（n为正整数，且n≥2）表示的等式为：＝n．
故答案为：＝n（n为正整数，且n≥2）．
15．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF．点G，H 分别在边AB、CD上，且GH＝，GH交EF于M．若∠EMH＝45°，则EF的长为3
【分析】连接CE、CF，证明△FBC≌△EDC（SAS），得出CF＝CE，∠FCB＝∠ECD，证出△CEF是等腰直角三角形，得出∠EFC＝45°，EF＝CF，证出四边形FCHG是平行四边形，得出CF＝GH＝3，进而得出答案．
【解答】解：连接CE、CF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，BC＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠FBC＝90°＝∠D，
在△FBC和△EDC中，，
∴△FBC≌△EDC（SAS），
∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECD，
∴∠ECF＝∠ECB+∠FCB＝∠ECB+∠ECD＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠EFC＝45°，EF＝CF，
∵∠EMH＝45°，
∴∠EFC＝∠EMH，
∴GH∥FC，
∵AF∥DC，
∴四边形FCHG是平行四边形，
∴CF＝GH＝3，
∴EF＝CF＝3；
故答案为：3．
16．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在BC边上，CP＞BP，点D为AC中点，AB边上有一点N，使△BPN的周长等于BC的长，若DP＝2，DN＝3，则AN2+CP2的值为29．
【分析】作∠PDN＝45°，在线段CB上截取CN'＝BN，连接BD，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD＝AC，∠ABD＝∠ACB＝45°，延长ND到F，使DN＝DF，连接
CF，根据全等三角形的性质得到AN＝CF，∠FCD＝∠A＝45°，作PM⊥ND，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作∠PDN＝45°，在线段CB上截取CN'＝BN，连接BD，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为AC中点，
∴BD＝CD＝AC，∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴△DNB≌△DN'C（SAS），
∵△BPN的周长等于BC的长，
∴PN＝PN′，
延长ND到F，使DN＝DF，连接CF，
∵AD＝CD，∠ADN＝∠CDF，
∴△ADN≌△CDF（SAS），
∴AN＝CF，∠FCD＝∠A＝45°，
∴∠PCF＝90°，
作PM⊥ND于M，
∴△PMD是等腰直角三角形，
∵DP＝2，
∴PM＝DM＝2，
∴MF＝DM+DF＝5，
AN2+CP2＝PF2＝22+52＝29，
故答案为：29．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）﹣+；
（2）2．
【分析】（1）分别化简每个二次根式，再由加法运算法则运算即可；
（2）先化简二次根式，再由左向右依次运算即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+＝3；
（2）原式＝2×2×＝4×3＝12＝12×＝6．
18．如图，在▱ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，连接CH和AG，求证：∠1＝∠2．
【分析】首先证明AH∥CG，再利用平行四边形的性质证明△ABD≌△CDB（SSS），可得S△ABD＝S△BCD，进而可得AH＝CG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．
【解答】证明：∵AH⊥BD，CG⊥BD，
∴AH∥CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
在△ADB和△CBD中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴S△ABD＝S△BCD，
∴AH＝CG，
∴四边形AGCH为平行四边形，
∴CH∥AG，
∴∠1＝∠2．
19．如图1，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC ＝2，BC＝．
（1）请在网格中画出△ABC．
（2）如图2，直接写出：
①AC＝，BC＝．
②△ABC的面积为．
③AB边上的高为．
【分析】（1）根据点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC＝2，BC＝，即可在网格中画出△ABC；
（2）①根据勾股定理即可求出AC、BC的长；
②根据割补法即可求出三角形ABC的面积；
③根据等面积法即可求出AB边上的高．
【解答】解：（1）△ABC即为所求；
（2）①AC＝＝，
BC＝＝；
②S△ABC＝2×2﹣×1﹣1×2﹣1×2＝，
③如图2，
AB边上的高为CD，垂足为D，
∵S△ABC＝AB•CD＝，
∵AB＝＝，
∴CD＝，
∴CD＝．
故答案为：、、、．
20．已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+＝0．（1）求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且满足，求这个三角形的周长．
【分析】（1）首先利用完全平方公式因式分解，进一步根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．再由三角形的三边关系就可以求得第三边的范围；
（2）首先利用非负数的性质得出b+c＝8，进一步利用非负数的性质建立方程组求得a、
b、c的数值，求得三角形的周长即可．
【解答】解：（1）∵a2﹣12a+36+＝0，
∴（a﹣6）2+＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
则a＝6，b＝8，
∴8﹣6＜c＜8+6，
即2＜c＜14，
∵c是三角形的最大边，
∴8＜c＜14．
（2）∵，
∴，
解得，
∴b+c＝8，
∴a﹣5＝0，
解得a＝5，
∴这个三角形的周长为：a+b+c＝5+8＝13．
21．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°．点E、F分别是AB、CD上的点，
将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A、D的对应点分别为C、G．
（1）求证：CE＝CF．
（2）求S△CEF．
【分析】（1）连接AC、AF，设AC交EF于H．利用全等三角形的性质证明即可．（2）过C点作CG⊥AB于G点，令AE＝CE＝x，则EG＝4﹣x，在Rt△CEG中，根据CE2＝EG2+CG2，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AC、AF，设AC交EF于H．
∵AB∥CD，
∴∠EAC＝∠ACD，
∵EA＝EC，
∴∠ECA＝∠EAC＝∠ACD，
∵CA⊥EF，
∴∠CHE＝∠CHF＝90°，
∵CH＝CH，
∴△CEH≌△CFH（ASA），
∴CF＝CE＝AE＝AF，
∴四边形AECF为菱形．
（2）过C点作CG⊥AB于G点，
∵CB＝4，∠B＝60°，∠CGB＝90°
∴BG＝BC＝2，CG＝BG＝2，令AE＝CE＝x，
则EG＝4﹣x，
在Rt△CEG中，∵CE2＝EG2+CG2，
∴x2＝（4﹣x）2+（2）2，
∴x＝，
∴S△CEF＝S△ACE＝．
22．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE 和CE交于E点，连接AE交CD于F．
（1）求证：EP＝AP；
（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．
