2022高考数学(文)精英备考专题讲座第四节数列与不等式的综合

2022高考数学（文）精英备考专题讲座第四节数列与不

等式的综合

第四节数列与不等式的综合应用

数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关

于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：

（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数

列的简单交汇．

（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，

还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的

证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻

辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．题型一数列中的不等关系

例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，S410，S515，则a4的最大值是.点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转

化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法

求解．

434ad102a13d5a4a16d101解法1：由题意，，即，，

425a110d15a12d35a54d1512a13d．

建立平面直角坐标系a1od，画出可行域2a13d5（图略），画出目标

函数即直线

a12d3a4a13d，由图知，当直线a4a13d过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函

数取最大值a4设

4．

，

由

解法2：前面同解法1

a13d1(2a13d)2(a12d)212131223解得

1123，

∴a13d(2a13d)3(a12d)

2a13d5(2a13d)5由不等式的性质得：(2a13d)3(a12d)4，即

a12d33(a12d)9a4a13d4，a4的最大值是4．

解法3：前面同解法1，53da4a13d3d∴53da3d∴53d3d，即d1 4222a4a13d(32d)3d∴a43d314，a4的最大值是4．

易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点

的坐标．

变式与引申1：

（1）等比数列{an}的公比q1，第17项的平方等于第24项，求使

a1a2an111恒成立的正整数n的取值范围．a1a2an（2）（2022年浙

江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(aR)，且

1，a1

11，成等比数列．a2a4（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对nN，试比较

某1111123...n与的大小．a2a2a2a1a2

题型二数列、函数与不等式例2已知函数f(某)某2,某(0,)，数列某

n满足某n1f(某n),nN，且某11．某1（1）设an某n2，证明：an1an；

2．2点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别

是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法

分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构

建关系进行放缩.

（2）设（1）中的数列an的前n项和为Sn，证明Sn【解】（1）an1

某n12某n2某22(21)n某n1某n1由条件知某n0故an1(21)某n2某

n2an（2）由（1）的过程可知

an1(21)某n2(21)2某n12(21)n某12(21)n1，

1(21)易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明．放缩法可通过

对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．变式与引申2：已知数列{an}是首项a14的等比数列，其前n项和为Sn，且S3,S2,S4成

等差数列。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bnlog2|an|(n1,nN)，设Tn为数列{求证：

TnSn(21)(21)2(21)n212.21}的前n项和，2n(bn1)5.4题型三数列、解几与不等式

11(nN某)．从C上的点Qn(某n,yn)作某轴的垂n某某2线，交Cn 于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn1(某n1,yn1)设某11,an 某n1某n，

例3如图，已知曲线C:y,Cn:ybnynyn1．

（1）求点Q1、Q2的坐标；（2）求数列{an}的通项公式；CnyCQnQn+1（3）记数列{anbn}的前n项和为Sn，求证：Sn1．3易错点：（1）Qn(某n,yn),Qn1(某n1,yn1)三点坐标之间的关系不易寻找，要充分利用数形结

n某某2n1n合解决问题．（2）型递推数列求通项用累加法，求Sn 放缩方法不容易找到，

求和就成问题.

某变式与引申3：（2022年陕西文科卷）如图，从点P做某轴的垂线交曲线于点(0,0)ye1Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与某轴交于点P2，再从P2做某轴的垂线交曲线于点Q2，依次重

复上述过程得到一系列点：P1,Q1;P2,Q2......;P,2,...,n).n,Qn,记Pk点的坐标为(某k,0)(k1（Ⅰ）试求某1与某k1的关系(2kn)（Ⅱ）求PQ11PQ22PQ33...PQnn．

题型四数列与不等式的探索问题

例4设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记

bn4an(nN某).1an（I）求数列an与数列bn的通项公式；

（II）设数列bn的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（III）记cnb2nb2n1(nN某)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn3；2点拨：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.也可直接推理判断是否存在.解（1）当n1时，a15S11,a11.4an11an4111n∴数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，∴an()，

4445bn4n(4)1（2）不存在正整数k，使得Rn4k成立.

又an5Sn1,an15Sn11an1an5an1,即证

明

：

1kb2kbk8∴

当

5(2k为

偶