2024年广东省中山市纪雅学校中考数学一模试卷+答案解析

2024年广东省中山市纪雅学校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.与2024互为相反数是()
A.2024
B.
C.
D.
2.据统计，2023年“五一”假期国内旅游出游约274000000人次这个数用科学记数法表示为()
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是()
A.
B.
C.
D.
4.下列因式分解正确的是()
A. B.
C.
D.
5.已知关于x 的方程的解是
，则a 的值为() A.2
B.1
C.
D.
6.数据2，4，8，5，3，5，5，4的众数、中位数分别为()
A.
、5
B.5、
C.5、4
D.5、5
7.如图，AB 是的直径，若
，则
的度数为(
) A. B. C. D.
8.如图，的内切圆
与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ，连
接OE ，OF ，若，
，
，则阴影部分的面积为()
A. B.
C.
D.
9.如图，在中，，M为BC的中点，H为AB上一点，过
点C作，交HM的延长线于点G，若，，则四边形
ACGH周长的最小值是()
A.24
B.22
C.20
D.18
10.如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O、；将抛物线绕
点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为()
A. B.6 C. D.8
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.函数中，自变量x的取值范围是______.
12.已知点和关于y轴对称，则的值为______.
13.如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知
，则与的面积比为______.
14.关于x的一元二次方程有实数根、，且，则m的值是______.
15.如图①，中，，于点H，点D在AH上，且，连结将
绕点H旋转，得到点B，D分别与点E，F对应，连接如图②，当点F落在AC上时，不与
C重合，若，，则______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。

16.计算：
四、解答题：本题共8小题，共64分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题6分
先化简，再求值，其中
18.本小题6分
乡村振兴，交通先行.近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施.某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米.
19.本小题6分
如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水
平距离AD为6米，求该校的旗杆高为多少米结果保留根号
20.本小题8分
随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A 型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
21.本小题8分
艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4个班用A，B，C，D表示，对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，回答下列问题：
请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了件作品；
如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．
22.本小题8分
如图，AB、AC分别是的直径和弦，于点过点A作的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点
求证：PC是的切线；
若，，求线段CF的长.
23.本小题10分
如图，抛物线交x轴于A、B两点点A在点B的左侧坐标分别为，交y轴
于点
求出抛物线解析式；
如图1，过y轴上点D做BC的垂线，交线段BC于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标；
如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿HQ翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．
24.本小题12分
定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
初步尝试：
如图①，在中，若，，P为AC上一点，当AP的长为______时，
与为偏等积三角形；
理解运用：
如图②，与为偏等积三角形，若，，且线段AD的长度为正整数，过点C作，交AD的延长线于点E，求AE的长；
综合应用：
如图③，已知为直角三角形，，分别以AC，AB为边向外作正方形ACGF和正方形ABDE，连结EF，求证：与为偏等积三角形.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是
故选：
根据相反数的定义解答即可．
本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：
故选：
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、，正确；
D、应为，故本选项错误．
故选：
根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的性质，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式，故本选项不符合题意．
B、原式，故本选项不符合题意．
C、原式，故本选项不符合题意．
D、原式，故本选项符合题意．
故选：
根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解．
本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．也考查了提公因式法与公式法的综合运用．
5.【答案】C
【解析】解：关于x的方程的解是，
，
解得，
经检验是方程的解．
故选：
将代入方程，即可求a的值．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：数据中5出现的次数最多，所以众数为5，
将数据重新排列为2、3、4、4、5、5、5、8，
则中位数为，
故选：
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接
是直径，
，
，
，
故选：
如图，连接求出即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】D
【解析】解：连结AO、BO、DO，CO，设半径为r，
，，，
，
的内切圆与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
，，，且，
，
，
，，，
四边形OFCE是正方形，
，
，
故选：
连结AO、BO、DO，CO，设半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四
边形OFCE是正方形，得
本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，面积法求内切圆半径，扇形面积，勾股定理等知识，解题关键是求出内切圆半径．
9.【答案】B
【解析】解：，
，
是
BC的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形ACGH的周长，
当GH最小时，即时四边形ACGH的周长有最小值，
，，
，
四边形ACGH为矩形，
，
四边形ACGH的周长最小值为，
故选：
通过证明≌可得，可得四边形ACGH的周长即为，进而可确定当时，四边形
ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：对于，当时，，
解得：，，
，
，
由题意可知，，
可设：，
将代入，得：，
解得：，
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
，
的值等于时的纵坐标，
，
故选：
根据可求出，，从而可求出，，进而可得出：
，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由
，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，关键在于能根据函数图象发现规律并进行计算．
11.【答案】
【解析】解：已知，
则，
解得：，
故答案为：
根据二次根式有意义的条件计算即可．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】
【解析】解：点和关于
y轴对称，
，，
，
故答案为：
利用关于y轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
13.【答案】
【解析】解：，
，
以点O为位似中心，将缩小后得到，
∽，
，
，
故答案为：
先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
此题主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．
14.【答案】
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
，
关于x的一元二次方程有实数根、，
，，
，
，
，
故答案为
由根与系数的关系可得出，，将其代入中可得出，
解得
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
15.【答案】
【解析】解：如图②，过点H作，
在中，，
，
设，
，
，
，
，
，，
将绕点H旋转，得到，
≌，
，，，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
故答案为：
先根据，求出，，然后根据∽，得到，，
，最后用勾股定理即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．
16.【答案】解：原式
【解析】先化简算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
17.【答案】解：
，
当时，原式
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原来每天修建道路200米．
【解析】设原来每天修建道路
x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，利用工作时间=工作总量工作效率，可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：在，
米，，
，
解得：米，
在，
米，，
，
解得：米，
故该校的旗杆高约为：米，
答：该校的旗杆高为米．
【解析】分别在和中利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度．
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中锐角三角函数关系是解题关键．20.【答案】解：设该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去，
答：该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为；
设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机架，需要成本为w元，
依据题意可得：，
解得：，
，
，
当a的值增大时，w的值减小，
为整数，
当时，w取最小值，此时，
，
公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【解析】此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，找到产量前后变化的平衡关系，列出方程，解答即可．
直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
21.【答案】解：所调查的4个班征集到的作品数为：件，
估计全校共征集作品件
条形图如图所示，
男生有3名，分别记为，，，女生记为B，
列表如下：
B
B
由列表可知，共有12种等可能情况，其中选取的两名学生恰好是一男一女的有6种．
所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为
【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得，再求得C班级的数量可补全条形图，用班级总数乘以所抽取班级的平均数即可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到一男、一女的结果数，根据概率公式求解可得．
22.【答案】证明：连接OC，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的切线．
解：由题意得，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
由知，
【解析】连接OC，可以证得≌，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：，即，即可证得；
先证是等边三角形得，再由中所证切线可得，结合半径
可得答案．
本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
23.【答案】解：将，，代入表达式得：
，解得，
抛物线解析式为；
过点F作x轴的垂线交BC于N，交x轴于M，
，，
，
在中，，
由勾股定理得，
，即，
，
，，
直线BC：，
设，，
或，
或，
，；，，
或或或，
其中和两点所对应的E点不在线段BC上，所以舍去，
点F的坐标为或；
分两种情况讨论：
①如图所示，当点Q位于x轴负半轴时，过点P作轴交x轴于点M，作轴交y轴于点N，
则四边形OMPN为矩形，
，
，，
，
，
，
由折叠可知：，，
，
设，
，，
，
，
，
点的坐标为；
②如图所示，当点Q位于x轴正半轴时，过点P作轴交x轴于点M，作轴交y轴于N，
由①得：，，
，
设，则，，
，
，
，
点的坐标为
综上所述，Q点的坐标为或
【解析】利用待定系数法即可求解；
过点F作x轴的垂线交BC于N，交x轴于M，推出，根据锐角三角函数的定义求出，设，，由可得，；，
，则或或或，其中和
两点所对应的E点不在线段BC上，所以舍去，即可得点F的坐标；
分两种情况讨论：①如图所示，当点Q位于x轴负半轴时，过点P作轴交x轴于点M，作
轴交y轴于点N，②如图所示，当点Q位于x轴正半轴时，过点P作轴交x轴于点M，作轴交y轴于N，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．
本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的性质，锐角三角函数、图形的折叠变换、全等三角形的性
质、勾股定理等知识．其中要注意分类求解，避免遗漏．
24.【答案】
【解析】解：如图1中，
当时，，
与不全等，
与为偏等积三角形，
故答案为：；
如图2中，
与为偏等积三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
为正整数，
或3，
或6；
如图③中，过点
E作，垂足为
四边形ACGF和四边形ABDE均为正方形，
，，，，
在和中，
，
≌，
，
，，，，
，
与为偏等积三角形．
利用三角形的中线的性质即可解决问题；
证明≌，推出，，利用三角形的三边关系即可求出AE；
过点E作，垂足为H，先证明≌，得到，依据三角形的面积公式
可知，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，全等三角形的判定和性质，证得≌得到是解决问题的关键．。