【分析】（1）连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，根据全等三角形的判定求出△P AG≌△PEC即可；
（2）延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，根据全等三角形的判定求出△ABQ≌△ADF，△QAP≌△F AP，△PEH≌△APB，根据全等三角形的性质得出QP＝PE，设EH＝CH＝BP＝x，求出PC＝4﹣x，PF＝1+x，在Rt△PCF中，由勾股定理得出（1+x）2＝（4﹣x）2+32，求出x即可．
【解答】（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∵PG⊥BC，
∴∠GPC＝90°，
∴∠PGC＝45°，
∴PG＝PC，
∵∠DCE＝45°，
∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，
∴∠APE＝∠GPC＝90°，
∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，
在△P AG和△PEC中
∴△P AG≌△PEC（ASA），
∴PE＝P A；
（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接
AQ，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABQ＝∠D＝90°，
在△ABQ和△ADF中
∴△ABQ≌△ADF（SAS），
∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，
∵∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠P AE＝∠AEP＝45°，
∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠P AE＝90°﹣45°＝45°＝∠P AE，
在△QAP和△F AP中
∴△QAP≌△F AP（SAS），
∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，
在△PEH和△APB中
∴△PEH≌△APB（AAS），
∴BP＝EH，
∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠CEH，
∴CH＝EH＝BP，
设EH＝CH＝BP＝x，
∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解之得：x＝，
即CH＝EH＝，
∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．
23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，
（1）若AB＝6，AE＝CF，点E为AD的中点，连接AE，BF．
①如图1，求证：BE＝BF＝3；
②如图2，连接AC，分别交BE，BF于M，N，连接DM，DN，求四边形BMDN的面积．
（2）如图3，过点D作DH⊥BE，垂足为H，连接CH，若∠DCH＝22.5°，则的值为﹣1（直接写出结果）．
【分析】（1）①先求出AE＝3，进而求出BE，再判断出△BAE≌△BCF，即可得出结论；
②先求出BD＝6，再判断出△AEM∽△CMB，进而求出AM＝2，再判断出四边形BMDN是菱形，即可得出结论；
（2）先判断出∠DBH＝22.5°，再构造等腰直角三角形，设出DH，进而得出HG，BG，即可得出BH，结论得证．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵点E是中点，
∴AE＝AD＝3，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝3，
在△BAE和△BCF中，，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF，
∴BE＝BF＝3；
②如图2，连接BD，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝6，
∴BD＝6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△AEM∽△CMB，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝AC＝2，
同理：CN＝2，
∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2，
由①知，△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AB＝BC，∠BAM＝∠BCN＝45°，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM＝BN，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAM＝∠DAM＝45°，
∵AM＝AM，
∴△BAM≌△DAM，
∴BM＝DM，
同理：BN＝DN，
∴BM＝DM＝DN＝BN，
∴四边形BMDN是菱形，
∴S四边形BMDN＝BD×MN＝×6×2＝12；（2）如图3，设DH＝a，
连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵DH⊥BH，
∴∠BHD＝90°，
∴点B，C，D，H四点共圆，
∴∠DBH＝∠DCH＝22.5°，
在BH上取一点G，使BG＝DG，
∴∠DGH＝2∠DBH＝45°，
∴∠HDG＝45°＝∠HGD，
∴HG＝HD＝a，
在Rt△DHG中，DG＝HD＝a，
∴BG＝a，
∴BH＝BG+HG＝a+a＝（+1）a，
∴＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
24．如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF＝DG＝1，DF＝2．
（1）AE＝1，正方形ABCD的边长＝；
（2）如图2，将∠AED绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α＝30°，求菱形AB′C′D′的边长．
【分析】（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；
（2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可；
②首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α＝30°，则∠E′D′N＝
60°，可求出AE′＝1，E′O，E′N，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．【解答】解：（1）由题意可得：∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AED和△DGC中，
，
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE＝GD＝1，
又∵DE＝1+2＝3，
∴正方形ABCD的边长＝＝，
故答案为：1，；
（2）①∠B′AD′＝90°﹣α；
理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，
在Rt△AE′D′和Rt△B′MA中，
，
∴Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL），
∴∠D′AE′+∠B′AM＝90°，
∠B′AD′+α＝90°，
∴∠B′AD′＝90°﹣α；
②过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，
若α＝30°，
则∠E′D′N＝60°，AE′＝1，
故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，
由勾股定理可知菱形的边长为：＝＝．。