DVD在线租赁

DVD 在线租赁（B ）
摘要
本论文就题目所给的信息和附表所给的数据确定了各种DVD 在线租赁的题，并对此建立了合理的线性规划模型，对各种DVD 进行分配，以使每位会员获得最大的满意度。

问题一解答：
1、 DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD i 的各DVD 的数量
2、DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到DVD i 的各DVD 的数量
问题二解答：
使会员获得最大的满意度的前30位会员所获得的DVD ：
关键字：DVD需求量线性规划中心极限定理置信水平
一、问题重述
本题是关于在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回，就可以继续下次租赁。

具体问题：
1.历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租
一次。

假设网站现有10万个会员，对每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2.网站手上有100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员
的在线订单。

如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

二、问题分析
1．从题干中可知“每个会员，每次获得3张DVD”，由此可在第二问的计算中，推出每个会员或者得到0张DVD，或者得到3张DVD。

2．通过“60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次”可采用悲观的估计：60%的DVD只可流转两次，40%的DVD只可流转一次。

由此算出一个月DVD的平均流转次数。

3．由于愿意观看DVD的人数，服从二项分布，利用中心极限定理可以将其简化为正态分布求解。

4．由表1可以求出会员愿意观看各种DVD的各个概率
由表2可知每个会员对各种DVD的满意程度
三、模型假设
1、附件调查表中的数据真实可靠；
2、 DVD租赁的会员置信水平为90%；
3、 3个月内DVD的流转速度是1个月内DVD的流转速度的3倍；
4、 1个月内 60%的DVD只可流转两次，40%的DVD只可流转一次；
5、从十万名会员中取出的1000名会员对5种DVD的偏号完全可以
代表全体会员对5种DVD的偏好。

四、符号说明
i p ：会员愿意观看第i 种DVD 的概率
i a ：抽样调查的1000人中愿意观看第i 种DVD 的人数
k ：一个月内DVD 的流转次数
1
k ：60%的DVD 的一个月的流转次数 2
k ：40%的DVD 的一个月的流转次数
k ：3个月内的DVD 的流转次数
i T ：全体会员中愿意观看第i 种DVD 的人数 n ：全体会员人数
p ：DVD 租赁的置信水平
i M ：DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD i 的第i 种DVD
的需求量
1∂：一个月内能看到DVD i 的会员比例
i N ：DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到DVD i
的第i 种DVD
的需求量
2∂：三个月内能看到DVD i 的会员比例
ij
x ：第j 个人获得i
DVD 的数量
ij H ：第j 个人对第i 种DVD 的满意度
ij y ：第j 个人取得第i 种DVD 的数量
i D ：第i 种DVD 的总数量
z ：目标函数
ij A ：0-1函数
五、模型建立与求解
问题一：网站对十万会员中愿意看各DVD 进行估测最多需要提供
多少五种DVD 的数量能够满足会员的需求进行模型建立。

1. 解决“每种DVD 应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ”问题
（1）通过对1000名会员的调查结果得出每个会员对每种DVD 的喜
好程度概率（相当于从100000个会员中抽样取出1000人，这1000人对5种DVD 的偏好完全可以代表全体会员对5种DVD 的偏好）：
1000i
a i p = (i=1,2,3,4,5)
（
i p 为会员愿意观看第i 种DVD 的概率，i a 为抽样调查的1000人中愿
意观看第i 种DVD 的人数）
（2）一个月DVD 流转的平均次数（由“60%的会员每月租赁DVD 两
次，而另外的40%只租一次”做最悲观的估计，认为40%的会员即使看完DVD 也不及时还回，使得DVD 只能每月流转一次，同理60%的DVD 只能每月循环两次）：
01260%40%k k k =+
（
k 为一个月内DVD 的流转次数，1
k 为60%的DVD 的一个月的流转次
数，2
k 为40%的DVD 的一个月的流转次数）
（3）整个会员中愿意观看i DVD 的人数：
利用中心极限定理：
~((1))i i i i x N np np p -
（n 为全体会员人数，i
x 为全体会员中愿意观看第i 种DVD 的人数）
正态分布标准化：
0x np p φ-≥
（
p 为DVD 租赁的置信水平）
（4）i DVD 的需求量：
10
i
x k i M ∂=
（ i M 为DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD i 的第i 种DVD 的需求量，1
∂为一个月内能看到DVD i 的会员比例）
2. 解决“每种DVD 应该至少准备多少张，才能保证在三个月内至少95%的会员
能够看到该DVD ”问题
（1） 至少能愿意看到i DVD 会员占总愿意看到i DVD 的概率
2
∂
，三个月i
DVD 的总流转次数：
03k k =
（k 为3个月内的DVD 的流转次数）
（2）i DVD 的需求量（以第1小问第（3）小步解答出的有关数据为前提）：
2i i N x k
∂=
（
i N 为DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到DVD i
的第i 种DVD 的需求量，2∂为
三个月内能看到DVD i 的会员比例）
问题二：对100种DVD 分配给1000个会员进行模型建立（由
于本问涉及的数据众多，因此使用Lingo 程序求解。

程序见附表，但程序运行结果过长，便省略）
（1） 分配给会员使会员的总满意程度最高建立目标函数：
假设第j 个人获得i DVD 的数量ij A 为0-1函数：
1
DVD 0
DVD i
i
ij A ⎧⎨
⎩=选未选
目标函数：
100100011
min
ij ij i j H A z ==∑
=
（
z
为目标函数，ij H 为第j 个人对第i 种DVD 的满意度）
(2) 限制条件：
1000
1
ij i j y D =≤∑（i=1,2...100）
（ij y 为第j 个人取得第i 种DVD 的数量，i D 为第i 种DVD 的总数量）
j DVD
j DVD
100
1
j 1,2,3 (100030)
ij i x ⎧⎪⎨⎪⎩
==∑第个人分配到第个人未分配到（=）
解答：
问题一：
1、 DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD i 的各DVD 的数量
2、DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到DVD i 的各DVD 的数量
问题二：
使会员获得最大的满意度的前30位会员所获得的DVD ：
六、模型优缺点
优点：
1.设置了置信水平，考虑到了有些会员可能会不将DVD还回的情况，
更符合实际情况
2.运用中心极限定理，将全体会员中愿意观看第i种DVD的数量，
近视为服从正态分布，而不是按二项分布计算，简化了计算过程，具有很强的可操作性
缺点：
1.文中的置信水平是人为主观给出的，不严谨
2.计算DVD的流转次数时，是采用最悲观的态度，很可能导致每种
DVD的数量大于需求量，使得资源被闲置，不利于利益的增加
七、参考资料
[1] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型. 高等教育出版社，2003年8月第三版
[2] 姜启源,数学模型[M].北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版
[3]吴鄣昌，概率论与数理统计，中国人民出版社，2006年10月第一版
附表：
model:
sets:
set1/1..1000/:b;!i;
set2/1..100/:r;!j;
link(set1,set2):x,c;
endsets
min=@sum(link(i,j):x(i,j)*c(i,j));
@for(set2(j):@sum(set1(i):x(i,j))<=r(j)); @for(set1(i):@sum(set2(j):x(i,j))=3);
@for(link(i,j):@bin(x(i,j)));
data:
r=@ole('D:/B2005Table2.xls','C2:CX2');
c=@ole('D:/B2005Table2.xls','C3:CX1002'); enddata
欢迎您的下载，
资料仅供参考！
致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等
打造全网一站式需求。