(人教版)2023年九年级中考数学第一轮复习：新定义型问题

(人教版)2023年九年级中考数学第一轮复习：新定义型问
题
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. (2022·天津·一模)定义运算:a@b=a(1-b).若a,b 是方程()2300x x m -=<的两根,则b@b-a@a 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.与m 有关
2. (2021内蒙古乌兰察布)定义新运算“⨂”,规定:a ⨂b ＝a-2b.若关于x 的不等式x ⨂m ＞3的解集为x ＞-1,则m 的值是( )
A.-1
B.-2
C.1
D.2
3. 7.(2021•包头)定义新运算“⨂”,规定:a ⨂b ＝a-2b.若关于x 的不等式x ⨂m ＞3的解集为x ＞-1,则m 的值是( )
A.-1
B.-2
C.1
D.2
4. (2020•河南)定义运算:m ☆n ＝mn 2﹣mn ﹣1.例如:4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7.则方程1☆x
＝0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根;
B.有两个相等的实数根;
C.无实数根;
D.只有一个实数根
5. (2021·怀化中考)定义a ⊕b ＝2a ＋1b
,则方程3⊕x ＝4⊕2的解为( ) A.x ＝15 B.x ＝25 C.x ＝35 D.x ＝45
6. (2021•永州)定义:若10x
＝N,则x ＝log 10N,x 称为以10为底的N 的对数,简记为lgN,其满
足运算法则:lgM+lgN ＝lg(M •N)(M ＞0,N ＞0).例如:因为102＝100,所以2＝lg100,亦即
lg100＝2;lg4+lg3＝lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为
( )
A.5
B.2
C.1
D.0
7. (2021甘肃威武定西平凉)对于任意的有理数a,b,如果满足32b a 3b 2a
++=+,那么我们称这一对数a,b 为“相随数对”,记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”,则3m+2[3m+(2n-1)]＝
( )
A.-2
B.-1
C.2
D.3
8. (2021•济南)新定义:在平面直角坐标系中,对于点P(m,n)和点P ′(m,n ′),若满足m ≥0时,n ′＝n-4;m ＜0时,n ′＝-n,则称点P ′(m,n ′)是点P(m,n)的限变点.例如:点P 1(2,5)的限变点是P 1′(2,1),点P 2(-2,3)的限变点是P 2′(-2,-3).若点P(m,n)在二次函数y ＝-x 2+4x+2的图象上,则当-1≤m ≤3时,其限变点P ′的纵坐标n'的取值范围是( )
A.-2≤n ′≤2
B.1≤n ′≤3
C.1≤n ′≤2
D.-2≤n ′≤3
9. (2021·荆州中考)定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q.有[m,p]※[q,n]＝mn ＋pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,例如:[2,3]※[4,5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x 的方程[x 2＋1,x]※[5－2k,k]＝0有两个实数根,则k 的取值范围是( )
A.k ＜54 且k ≠0
B.k ≤54
C.k ≤54
且k ≠0 D.k ≥54 10. (2021湖南永州)定义:若10x ＝N,则x ＝log 10N,x 称为以10为底的N 的对数,简记为lgN,
其满足运算法则:lgM+lgN ＝lg(M •N)(M ＞0,N ＞0).例如:因为102＝100,所以2＝lg100,亦即
lg100＝2;lg4+lg3＝lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为
( )
A.5
B.2
C.1
D.0
二、填空题(本大共8小题，每小题5分，满分40分)
11. (2022·江苏盐城)规定a*b=2a ×2b ,例如:1*2=21×22=23=8,若2*(x+1)=64,则x 的值为
_____.
12. (2020毕节地区)对于两个不相等的实数a 、b,定义一种新的运算如
下,0a a a a b *b b b +=+（＞）﹣,如:323*2532
+==﹣,那么6*(5*4)= . 13. (2021•上海)定义:在平面内,一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离,在平面内有一个正方形,边长为2,中心为O,在正方形外有一点P,OP ＝2,当正方形绕着点O 旋转时,则点P 到正方形的最短距离d 的取值范围为 .
14. (2021浙江台州模拟)定义一种新运算:a ※b ＝()3()a b a b b a b -⎧⎨<⎩
,则2※3﹣4※3的值______. 15. (2021山东乐陵模拟)对于x 、y 定义一种新运算“*”:x y ax by *=-,其中a 、b 为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.已知:1110*=,2116*=,那么23*=_______.
16. (2021•呼和浩特)若把第n 个位置上的数记为x n ,则称x 1,x 2,x 3,…,x n 有限个有序放置的数为一个数列A.定义数列A 的“伴生数列”B 是:y 1,y 2,y 3,…,y n ,其中y n 是这个数列中第n 个位置上的数,n ＝1,2,…,k 且y n ＝⎩⎨⎧≠=++1
n 1-n 1n 1-n x x 1x x 0，，并规定x 0＝x n ,x n+1＝x 1.如果数列A 只有四
个数,且x 1,x 2,x 3,x 4依次为3,1,2,1,则其“伴生数列”B 是 .
