解直角三角形(挑战综合(压轴)题分类专题)2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练

专题1.21解直角三角形（挑战综合（压轴）题分类专题）

（专项练习）

【知识点一】三角函数的运算➽➼计算✭✭化简✭✭求值

【类型①】三角函数的运算➼➻直接计算

1．（2022·湖南岳阳·中考真题）计算：2022032tan 45(1)()π--︒+--．

2．（2016·贵州毕节·中考真题）计算：

3．（2021·山东菏泽·中考真题）计算：()101202134cos304π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭°．

【类型②】三角函数的运算➼➻化解★✭求值

4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10

(1tan 45π2

)a -=︒+-5．（2021·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：221122111x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭，其中

23tan 60x =+--︒．

6．（2020·黑龙江黑龙江·中考真题）先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ +-⎝⎭

，其中3tan 303x =︒-．

【知识点二】三角函数在几何问题中的应用

【类型①】三角函数的应用➼➻三角形

7．

（2016·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F ．

（1）求证：ACD ∽BFD △；

（2）当tan 1ABD ∠=，3AC =时，求BF 的长．

8．

（2020·四川眉山·中考真题）如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，点B 、C 、E 三点在同一直线上，连接BD ，AD ，交AC 于点F ．

（1）若2AD DF DB =⋅，求证：AD BF =；

（2）若90BAD ∠=︒，6BE =．

①求tan DBE ∠的值；

②求DF 的长．

9．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时

，点D落在线段AB上，连接BE．

针旋转得到DEC

∠；

（1）求证：DC平分ADE

（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：

∠的值．

（3）若BE BD

=，求tan ABC

【类型②】三角函数的应用➼➻平行四边形

10．（2018·广西百色·中考真题）平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．

（1）求证：OE=OF；

（2）若AD=6，求tan∠ABD的值．

11．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10.

（1）求证：∠BEC=90°；

（2）求cos∠DAE.

12．（2019·辽宁沈阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC 上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB＝2

5，∠CBG＝45°，BC

＝▱ABCD的面积是．

【类型③】三角函数的应用➼➻矩形

13．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．

(1)求证：△CEF ≌△ADF ；

(2)求tan ∠DAF 的值（用含x 的式子表示）．

14．

（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD 为矩形AB =

4BC =，点E 在BC 上，CE AE =，将△ABC 沿AC 翻折到△AFC ，连接EF ．

(1)求EF 的长；

(2)求sin ∠CEF 的值．

15．（2022·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，()1AD nAB n =>，点E 是AD 边上一动点（点E 不与A ，D 重合），连接BE ，以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形EBFG ，使得矩形EBFG ∽矩形ABCD ，EG 交直线CD 于点H ．

(1)【尝试初探】在点E 的运动过程中，ABE 与DEH △始终保持相似关系，请说明理

由．

(2)【深入探究】若2n =，随着E 点位置的变化，H 点的位置随之发生变化，当H 是线段CD 中点时，求tan ABE ∠的值．

(3)【拓展延伸】

连接BH ，FH ，当BFH △是以FH 为腰的等腰三角形时，求tan ABE ∠的值（用含n 的代数式表示）．

【类型④】三角函数的应用➼➻菱形

16．

（2021·吉林长春·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，4AC =，8BD =，点E 在边AD 上，13AE AD =

，连结BE 交AC 于点M ．（1）求AM 的长．

（2）tan MBO ∠的值为．

17．

（2020·吉林·中考真题）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD 和AEFG 按图①方式摆放，其中5AD AG ==，9AB =．点D ，G 分别在边AE ，AB 上，CD 与FG 相交于点H ．

【探究】求证：四边形AGHD 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD ，将平行四边形纸片AEFG 绕着点A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．

【操作二】四边形纸片AEFG 绕着点A 继续顺时针旋转一定的角度，使点E 与点B 重合，连接DG ，CF ，如图③若4sin 5

BAD ∠=，则四边形DCFG 的面积为______．

18．（2019·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．

（1）求证：AC ⊥EF ；

（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．