2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第10讲 Word版含解析

一、选择题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y ＝2x －2 B ．y ＝1
2(x 2－1)
C ．y ＝log 2x
D ．y ＝log 12
x
解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )
解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A ．5.2
B ．6.6
C ．7.1
D ．8.3
解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝1
2，即x
＝log 0.91
2＝lg
1
2lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1
≈6.6(年)．故选B.
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )
A ．13 m 3
B ．14 m 3
C ．18 m 3
D ．26 m 3
解析：选 A.设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝
⎩⎪⎨
⎪⎧mx （0<x ≤10），
10m ＋（x －10）·
2m （x >10）， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这
些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )
A ．x ＝15，y ＝12
B ．x ＝12，y ＝15
C ．x ＝14，y ＝10
D ．x ＝10，y ＝14
解析：选A.由三角形相似得
24－y
24－8＝x 20
.得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－5
4(y －12)2＋180，
所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．
6．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，
每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.
二、填空题
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价
付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，
由y ＝22.6，解得x ＝9.
答案：9
9．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：设8级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则8＝lg A 1－lg A 0
＝lg
A 1A 0，则A 1
A 0
＝108， 5＝lg A 2－lg A 0＝lg
A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1
A 2
＝103. 即8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的1 000 倍．
答案：1 000
10．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．
解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2
＋2(16－x )＝－0.1x 2
＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122
＋0.1×21
2
4
＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案：43
三、解答题
11.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次
后治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，
当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫
121－a
＝4得a ＝3.
所以y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1.
(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪
⎨⎪
⎧t ＞1，⎝⎛⎭
⎫12t －3≥0.25，
解得1
16
≤t ≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝79
16
(小时)．
12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)，
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
解：(1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t ；
令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，所以当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池存水量最少，只有40吨． (2)令400＋10x 2－120x <80，即x 2－12x ＋32<0， 解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <32
3
.
因为323－8
3＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．。