2.3.2离散型随机变量的方差

0.99
0.01
练习：
1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元？

1000 0.97
1000－a 0.03
P
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射 击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)
⑵

i1
n
pi 1
1、设随机变量X的分布列为P(x=k)=1/4,k=1,2,3,4,则 EX= 。 2、若X是离散型随机变量，则E(X-EX)的值是 A.EX B.2EX C.0 D.(EX)
2
。
3、已知X的概率分布为
X P -1 1/2 0 1/3 1 1/6
且Y= aX+3,EY=7/3, 则a= 5、随机变量 的分布列为
析:审清题意是解决该题的关键.
1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排 列.
●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”，最后一只必 为
1 7 1 6 果蝇，所以有ξ=1“表示 ● ☆ ●●●☆●●” P21（ξ=0 ） 6 A A6 A6 A A 7 2 7
s
2
1 n
[( x 1 x ) ( x i x ) ( x n x ) ]
2 2 2
s
2
1 10
[( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 2 )
2 2 2 2 2 2
2
(2 2) (2 2) (3 2) (3 2) (4 2) ] 1
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射 击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定， 多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布 在8－10环。
结合书P64“探究”思考下列问题： 问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？ 问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
A6 A2 A4 A8
8
1

4 28
的分布列

p
⑵ E 0 2
0
7 28
1
6 28
2
5 28
3
4 28
4
3 28
5
2 28
6
1 28
7 28
1
6 28
2
5 28
3
4 28
4
3 28
5
2 28
6

P
1 0.4
2 0.2
3 0.2
4 0.1
5 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200 元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5 期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的 利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A)；
2 2 2
( 3 2 ) 0 .2 ( 4 2 ) 0 .1 1 .2
2 2
X
DX
1 . 2 1 . 095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c 为常数，求E（X）和D（X）。
解： 离散型随机变量X的分布列为：
X P c 1
E（X）＝c×1＝c D（X）＝（c－c）2×1＝0
2、数学期望的性质
E ( aX b ) aE ( X ) b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0
P
p
1－p
则 EX p 4、如果随机变量X服从二项分布，即X～ B（n,p），则 EX np
二、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
相关练习：
1、已知 3 1 8 ，且 D ( ) 13 , 则
117 D ( ) _____
2 、已知 X ～ B ( n , p )， E(X) 8, D(X) 1.6,
10 则 n ____, p _____ 0.8 3、有一批数量很大的商品，其中次品占1 ％，现从中任意地连续取出200件商品，设 其次品数为X，求E(X)和D(X)。 2，1.98
E ( X 1 ) 8, E ( X 2 ) 8
D ( X 1 ) 1 . 50 , D ( X 2 ) 0 . 82
练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而 你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 获得相应职位的概率P1
1400 1600 1800 0.3 0.2 0.1
0.4
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 获得相应职位的概率P2
1800 2200 0.2 0.1
0.4
0.3
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪 家单位？
解：E ( X 1 ) 1400 , E ( X 2 ) 1400
D ( X 1 ) 40000 , D ( X 2 ) 160000
六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式
D ( aX b ) a DX
2
若 X 服从两点分布，则
DX p ( 1 p )
若 X ~ B ( n , p )，则 DX np ( 1 p )
4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统 计，顾客采用的分期付款期数 的分布列为：
在两个单位工资的数学期望相等的 情况下，如果认为自己能力很强，应选 择工资方差大的单位，即乙单位；如果 认为自己能力不强，就应选择工资方差 小的单位，即甲单位。
五、几个常用公式：
D ( aX b ) a D ( X )
2
若 X 服从两点分布，则
D ( X ) p (1 p )
若 X ~ B ( n , p )，则 D ( X ) np (1 p )

i1
n
x i pi
D
(x
i1
n
i
E ) pi ；
2 2
⑵ E (a b ) aE b
D (a b ) a D
⑶ 若 ～ B ( n , p ), 则 E n p , D n p (1 p )
★分布列性质
⑴ 0 pi 1
高二数学 选修2-3
2.3.2离散型随机变 量的方差（一）
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X P
x1 x2
p1
p2
· · · · · ·
xi
pi
· · xn · · pn · ·
E ( X ) x1 p 1 x 2 p 2 x i p i x n p n
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平