17. (2020•临沂)我们知道,两点之间线段最短,因此,连接两点间线段的长度叫做两点间的距离;同理,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,因此,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.类似地,连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中,最短线段的长度,叫做点到曲线的距离.依此定义,如图,在平面直角坐标系中,点A(2,1)到以原点为圆心,以1为半径的圆的距离为 .
18. (2021四川凉山)阅读以下材料:
苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550-1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707-1783年)
对数的定义:一般地,若a x ＝N(a ＞0且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x ＝log a N,
比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 216,对数式2＝log 39可以转化为指数式32＝9.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
log a (M •N)＝log a M+log a N(a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0),理由如下:
设log a M ＝m,log a N ＝n,则M ＝a m ,N ＝a n ,
∴M •N ＝a m •a n ＝a m+n ,由对数的定义得m+n ＝log a (M •N).
又∵m+n ＝log a M+log a N,
∴log a (M •N)＝log a M+log a N.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题:
(1)填空:①log 232＝ ,②log 327＝ ,③log 71＝ ;
(2)求证:log a N
M ＝log a M-log a N(a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0); (3)拓展运用:计算log 5125+log 56-log 530.
三、解答题(本大题共6道小题,每小题6-12分)
19. (6分)(2021•北京)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于点A 和线段BC,给出如下定义:若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′(B ′,C ′分别是B,C 的对应点),则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”.
(1)如图,点A,B 1,C 1,B 2,C 2,B 3,C 3的横、纵坐标都是整数.在线段B 1C 1,B 2C 2,B 3C 3中,⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ;
(2)△ABC 是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t ≠0.若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”,求t 的值;
(3)在△ABC 中,AB ＝1,AC ＝2.若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”,直接写出OA 的最小值和最大值,以及相应的BC 长.
20. (6分)(2020•遂宁)阅读以下材料,并解决相应问题:
小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x+c 1(a 1≠0,a 1、b 1、c 1是常数)与y ＝a 2x 2+b 2x+c 2(a 2≠0,a 2、
b 2、
c 2是常数)满足a 1+a 2＝0,b 1＝b 2,c 1+c 2＝0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y ＝2x 2﹣3x+1的旋转函数,小明是这样思考的,由函数y ＝2x 2﹣3x+1可知,a 1＝2,b 1＝﹣3,c 1＝1,根据a 1+a 2＝0,b 1＝b 2,c 1+c 2＝0,求出a 2,b 2,c 2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y ＝x 2﹣4x+3的旋转函数.
(2)若函数y ＝5x 2+(m ﹣1)x+n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数,求(m+n)2020的值.
(3)已知函数y ＝2(x ﹣1)(x+3)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1,试求证:经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2(x ﹣1)(x+3)互为“旋转函数”.
21. (8分)(2021湖南衡阳)在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“雁点”.例如(1,1),(2021,2021)…都是“雁点”.
4图象上的“雁点”坐标;
(1)求函数y＝
x
(2)若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点(点M 在点N的左侧).当a＞1时.
①求c的取值范围;
②求∠EMN的度数;
(3)如图,抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),P是抛物线y＝
-x2+2x+3上一点,连接BP,以点P为直角顶点,构造等腰Rt△BPC,是否存在点P,使点C恰好为“雁点”？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
22. (10分)(2021湖南长沙)我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称,则把该函数称之为“T函数”,其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定,完成下列各题.
(1)若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y＝的图象上的一
对“T点”,则r＝,s＝,t＝(将正确答案填在相应的横线上);
(2)关于x的函数y＝kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是,指出它有多少对“T点”如果不是,请说明理由;
(3)若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c(a＞0,且a,b,c是常数)经过坐标原点O,且与直线l:y ＝mx+n(m≠0,n＞0,且m,n是常数)交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,当x1,x2满足(1-x1)-1+x2＝1时,直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.
23. (12分)(2021山东枣庄)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD 中,AB ＝AD,CB ＝CD,问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由;
(2)性质探究:如图1,垂美四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O.猜想:AB 2+CD 2与AD 2+BC 2有
什么关系？并证明你的猜想.
(3)解决问题:如图3,分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE,连结CE,BG,GE.已知AC ＝4,AB ＝5,求GE 的长.
24. (12分)(2020湖北随州模拟)
在平面直角坐标系中,我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数,a ≠
0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”. 已知抛物线22343y
x x 2333
与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与x 轴负半轴交于点C.
(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ;
(2)如图,点M 为线段CB 上一动点,将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折,点C 的对称点为N,若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”,求点N 的坐标;
(3)当点E 在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请直接写出点E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由. y
x
A
B C
O M。