周长为定值时整边三角形个数的探究

周长为定值时整边三角形个数的探究
屯溪六中张翔
在三角形这一章的练习题中，有很多给定周长，规定三角形边长为整数，求此周长的三角形（边长为整数）有多少种的问题。

一般的方法是直接硬算，列举所有情况，找到这样的三角形。

但这种方法较麻烦，浪费时间，还可能将某些三角形漏掉。

如何准确而又快速地找出周长为定值时整边三角形的个数呢？我们需要找到周长与整边三角形的个数的关系。

让我们来探究一下。

首先，求周长为定值时，整边三角形的个数就是求拆分一个正整数为三个正整数有多少种情况的问题，只不过拆分的正整数有一定的限制，需要满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。

将正整数n分解成三个正整数之和，就是正整数的三分拆。

整
边三角形的个数问题就是正整数三分拆问题中的一类。

由此可
设，
而。

又因为，所以，即此周长最小为3。

问题的关键在于求出正整数三分拆的情况数量，以及情况数量和正整数大小有怎样的关
举了22个例子，但是拆分情况的总数量T和周长n的值的关系似乎很难找到，杂乱无章。

我们需要更深入地分析这些数据。

前面已经设了所求三角形三
边之长分别为a 、b、
c , ，现在不妨设，而，
于是有，即
，。

此时可设n=24
，则。

当a取定8 、9 、10、11中某一数值时，b的取值范围由以下不
等式确定：
则当a=8时，，即；
当a=9时，，即；
当a=10时，，即；
当a=11时，，即；
当a、b取定值时，c也随之确定，可得下表：
又设n=37，则，即，又
则当a=13时，，即；
当a=14时，，即；
当a=15时，，即；
当a=16时，，即；
当a=17时，，即；
当a=18时，，即；
7、8、9 9、10
故共有
的方法也可得出前面第一个表格中的数据。

如何从这几张表中进一步揭示其内在的规律呢？我们需要进一步分析。

通过查阅资料，我发现被分拆的正整数n可分为12个为一组，可分别设它们为12k（k、12k+1、12k+2、12k+3、12k+4、12k+5、12k+6、12k+7、12k+8、12k+9、12k+10和12k+11（k为整数）。

由此可以用列举的方法找出规律。

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故不同形状的整边三角形的个数是
：
故不同形状的整边三角形的个数是：
- 4 -
故不同形状的整边三角形的个数是：
故不同形状的整边三角形的个数是：
- 5 -
设n= 12k+11，则，可得下表：
故不同形状的整边三角形的个数是：
由此可得，周长为定值的整边三角形，其中周长n与整边三角形个数T存在着一定的关系。

这种关系可以用以上式子所表示。

将前面第一个表格中的n 的值分类代入计算出的各个式子，所得的T的值也与表格中的值一一吻合，可得出这些规律是正确的。

至此，周长和整边三角形个数的规律已经被我们发现，这些式子可以计算出整边三角形的个数。

只不过三角形周长必须不小于3，若小于3，可以代入以上的式子求值，但结果都为0。

这也说明了小于3的周长是无法构造出整边三角形的。

当然，这些关系式虽然可让我们快速求出周长为定值时整边三角形的个数，但它们本身比较冗杂，总共有12种情况，不便于记忆。

因此，平时在考试或练习时不便于使用这些关系式。

通过这些探究，我不仅找到了周长与整边三角形个数的关系式，也找到了不用关系式而直接快速求出整边三角形个数的方法。

可以将周长分别除以3和2，取的正整数作为一边的最大值，取大于或等于的正整数作为此边的最小值。

接着取第一边的值作为第二边的最大值，取大于等于的正整数作为第二边的最小值。

由此可确定出第
一边与第二边的各种情况，自然就能确定第三边的值，同时也可求出满足条件的整边三角形的数量。

这样求不仅抛开了硬算的方法，增加了速度，还能有效地防止遗漏。

可以将这些整边三角形不遗漏也不重复地一一找出。

这次探究，我的感受很深。

通过日常学习中的一个小问题，我探究了这么多，也学到了许多。

我深深地体会到数学之美，原来这么杂乱无章的数字也会有如此的规律，也会演绎出如此的精彩。

数学就在我们的日常学习生活中，只要处处留心，只要肯探究，我们就能发现数学的趣味性，获得更多的经验，更好地学习数学。

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