P
1 0.4
2 0.2
3 0.2
4 0.1
5 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200 元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5 期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的 利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A)；
（2）求 的分布列及期望E 。
5.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被 盗的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家 庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以 内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元 （a>100），问a如何确定，可使保险公司期望获 利？

100
100－a
P

1 0.7
E =1.43
2
3
4
5 0.34
p
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
高二数学 选修2-3
2.3.2离散型随机变 量的方差（二）
知识回顾
★求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？
求分布列→求期望→求方差
★在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？
⑴ E
7、每人交保险费1000元，出险概率为3%，若保险公司的 赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险公司收益的期望值不 低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？ 8、设X是一个离散型随机变量 ，其概率分布为
X
P
-1
1/2
0
1-2q
q
1
2
求： （1） q的值；（2）EX，DX。
9.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统 计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：
2 2 2
权数
2 10
s
2
4 10
(1 2 )
2
3 10
(2 2)
2
(3 2)
2
1 10
(4 2)
2
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X P
x1 x2
p1
2
p2
· · · · · ·
xi
pi
2
· · xn · · pn · ·
四、方差的应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环 数X1， X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解： ( X 1 ) 9 , E ( X 2 ) 9 E
D ( X 1 ) 0 .4 , D ( X 2 ) 0 .8
（2）求 的分布列及期望E 。
1 0： 7 安 徽 .2 0 ) （ 本 小 题 1 3 分 ） (0 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一 个 关 有 6只 果 蝇 的 笼 子 里 ， 不 慎 混 入 了 2只 苍 蝇 （ 此 时 笼 内 有 8 只 蝇 子 ：只 果 蝇 和 2 只 苍 蝇 ） ， 只 好 把 笼 子 打 开 一 6 个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞 出 ， 再 关 闭 小 孔 .以 ξ 表 示 笼 内 还 剩 下 的 果 蝇 的 只 数 .⑴ 写 出 ξ 的 分 布 列 ；不 要 求 写 计 算 过 程 ） ⑵ 求 数 学 期 望 E ξ ; ( ⑶ 求 概 率 P (ξ E ξ )
X 1111 2 2 2 3 3 4 10
1 4 10 2 3 10 3 2 10 4 1 10 2
X P
1
4 10
2
3 10Biblioteka 32 104
1 10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
2
则称
D ( X ) ( x1 E ( X )) p1 ( x i E ( X )) p i ( x n E ( X )) p n


i 1
n
( x i E ( X )) p i
2
为随机变量X的方差。
称 D ( X ) 为随机变量X的标准差。 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值 的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量 偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

P -1 a
E 1 3 ,
. .
1 c
4、随机变量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)=
0 b
5 9
其中，a,b,c成等差，若
则 D 的值为
。
6.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为 0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者 需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保 险公司赔偿a元（a>100），问a如何确定，可使保险公司期 望获利？
=
A8
8

28
，同理有P （ξ=1 ）=
A8
2
8

28
1 5
A6 A 2 A5 A8
3
8

4
5 28
ξ=2“表示 ● ● ☆ ●●☆●●”有P （ξ=2）= ξ=3“表示 ● ● ● ☆ ●☆●●”有P （ξ=3）= ξ=4“表示 ● ● ●●☆● ☆ ●”有P （ξ=4）= ξ=5“表示 ● ● ●●● ☆ ☆ ●”有P （ξ=5）= ξ=6“表示 ● ● ●●●● ☆ ☆”有P （ξ=6）=
三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
求D（X）和σ（X）。 解： 0 0 . 1 1 0 . 2 2 0 . 4 3 0 . 2 4 0 . 1 2 EX
DX ( 0 2 ) 0 . 1 ( 1 2 ) 0 . 2 ( 2 2 ) 0 . 4