等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)

《第二节等差数列》同步练习
（等差数列的前n项和公式）一、选择题
1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S n
n ),Q(n+2,S n+2
n+2
)(n∈N*)
的直线的斜率为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
2.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )
A.10
B.15
C.20
D.40
3.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )
A.66
B.72
C.132
D.198
4.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且
S2n T n =8n
3n+5
,则( )
A.a3+a8=2b3
B.当S n=2n2时,b n=6n+2
C.a4+a11
b4
<2
D.∀n∈N*,使得T n>0
5.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )
A.数列{a n}是递增数列
B.|a1 012|>|a1 011|
C.当S n取得最大值时,n=1 011
D.S1 012<S1 009
6.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )
A.4日
B.3日
C.5日
D.6日
7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项
为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622
B.624
C.626
D.628
8.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )
A.S 5=35
B.a n +1-a n =n
C.S n -S n -1=
n(n+1)
2
,n ≥2 D.1
a 1
+1
a 2
+1
a 3
+…+1
a 100
=200
101
二、非选择题
9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .
10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =1
2a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .
11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知
a 2=4,S 4=20.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若b n =(-1)n
·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .
12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.
(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;
(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案
一、选择题
1.C设d为数列{a n}的公差,则{S n
n }是公差为d
2
的等差数列.
2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则
S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×5
2
=20.
3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,
所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)
2
= 12×(11+0)
2
=66.
4.AB由S2n
T n =8n
3n+5
,知S10
T5
=
10(a1+a10)
2
5(b1+b5)
2
=a1+a10
b3
=a3+a8
b3
=40
20
=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同
理可得a4+a11
b4=S14
T7
=28
13
>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,
故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.
5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)
2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)
2
=1 011(a1 011+a1 012)<0,
所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.
6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)
2
=
n(179+15n)
2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)
2
=n(185−n)
2
,所以n(179+15n)
2
+
n(185−n)
2
=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.
7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)
2
=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…
+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.
8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…
+n=n(n+1)
2
,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,
故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =
n(n+1)2,故C 正确;因为1
a n =
2n(n+1)=2(1
n
−
1n+1),所以1
a 1
+
1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12
−1
3)+…+(1
100−1
101)]=2(1-1
101)=200
101,故D 正确.故选ACD.
二、非选择题
9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =7
2
.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×7
2×√5
=28 280,所以S =14 140.
10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{
a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,
d =4,
所以a n =4n -2,所以
b n =1
2a n -30=2n -31.令{
b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,
解得292≤n ≤31
2.因为n ∈N *,所以数
列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=
15(−29+2×15−31)
2
=-225,所以数列{b n }的前
n 项和T n 的最小值为-225.
11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {
a 1+d =4,4a 1+
4×3
2
d =20,
解得{
a 1=2,
d =2,
故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n
·a n =(-1)n
·2n.
当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n
2·2=n ;
当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,
−n −1,n 为奇数.
12.(1)设{a n }的公差为d ,
则{5a 1+5×4
2d =−35,7a 1+7×62d =−21,
解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.
由a n=4n-19≥0,得n≥19
4
,
所以当n=1,2,3,4时,a n<0,
当n≥5时,a n>0,
所以S n的最小值为S4=4a1+4×3
2
d=-36.
(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;
当n≥5时,b n=|a n|=a n.
又S n=na1+n(n−1)
2
d=2n2-17n,
所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,
当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,
即T n={
17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。